1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Остается заметить, что неподвижнаяточка AF — это о.р. задачи (1). Теорема 3.3доказана.29 / 29Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.Положим Φ := v.Имеем νkvk2H = ν[v, v] = λb(v, v, v) + λ(f, v),b(v, v, v) = 0,|(f, v)| = |[F, v]| ≤ kFkH kvkH .Терминология.Значит νkvk2H ≤ λkFkH kvkH ,λkfkH ∗откуда kvkH ≤ kfkH ∗ ≤.ννИтак, для AF выполнены условия теоремыЛерэ–Шаудера. Остается заметить, что неподвижнаяточка AF — это о.р.
задачи (1). Теорема 3.3доказана.kfkH∗Неравенство kvkH ≤называется оценкой Лерэ.29 / 29νМатематические модели механикисплошных сред. Лекция №4ЛекторСеместрСергей Александрович СаженковВесна 20161 / 37Глава 3.Нелинейная стационарная задача2 / 37§3.1. Постановка задачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,3 / 37§3.1. Постановка задачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,3 / 37§3.1. Постановка задачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.3 / 37§3.1.
Постановка задачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.3 / 37§3.1. Постановка задачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)3 / 37§3.1. Постановка задачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Сформулируем понятие обобщенного решения.3 / 37§3.1.
Постановка задачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Сформулируем понятие обобщенного решения.Формально умножим (1)1 на произвольнуюΦ ∈ H(Ω),3 / 37§3.1. Постановка задачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Сформулируем понятие обобщенного решения.Формально умножим (1)1 на произвольнуюΦ ∈ H(Ω),где H(Ω) = {v ∈ H10 : div v = 0}.3 / 37§3.1. Постановка задачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Сформулируем понятие обобщенного решения.Формально умножим (1)1 на произвольнуюΦ ∈ H(Ω),где H(Ω) = {v ∈ H10 : div v = 0}.Проинтегрируем по Ω иPпроинтегрируем почастям по x: ν[v, Φ] − dk=1 (vk v, Φxk ) − (f, Φ) =3 /0.37§3.2.
Определение обобщенного решения.План исследованияОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ. реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.k4 / 37§3.2. Определение обобщенного решения.План исследованияОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ. реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.kЗаметим, что в определении отсутствует давление.4 / 37§3.2. Определение обобщенного решения.План исследованияОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ. реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.kЗаметим, что в определении отсутствует давление.Изучаемвопросы:о восстановлении давления,4 / 37§3.2.
Определение обобщенного решения.План исследованияОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ. реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.kЗаметим, что в определении отсутствует давление.Изучаемвопросы:о восстановлении давления,о существовании обобщённого решения,4 / 37§3.2. Определение обобщенного решения.План исследованияОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ.
реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.kЗаметим, что в определении отсутствует давление.Изучаемвопросы:о восстановлении давления,о существовании обобщённого решения,о единственности обобщённого решения.4 / 37§3.3. Функционал конвекции5 / 37§3.3. Функционал конвекцииВведем в рассмотрение трилинейную формуZXZb(u, v, w) = (u · ∇)v · w dx =uk (Dk vi )wi dx .Ωi,k Ω— функционал конвекции.5 / 37§3.3. Функционал конвекцииВведем в рассмотрение трилинейную формуZXZb(u, v, w) = (u · ∇)v · w dx =uk (Dk vi )wi dx .i,k ΩΩ— функционал конвекции.СвойстваЕсли одна из ф-й u, v, w равна нулю на ∂Ω, то,интегрируя по частям, выводимZb(u, v, w) = − (div u)v · w dx −b(u, w, v).Ω5 / 37§3.3.
Функционал конвекцииВведем в рассмотрение трилинейную формуZXZb(u, v, w) = (u · ∇)v · w dx =uk (Dk vi )wi dx .i,k ΩΩ— функционал конвекции.СвойстваЕсли одна из ф-й u, v, w равна нулю на ∂Ω, то,интегрируя по частям, выводимZb(u, v, w) = − (div u)v · w dx −b(u, w, v).ΩЕсли дополнительно div u = 0, тоb(u, v, w) = −b(u, w, v),b(u, v, v) = 0.5 / 37Z(u · ∇)v · w dx =b(u, v, w) =ΩXZuk (Dk vi )wi dxi,k Ω6 / 37Z(u · ∇)v · w dx =b(u, v, w) =ΩXZuk (Dk vi )wi dxi,k ΩСвойстваСправедлива оценка |b(u, v, w)| ≤ kuk4 kwk4 k∇vk2 .6 / 37Z(u · ∇)v · w dx =b(u, v, w) =ΩXZuk (Dk vi )wi dxi,k ΩСвойстваСправедлива оценка |b(u, v, w)| ≤ kuk4 kwk4 k∇vk2 .Из опр.
обобщенного решения для задачи (1)выводим:ν[v, Φ] − b(v, Φ, v) − (f, Φ) = 0.6 / 37§3.4. Существование обобщённогорешенияДоказательство существования о.р. будет основанона следующей теореме.Теорема 3.2(Лерэ–Шаудер)Пусть7 / 37§3.4. Существование обобщённогорешенияДоказательство существования о.р. будет основанона следующей теореме.Теорема 3.2(Лерэ–Шаудер)ПустьH — гильб. сепараб. пространство,7 / 37§3.4. Существование обобщённогорешенияДоказательство существования о.р. будет основанона следующей теореме.Теорема 3.2(Лерэ–Шаудер)ПустьH — гильб.
сепараб. пространство,A : H 7→ H — вполне непрерывный оператор,7 / 37§3.4. Существование обобщённогорешенияДоказательство существования о.р. будет основанона следующей теореме.Теорема 3.2(Лерэ–Шаудер)ПустьH — гильб. сепараб. пространство,A : H 7→ H — вполне непрерывный оператор,Для всех возможных решений уравненияu = λAu при λ ∈ [0, 1] имеет место оценкаkukH ≤ ρ с некоторой постоянной ρ, независящей от u.7 / 37§3.4. Существование обобщённогорешенияДоказательство существования о.р. будет основанона следующей теореме.Теорема 3.2(Лерэ–Шаудер)ПустьH — гильб. сепараб. пространство,A : H 7→ H — вполне непрерывный оператор,Для всех возможных решений уравнения u = λAuпри λ ∈ [0, 1] имеет место оценка kukH ≤ ρ снекоторой постоянной ρ, не зависящей от u.7 / 37§3.4. Существование обобщённогорешенияДоказательство существования о.р.
будет основанона следующей теореме.Теорема 3.2(Лерэ–Шаудер)ПустьH — гильб. сепараб. пространство,A : H 7→ H — вполне непрерывный оператор,Для всех возможных решений уравнения u = λAuпри λ ∈ [0, 1] имеет место оценка kukH ≤ ρ снекоторой постоянной ρ, не зависящей от u.Тогдауравнение u = Au имеет решение в шаре{u : kukH ≤ ρ}.7 / 37Теорема существованияТеорема 3.3Пусть8 / 37Теорема существованияТеорема 3.3ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ограничена,8 / 37Теорема существованияТеорема 3.3ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ограничена,RΦ 7→ f · Φ dx — непрер. лин.
ф-л на H(Ω).Ω8 / 37Теорема существованияТеорема 3.3ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ограничена,RΦ 7→ f · Φ dx — непрер. лин. ф-л на H(Ω).Ω8 / 37Теорема существованияТеорема 3.3ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ограничена,RΦ 7→ f · Φ dx — непрер. лин. ф-л на H(Ω).Ω8 / 37Теорема существованияТеорема 3.3ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ограничена,RΦ 7→ f · Φ dx — непрер. лин. ф-л на H(Ω).ΩТогдасуществует обобщённое решение задачи (1) v ∈ H(Ω):∀ Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] − b(v, Φ, v) − (f, Φ) = 0. (∗)8 / 37Доказательство∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] − b(v, Φ, v) − (f, Φ) = 0 (∗)9 / 37Доказательство∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] − b(v, Φ, v) − (f, Φ) = 0 (∗)Имеем, что Φ 7→ (f, Φ) — непр.
лин. ф-л на H(Ω).9 / 37Доказательство∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] − b(v, Φ, v) − (f, Φ) = 0 (∗)Имеем, что Φ 7→ (f, Φ) — непр. лин. ф-л на H(Ω).По теореме Рисса имеем, что ∃ F ∈ H(Ω):[F, Φ] = (f, Φ).9 / 37Доказательство∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] − b(v, Φ, v) − (f, Φ) = 0 (∗)Имеем, что Φ 7→ (f, Φ) — непр. лин. ф-л на H(Ω).По теореме Рисса имеем, что ∃ F ∈ H(Ω):[F, Φ] = (f, Φ).В силу оценки для функционала конвекции:|b(v, Φ, v)| ≤ kvk24 kΦkH .9 / 37Доказательство∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] − b(v, Φ, v) − (f, Φ) = 0 (∗)Имеем, что Φ 7→ (f, Φ) — непр. лин. ф-л на H(Ω).По теореме Рисса имеем, что ∃ F ∈ H(Ω):[F, Φ] = (f, Φ).В силу оценки для функционала конвекции:|b(v, Φ, v)| ≤ kvk24 kΦkH .В свою очередь, kuk4 ≤ C1 kukH в силу первогонеравенства Лерэ и первого неравенстваПуанкарэ.9 / 37Доказательство∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] − b(v, Φ, v) − (f, Φ) = 0 (∗)Имеем, что Φ 7→ (f, Φ) — непр.
лин. ф-л на H(Ω).По теореме Рисса имеем, что ∃ F ∈ H(Ω):[F, Φ] = (f, Φ).В силу оценки для функционала конвекции:|b(v, Φ, v)| ≤ kvk24 kΦkH .В свою очередь, kuk4 ≤ C1 kukH в силу первогонеравенства Лерэ и первого неравенства Пуанкарэ.Значит, |b(v, Φ, v)| ≤ C12 kvk2H kΦkH .9 / 37По теореме Рисса существует единственныйэлемент Av, такой, что b(v, Φ, v) = [Av, Φ].Докажем существование неподвижной точкиоператора AF .10 / 37По теореме Рисса существует единственный элементAv, такой, что b(v, Φ, v) = [Av, Φ].Теперь перепишем (∗) в виде [νv − Av − F, Φ] = 0.Докажем существование неподвижной точкиоператора AF .10 / 37По теореме Рисса существует единственный элементAv, такой, что b(v, Φ, v) = [Av, Φ].Теперь перепишем (∗) в виде [νv − Av − F, Φ] = 0.В силу произвольности Φ отсюда выводимv = AF v, где AF v := ν1 (Av + F).Докажем существование неподвижной точкиоператора AF .10 / 37Вполне непрерывность AFНапомним, b(v, Φ, v) = [Av, Φ],Имеем,|[Avm − Avn , Φ]| = |b(vm , Φ, vm ) − b(vn , Φ, vn )|≤ |b(vm − vn , Φ, vm )| + |b(vn , Φ, vm − vn )|≤ kvm − vn k4 kvm k4 k∇Φk2 + kvm − vn k4 kvn k4 k∇Φk2≤ C kΦkH kvm − vn k4≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .11 / 37Вполне непрерывность AFНапомним, b(v, Φ, v) = [Av, Φ],AF v = ν1 (Av + F).Имеем,|[Avm − Avn , Φ]| = |b(vm , Φ, vm ) − b(vn , Φ, vn )|≤ |b(vm − vn , Φ, vm )| + |b(vn , Φ, vm − vn )|≤ kvm − vn k4 kvm k4 k∇Φk2 + kvm − vn k4 kvn k4 k∇Φk2≤ C kΦkH kvm − vn k4≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .11 / 37Вполне непрерывность AFНапомним, b(v, Φ, v) = [Av, Φ],AF v = ν1 (Av + F).Это означает, что оператор AF вполненепрерывен на H(Ω) тогда и только тогда, когдаоператор A вполне непрерывен на H(Ω).Имеем,|[Avm − Avn , Φ]| = |b(vm , Φ, vm ) − b(vn , Φ, vn )|≤ |b(vm − vn , Φ, vm )| + |b(vn , Φ, vm − vn )|≤ kvm − vn k4 kvm k4 k∇Φk2 + kvm − vn k4 kvn k4 k∇Φk2≤ C kΦkH kvm − vn k4≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .11 / 37Вполне непрерывность AFНапомним, b(v, Φ, v) = [Av, Φ],AF v = ν1 (Av + F).Это означает, что оператор AF вполне непрерывен наH(Ω) тогда и только тогда, когда оператор A вполненепрерывен на H(Ω).Пусть vm *v в H(Ω).Имеем,|[Avm − Avn , Φ]| = |b(vm , Φ, vm ) − b(vn , Φ, vn )|≤ |b(vm − vn , Φ, vm )| + |b(vn , Φ, vm − vn )|≤ kvm − vn k4 kvm k4 k∇Φk2 + kvm − vn k4 kvn k4 k∇Φk2≤ C kΦkH kvm − vn k4≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .11 / 37Итак,|[Avm − Avn , Φ]| ≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .12 / 37Итак,|[Avm − Avn , Φ]| ≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Положим Φ := Avm − Avn .12 / 37Итак,|[Avm − Avn , Φ]| ≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Положим Φ := Avm − Avn .ПолучимkAvm −Avn k2H ≤ C kAvm −Avn kH kvxm −vxn k2 kvm −vn k2 ,12 / 37Итак,|[Avm − Avn , Φ]| ≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Положим Φ := Avm − Avn .ПолучимkAvm −Avn k2H ≤ C kAvm −Avn kH kvxm −vxn k2 kvm −vn k2 ,то есть kAvm − Avn kH ≤ C kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .12 / 37Итак,|[Avm − Avn , Φ]| ≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Положим Φ := Avm − Avn .ПолучимkAvm −Avn k2H ≤ C kAvm −Avn kH kvxm −vxn k2 kvm −vn k2 ,то есть kAvm − Avn kH ≤ C kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Так как vm *v в H,12 / 37Итак,|[Avm − Avn , Φ]| ≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Положим Φ := Avm − Avn .ПолучимkAvm −Avn k2H ≤ C kAvm −Avn kH kvxm −vxn k2 kvm −vn k2 ,то есть kAvm − Avn kH ≤ C kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Так как vm *v в H,kvxm − vxn k2 ≤ C и12 / 37Итак,|[Avm − Avn , Φ]| ≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Положим Φ := Avm − Avn .ПолучимkAvm −Avn k2H ≤ C kAvm −Avn kH kvxm −vxn k2 kvm −vn k2 ,то есть kAvm − Avn kH ≤ C kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Так как vm *v в H,kvxm − vxn k2 ≤ C иH ,→,→ J0 ,12 / 37Итак,|[Avm − Avn , Φ]| ≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Положим Φ := Avm − Avn .ПолучимkAvm −Avn k2H ≤ C kAvm −Avn kH kvxm −vxn k2 kvm −vn k2 ,то есть kAvm − Avn kH ≤ C kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Так как vm *v в H,kvxm − vxn k2 ≤ C иH ,→,→ J0 ,то kvm − vn k2 → 0,12 / 37Итак,|[Avm − Avn , Φ]| ≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Положим Φ := Avm − Avn .ПолучимkAvm −Avn k2H ≤ C kAvm −Avn kH kvxm −vxn k2 kvm −vn k2 ,то есть kAvm − Avn kH ≤ C kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Так как vm *v в H,kvxm − vxn k2 ≤ C иH ,→,→ J0 ,то kvm − vn k2 → 0,а значит kAvm − Avn kH → 0.12 / 37Итак,|[Avm − Avn , Φ]| ≤ C kΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Положим Φ := Avm − Avn .ПолучимkAvm −Avn k2H ≤ C kAvm −Avn kH kvxm −vxn k2 kvm −vn k2 ,то есть kAvm − Avn kH ≤ C kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 .Так как vm *v в H,kvxm − vxn k2 ≤ C иH ,→,→ J0 ,то kvm − vn k2 → 0,а значит kAvm − Avn kH → 0.То есть Avm → Av сильно в H.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
