Теория подобия и анализ размерностей (2012) (849561), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В теории размерностей такой набор комплексов принято называть фундаментальным. Можно получить и другие комплексы, например . Но в соответствии с положениями матричной алгебры это решение будет линейно зависимым от предыдущих:

.

Возможны и другие наборы независимых между собой комплексов, каждый из которых выражен через фундаментальные:

2.7 Дополнение Хантли

Анализируя -теорему, Хантли сделал достаточно важное дополнение, касающееся ее физических основ. Им использован принцип увеличения числа независимых размерностей, приводящий к меньшему числу окончательных безразмерных комплексов, а следовательно, к упрощению процесса получения решения.

Им предложено учитывать различное развитие физических процессов по различным координатам декартовой системы. Рассмотрим в качестве примера единицу теплопроводности

.

Однако по определению теплопроводности

[Вт/м²(К/м)].

Это выражение можно получить, анализируя гипотезу Ж. Батиста Фурье

,

или после деления на

,

где dS – элемент изотермической поверхности, м²; d – элементарный промежуток времени, с; grad t – градиент температуры, характеризующий интенсивность изменения температуры на единицу длины нормали к изотермической поверхности, К/м; q – плотность теплового потока, Вт/м²; grad t = t – векторный оператор.

.

 – оператор Гамильтона,

.

Если его применить к скаляру, то в результате получим вектор-градиент, характеризующий изменение. Такая операция позволяет нам переходить от скалярного поля (например, поля температуры или поля давления) к векторному полю градиента скалярной функции.

Если его применить к вектору, то осуществляется обратный переход от векторного описания поля к скалярному. Получающийся скаляр вносит название дивергенции

.

Анализируя размерность теплопроводности, необходимо подчеркнуть, что в принципе с физической точки зрения нельзя сокращать метр в направлении теплового потока с метром, входящим в размерность площади. Такое сокращение, ставшее общепринятым, приводит к утере физического смысла. С точки зрения Хантли, проведение одинаковых рабочих операций в различных координатных плоскостях равносильно применению различных рабочих операций. Это касается особенно векторных уравнений, в которых нельзя отождествлять составляющую векторной величины по оси x с ее составляющими по осям y или z. Нельзя сокращать одинаковые размерности двух функций, если их физическая сущность различна.

2.8 Пример приложения анализа размерностей

Рассмотрим задачу о теплообмене, воспользовавшись анализом размерностей. Точное аналитическое решение ее для простейших случаев, т. е. при относительно простых граничных условиях, известно. Поэтому возможно сопоставление результатов, полученных аналитически, с данными, полученными на основе теории размерностей.

«Найти минимальное время нагрева однородного твердого тела произвольной формы до такого состояния, когда каждая его частица находится при температуре, большей 80  избыточной температуры печи?» Составим список параметров, определяющих процесс. Можно предположить, что неявный вид искомой функции будет иметь вид

,

где t – необходимое время, с; L, M, N – размеры тела в направлениях осей x, y, z , м;  – плотность, кг/м³; C_p – удельная теплоемкость, Дж/(кг∙К);  – теплопроводность, Вт/(м∙К).

Очевидно, что теплообмен на поверхности тела также входит в задачу, но неясно, когда и как его необходимо учитывать. В приведенном списке время является зависимым параметром, а температуру не учитывали. Это допустимо, ибо имеющихся переменных достаточно для преобразования их к безразмерному виду, а уменьшение числа переменных всегда упрощает последующие операции. Если теперь допустить, что приведенный список содержит корректный набор параметров, оказывающих основное влияние на развитие рассматриваемого физического процесса, то можно применять -теорему.

Неявно выраженная функция показывает, что в списке содержится семь параметров. Размерности этих семи параметров могут быть получены с помощью четырех независимых размерностей М, Т, Θ, L массы, времени, температуры и длины. Можно найти четыре параметра (например t, L,  и ), которые не образуют безразмерного комплекса. Следовательно . Применим -теорему:

, , .

Безразмерная функция в неявном виде должна содержать три безразмерных комплекса . Проведем тщательный анализ и найдем их:

, , ,

где в – коэффициент температуропроводности, – число Фурье.

Таким образом, подобное изменение температуры в телах будет иметь место, если выдержано геометрическое подобие и выполнено условие

.

Необходимо осуществить некоторую выдержку, при которой бы температура превышала заданное значение. Если обозначить время нагрева через t₀ , а время, необходимое для того, чтобы центр тела достиг требуемой температуры, определяемой данным значением числа Фурье ₃, через , то решением будет

,

где находится из условия .

Можно отметить, что два геометрически подобных тела будут иметь подобные изменения температуры во времени, если

.

При a фиксированном – , а при фиксированной геометрии – . Это и есть необходимые условия подобия в задачах теплопроводности.

Теория размерностей позволила нам получить некоторую информацию. Однако однозначного решения получить не удалось, ибо в основу его был положен интуитивный подход при составлении списка параметров, оказывающих основное влияние на физическое обоснование найденного решения.

2.9 Исключения из применения -теоремы

Рассмотрим задачу о теплообменном аппарате типа труба в трубе.

Рис. 2.3 К определению комплекса безразмерных параметров, характеризующих процесс переноса энергии в форме тепла в теплообменник типа «труба в трубе»

Поверхность теплообмена .

– подогрев «холодного» теплоносителя;

– охлаждение «горячего» теплоносителя;

– максимальное значение температурного напора между теплоносителями.

В задаче требуется определить группу безразмерных комплексов, характеризующих работу теплообменников такого типа. Анализ задачи позволяет выявить параметры, определяющие ее решение:

.

Уравнение содержит девять параметров, размерности которых можно представить с помощью четырех независимых размерностей L, M, t, T. Четыре других параметра K, F, C_p, T не образуют безразмерного комплекса

; ; ; .

Из -теоремы вытекает, что для списка определяющих параметров должны существовать четыре независимых комплекса  и один зависимый

.

Однако в теории теплообмена решение этой задачи известно. Оно содержит два независимых и один зависимый параметры . Очевидно, мы где-то в анализе допускаем ошибку. В действительности неверными оказались два положения.

Во-первых, список параметров содержит не один, а два зависимых параметра. В список определяющих параметров следует включать лишь два температурных напора из трех. Исключим , тогда получим:

.

Теперь число безразмерных параметров  по теореме понизилось до четырех: . Решение из четырех безразмерных параметров, по сути, правильно, но заметно хуже известного решения. Согласно первому условию в список должны быть включены все независимые и один зависимый параметры. Во втором случае это возможно.

Согласно второму условию в безразмерные комплексы должны входить, по крайней мере, один раз все параметры из списка определяющих параметров. В данном случае оно легко выполняется.

Система независимых размерностей хорошо исследована и уже использовалась нами в примерах, т. е., выполнено и третье условие.

Этот пример показывает, что существуют исключения в примере -теоремы, которые необъяснимы на основании использования лишь методов анализа размерностей.

Применим -теорему к исследованию практической задачи, решение которой неизвестно. Попробуем дать оценку работе компрессоров центробежного типа. Попытаемся интуитивно установить список определяющих параметров: расход , степень повышения давления , скорость , радиус рабочего колеса на входе , радиус рабочего колеса на выходе , длина , характеризующая диффузор, вязкость µ, плотность ρ, скорость звука и отношение удельных теплоемкостей рабочей жидкости.

Составим функциональное соотношение

.

Размерности десяти параметров записываются с помощью трех независимых размерностей: длины L, массы M, времени t. Согласно -теореме необходимы безразмерных комплексов. Однако ясно, что нельзя эффективно работать с шестью независимыми координатами, ибо 7-й параметр  будет зависимым. Неполны и геометрические характеристики, приведенные в списке.

Перейдем к рассмотрению геометрически подобных машин. Тогда вместо трех характерных линейных величин можно ввести в рассмотрение лишь один характерный геометрический размер .

, ,

т. е. число комплексов уменьшилось на два. Решение можно записать в виде следующих комплексов:

; ; ; (число Маха), .

Характеристики

Список файлов книги