1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ищем u = v − ∇x p, u ∈ J0 ,p ∈ H 1 (Ω).Введем H̃ 1 (Ω) = {p ∈ H 1 (Ω) :Rp dx = 0}.ΩИщем p ∈ H̃ 1 (Ω):имеем (v, ∇x ϕ) = [p, ϕ]H̃ 1 (Ω)∀ϕ ∈ H̃ 1 (Ω).Выражение (∇x p, ∇x ϕ) можно использовать какскал. пр. в H̃ 1 (Ω).Лин. ф-л lv (ϕ) = (v, ∇x ϕ) определен и ограничен наH̃ 1 (Ω).По т. Рисса ∃! F ∈ H̃ 1 (Ω): [F , ϕ] = lv (ϕ),12 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №2Пусть v ∈ L2 (Ω). Ищем u = v − ∇x p, u ∈ J0 ,p ∈ H 1 (Ω).Введем H̃ 1 (Ω) = {p ∈ H 1 (Ω) :Rp dx = 0}.ΩИщем p ∈ H̃ 1 (Ω):имеем (v, ∇x ϕ) = [p, ϕ]H̃ 1 (Ω)∀ϕ ∈ H̃ 1 (Ω).Выражение (∇x p, ∇x ϕ) можно использовать какскал. пр. в H̃ 1 (Ω).Лин.
ф-л lv (ϕ) = (v, ∇x ϕ) определен и ограничен наH̃ 1 (Ω).По т. Рисса ∃! F ∈ H̃ 1 (Ω): [F , ϕ] = lv (ϕ),F = p.12 / 29Глава 2.Линеаризованные краевые задачи динамики вязкойнесжимаемой жидкости13 / 29§2.1. Задача Дирихле для уравнения Пуассона14 / 29§2.1. Задача Дирихле для уравнения ПуассонаЗадача Дирихле для уравнения Пуассона (соднородными граничными условиями)формулируется следующим образом:∆u = f,u|∂Ω = 0.(1)14 / 29§2.1. Задача Дирихле для уравнения ПуассонаЗадача Дирихле для уравнения Пуассона (соднородными граничными условиями)формулируется следующим образом:∆u = f,Обобщённоерешениеu|∂Ω = 0.(1)Вектор-функция u ∈ H10 (Ω) — это обобщённоерешение задачи (1), если выполняется интегральноеравенство[u, ϕ] + (f, ϕ)L2 = 0 ∀ ϕ ∈ H10 (Ω).14 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,15 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,∂Ω — кус.-липшицева,15 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,∂Ω — кус.-липшицева,f ∈ L2 (Ω).15 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,∂Ω — кус.-липшицева,f ∈ L2 (Ω).15 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,∂Ω — кус.-липшицева,f ∈ L2 (Ω).Тогда1∃! u — обобщённое решение задачи (1),15 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,∂Ω — кус.-липшицева,f ∈ L2 (Ω).Тогда1∃! u — обобщённое решение задачи (1),2выполняется оценка kukH1 ≤ C (Ω)kfk2 ,15 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,∂Ω — кус.-липшицева,f ∈ L2 (Ω).Тогда1∃! u — обобщённое решение задачи (1),2выполняется оценка kukH1 ≤ C (Ω)kfk2 ,3пространство нетривиальных решений задач∆u = λu,u|∂Ω = 0образует ортог.
базис в L2 (Ω) и H10 (Ω).15 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,∂Ω — кус.-липшицева,f ∈ L2 (Ω).Тогда1∃! u — обобщённое решение задачи (1),2выполняется оценка kukH1 ≤ C (Ω)kfk2 ,3пространство нетривиальных решений задач∆u = λu,u|∂Ω = 0образует ортог.
базис в L2 (Ω) и H10 (Ω).4Если ∂Ω ∈ C 2 , то u ∈ H2 (Ω).15 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,∂Ω — кус.-липшицева,f ∈ L2 (Ω).Тогда1∃! u — обобщённое решение задачи (1),2выполняется оценка kukH1 ≤ C (Ω)kfk2 ,3пространство нетривиальных решений задач∆u = λu,u|∂Ω = 0образует ортог. базис в L2 (Ω) и H10 (Ω).4Если ∂Ω ∈ C 2 , то u ∈ H2 (Ω).5Если Ω0 b Ω, то u ∈ H2 (Ω0 ).15 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,∂Ω — кус.-липшицева,f ∈ L2 (Ω).Тогда1∃! u — обобщённое решение задачи (1),2выполняется оценка kukH1 ≤ C (Ω)kfk2 ,3пространство нетривиальных решений задач∆u = λu,u|∂Ω = 0образует ортог.
базис в L2 (Ω) и H10 (Ω).4Если ∂Ω ∈ C 2 , то u ∈ H2 (Ω).5Если Ω0 b Ω, то u ∈ H2 (Ω0 ).15 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,∂Ω — кус.-липшицева,f ∈ L2 (Ω).Тогда1∃! u — обобщённое решение задачи (1),2выполняется оценка kukH1 ≤ C (Ω)kfk2 ,3пространство нетривиальных решений задач∆u = λu,u|∂Ω = 0образует ортог. базис в L2 (Ω) и H10 (Ω).4Если ∂Ω ∈ C 2 , то u ∈ H2 (Ω).5Если Ω0 b Ω, то u ∈ H2 (Ω0 ).Д-во.15 / 29Лемма 2.1.Пусть Ω ⊂ Rn ,∂Ω — кус.-липшицева,f ∈ L2 (Ω).Тогда1∃! u — обобщённое решение задачи (1),2выполняется оценка kukH1 ≤ C (Ω)kfk2 ,3пространство нетривиальных решений задач∆u = λu,u|∂Ω = 0образует ортог. базис в L2 (Ω) и H10 (Ω).4Если ∂Ω ∈ C 2 , то u ∈ H2 (Ω).5Если Ω0 b Ω, то u ∈ H2 (Ω0 ).Д-во.На семинарах: задачи 4, 5 и 6.15 / 29§2.2.
Линеаризованная стационарная задача16 / 29§2.2. Линеаризованная стационарная задачаПостановка∂Ω — кусочно-липшицеваν∆v − ∇p = f,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)16 / 29§2.2. Линеаризованная стационарная задачаПостановка∂Ω — кусочно-липшицеваν∆v − ∇p = f,Определениеобобщённогорешенияdiv v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Вектор-функция v ∈ H(Ω) — это обобщенноерешение задачи (1), если ∀Φ ∈ H(Ω):ν[v, Φ] = −(f, Φ).16 / 29§2.2. Линеаризованная стационарная задачаПостановка∂Ω — кусочно-липшицеваν∆v − ∇p = f,Определениеобобщённогорешенияdiv v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Вектор-функция v ∈ H(Ω) — это обобщенноерешение задачи (1), если ∀Φ ∈ H(Ω):ν[v, Φ] = −(f, Φ).Замечание.В определении обобщенного решения нетдавления p.16 / 29§2.2.
Линеаризованная стационарная задачаПостановка∂Ω — кусочно-липшицеваν∆v − ∇p = f,Определениеобобщённогорешенияdiv v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Вектор-функция v ∈ H(Ω) — это обобщенноерешение задачи (1), если ∀Φ ∈ H(Ω):ν[v, Φ] = −(f, Φ).Замечание.В определении обобщенного решения нет давления p.Возможность восстановления давления затемпокажем сразу для нелинейной задачи.16 / 29ν∆v − ∇p = f,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)17 / 29ν∆v − ∇p = f,Лемма 2.21div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Имеют место следующие утверждения.∀f ∈ L2 (Ω) ∃! v ∈ H(Ω) — обобщ.
реш. (1);17 / 29ν∆v − ∇p = f,Лемма 2.2div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Имеют место следующие утверждения.1∀f ∈ L2 (Ω) ∃! v ∈ H(Ω) — обобщ. реш. (1);2справедлива оценка kvkH ≤ ckfk2 ;17 / 29ν∆v − ∇p = f,Лемма 2.2div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Имеют место следующие утверждения.1∀f ∈ L2 (Ω) ∃! v ∈ H(Ω) — обобщ. реш. (1);2справедлива оценка kvkH ≤ ckfk2 ;3если Ω0 b Ω, то v ∈ H2 (Ω0 );17 / 29ν∆v − ∇p = f,Лемма 2.2div v = 0,v|∂Ω = 0.Имеют место следующие утверждения.1∀f ∈ L2 (Ω) ∃! v ∈ H(Ω) — обобщ. реш.
(1);2справедлива оценка kvkH ≤ ckfk2 ;3если Ω0 b Ω, то v ∈ H2 (Ω0 );4(1)множество нетривиальных лин. независимыхрешений задачν∆v − ∇p = λv,div v = 0,v|∂Ω = 0образует ортогон. базисы в J0 (Ω) и H(Ω).17 / 29ν∆v − ∇p = f,Лемма 2.2div v = 0,v|∂Ω = 0.Имеют место следующие утверждения.1∀f ∈ L2 (Ω) ∃! v ∈ H(Ω) — обобщ. реш. (1);2справедлива оценка kvkH ≤ ckfk2 ;3если Ω0 b Ω, то v ∈ H2 (Ω0 );4(1)множество нетривиальных лин. независимыхрешений задачν∆v − ∇p = λv,div v = 0,v|∂Ω = 0образует ортогон. базисы в J0 (Ω) и H(Ω).17 / 29ν∆v − ∇p = f,Лемма 2.2div v = 0,v|∂Ω = 0.Имеют место следующие утверждения.1∀f ∈ L2 (Ω) ∃! v ∈ H(Ω) — обобщ. реш. (1);2справедлива оценка kvkH ≤ ckfk2 ;3если Ω0 b Ω, то v ∈ H2 (Ω0 );4(1)множество нетривиальных лин. независимыхрешений задачν∆v − ∇p = λv,div v = 0,v|∂Ω = 0образует ортогон. базисы в J0 (Ω) и H(Ω).Д-во.На семинарах: задачи 8, 9 и 10.17 / 29Глава 3.Нелинейная стационарная задача18 / 29§3.1.
Постановка задачи (Повторение)ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,19 / 29§3.1. Постановка задачи (Повторение)ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,19 / 29§3.1. Постановка задачи (Повторение)ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.19 / 29§3.1. Постановка задачи (Повторение)ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.19 / 29§3.1. Постановка задачи (Повторение)ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)19 / 29§3.1. Постановка задачи (Повторение)ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Сформулируем понятие обобщенного решения.19 / 29§3.1.
Постановка задачи (Повторение)ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Сформулируем понятие обобщенного решения.Формально умножим (1)1 на произвольнуюΦ ∈ H(Ω),19 / 29§3.1.
Постановка задачи (Повторение)ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Сформулируем понятие обобщенного решения.Формально умножим (1)1 на произвольнуюΦ ∈ H(Ω),где H(Ω) = {v ∈ H10 : div v = 0}.19 / 29§3.1. Постановка задачи (Повторение)ПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)Сформулируем понятие обобщенного решения.Формально умножим (1)1 на произвольнуюΦ ∈ H(Ω),где H(Ω) = {v ∈ H10 : div v = 0}.Проинтегрируем по Ω иPпроинтегрируем почастям по x: ν[v, Φ] − dk=1 (vk v, Φxk ) − (f, Φ) =19 /0.29§3.2.
Определение обобщенного решения.План исследования (Повторение)ОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ. реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.k20 / 29§3.2. Определение обобщенного решения.План исследования (Повторение)ОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ. реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.kЗаметим, что в определении отсутствует давление.20 / 29§3.2. Определение обобщенного решения.План исследования (Повторение)ОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ.
реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.kЗаметим, что в определении отсутствует давление.Изучаемвопросы:о восстановлении давления,20 / 29§3.2. Определение обобщенного решения.План исследования (Повторение)ОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ. реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.kЗаметим, что в определении отсутствует давление.Изучаемвопросы:о восстановлении давления,о существовании обобщённого решения,20 / 29§3.2. Определение обобщенного решения.План исследования (Повторение)ОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
