1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

21 / 37Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),22 / 37Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.022 / 37Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.022 / 37Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.0Тогда для любого ϕ ∈ D(0, T ) найдется ψ ∈ D(0, T ),т.ч.22 / 37Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.0Тогда для любого ϕ ∈ D(0, T ) найдется ψ ∈ D(0, T ),т.ч.dψ≡ ψ 0 = ϕ − λϕ0 ,dt22 / 37Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.0Тогда для любого ϕ ∈ D(0, T ) найдется ψ ∈ D(0, T ),т.ч.dψ≡ ψ 0 = ϕ − λϕ0 ,dtRTλ = ϕ(t) dt.022 / 37ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,023 / 37ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).23 / 37ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.023 / 37ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).23 / 37ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).Для первообразной (то есть, для ψ) выбираемконстанту интегрирования так, что ψ = 0 приt=023 / 37ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).Для первообразной (то есть, для ψ) выбираемконстанту интегрирования так, что ψ = 0 при t = 0и ψ = 0 при t = T .23 / 37ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).Для первообразной (то есть, для ψ) выбираемконстанту интегрирования так, что ψ = 0 при t = 0и ψ = 0 при t = T .Такая функция ψ — это есть искомаяпервообразная.23 / 37ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).Для первообразной (то есть, для ψ) выбираемконстанту интегрирования так, что ψ = 0 при t = 0и ψ = 0 при t = T .Такая функция ψ — это есть искомая первообразная.23 / 37ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).Для первообразной (то есть, для ψ) выбираемконстанту интегрирования так, что ψ = 0 при t = 0и ψ = 0 при t = T .Такая функция ψ — это есть искомая первообразная.23 / 37Лемма 4.3ПустьX — банахово пространство,24 / 37Лемма 4.3ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).24 / 37Лемма 4.3ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).24 / 37Лемма 4.3ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).ТогдаСледующие три утверждения эквивалентны:24 / 37Лемма 4.3ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).Тогда1Следующие три утверждения эквивалентны:Rt˙ ∈ [0, T ],u(t) = ξ + g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t024 / 37Лемма 4.3ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).Тогда1Следующие три утверждения эквивалентны:Rt˙ ∈ [0, T ],u(t) = ξ + g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t02∀ψ ∈ D(0, T )RT0RTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt,024 / 37Лемма 4.3ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).Тогда1Следующие три утверждения эквивалентны:Rt˙ ∈ [0, T ],u(t) = ξ + g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt,2∀ψ ∈ D(0, T )3dhη, ui = hη, gi.∀η ∈ X∗dt0024 / 37Лемма 4.3ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).Тогда1Следующие три утверждения эквивалентны:Rt˙ ∈ [0, T ],u(t) = ξ + g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt,2∀ψ ∈ D(0, T )3dhη, ui = hη, gi.∀η ∈ X∗dt0024 / 37Лемма 4.3ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).Тогда1Следующие три утверждения эквивалентны:Rt˙ ∈ [0, T ],u(t) = ξ + g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t02∀ψ ∈ D(0, T )RT03RTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt,0dhη, ui = hη, gi.∀η ∈ X∗dtЕсли выполнены 1—3, то u = ũ п.в.

и ũ ∈ C (0, T ; X).24 / 3725 / 371⇒326 / 371⇒31. u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t026 / 371⇒31. u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t03. ∀η ∈ X∗dhη, ui = hη, gidt26 / 371⇒31. u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0dhη, ui = hη, gidtTRRT3’. hη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt,3. ∀η ∈ X∗00∀ψ ∈ D(0, T )26 / 371⇒31. u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0dhη, ui = hη, gidtTRRT3’. hη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt,3. ∀η ∈ X∗00∀ψ ∈ D(0, T )Подействовать η ∈ X∗ на 1.26 / 371⇒31. u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0dhη, ui = hη, gidtTRRT3’. hη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt,3.

∀η ∈ X∗00∀ψ ∈ D(0, T )Подействовать η ∈ X∗ на 1.Умножить на ψ 0 (ψ ∈ D(0, T ))26 / 371⇒31. u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0dhη, ui = hη, gidtTRRT3’. hη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt,3. ∀η ∈ X∗00∀ψ ∈ D(0, T )Подействовать η ∈ X∗ на 1.Умножить на ψ 0 (ψ ∈ D(0, T ))Интегрирование по частям26 / 373⇒227 / 373⇒23. ∀η ∈ X∗dhη, ui = hη, gidt27 / 373⇒2dhη, ui = hη, gidtTRRT3’.

hη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt,3. ∀η ∈ X∗00∀ψ ∈ D(0, T )27 / 373⇒2dhη, ui = hη, gidtTRRT3’. hη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt,3. ∀η ∈ X∗00∀ψ ∈ D(0, T )2. ∀ψ ∈ D(0, T )RT0RTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt027 / 373⇒2dhη, ui = hη, gidtTRRT3’. hη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt,3. ∀η ∈ X∗00∀ψ ∈ D(0, T )RTRT2. ∀ψ ∈ D(0, T ) u(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt0*+0TRTRη, u(t)ψ 0 (t) dt + g(t)ψ(t) dt = 0, ∀η ∈ X ∗ .0027 / 372⇒128 / 372⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RT0RTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt028 / 372⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RT01. u(t) = ξ +RtRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t028 / 372⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RT01. u(t) = ξ +RtRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0u0 (t) :=Rtg(s) ds028 / 372⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01.

u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0u0 (t) :=Rtg(s) ds0u0 абс. непр. на [0, T ] и u00 = g28 / 372⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01. u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0u0 (t) :=Rtg(s) ds0u0 абс. непр. на [0, T ] и u00 = gv := u − u028 / 372⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01. u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0u0 (t) :=Rtg(s) ds0u0 абс. непр. на [0, T ] и u00 = gv := u − u0Нужно показать, что v не зависит от t28 / 372⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01. u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0u0 (t) :=Rtg(s) ds0u0 абс. непр. на [0, T ] и u00 = gv := u − u0Нужно показать, что v не зависит от tu = u0 + v в 2.28 / 372⇒12.

∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01. u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0u0 (t) :=Rtg(s) ds0u0 абс. непр. на [0, T ] и u00 = gv := u − u0Нужно показать, что v не зависит от tu = u0 + v в 2.интегрирование по частям28 / 372⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01. u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0u0 (t) :=Rtg(s) ds0u0 абс. непр. на [0, T ] и u00 = gv := u − u0Нужно показать, что v не зависит от tu = u0 + v в 2.интегрирование по частямRTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T )028 / 372⇒1ИмеемRTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T )029 / 372⇒1ИмеемRTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T )0ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1029 / 372⇒1ИмеемRTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T )0ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 10по ϕ и ϕ0 : ψ ∈ D(0, T ), ψ 0 = ϕ − λϕ029 / 372⇒1ИмеемRTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T )0ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 10по ϕ и ϕ0 : ψ ∈ D(0, T ), ψ 0 = ϕ − λϕ0RTξ = v(s)ϕ0 (s) ds029 / 372⇒1ИмеемRTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T )0ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 10по ϕ и ϕ0 : ψ ∈ D(0, T ), ψ 0 = ϕ − λϕ0RTξ = v(s)ϕ0 (s) ds0∀ϕ ∈ D(0, T )ZTZT(v(t)−ξ)ϕ(t) dt =0!ZTv(t) ϕ(t)− ϕ(s) ds ϕ0 (t) d0ZT0ZTv(t)(ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt ==00v(t)ψ 0 (t) dt = 0.29 / 372⇒1ИмеемRTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T )0ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 10по ϕ и ϕ0 : ψ ∈ D(0, T ), ψ 0 = ϕ − λϕ0RTξ = v(s)ϕ0 (s) ds0∀ϕ ∈ D(0, T )ZTZT(v(t)−ξ)ϕ(t) dt =0!ZTv(t) ϕ(t)− ϕ(s) ds ϕ0 (t) d0ZT0ZTv(t)(ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt ==00v(t)ψ 0 (t) dt = 0.29 / 372⇒1ИмеемRTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T )0ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 10по ϕ и ϕ0 : ψ ∈ D(0, T ), ψ 0 = ϕ − λϕ0RTξ = v(s)ϕ0 (s) ds0∀ϕ ∈ D(0, T )ZTZT(v(t)−ξ)ϕ(t) dt =0!ZTv(t) ϕ(t)− ϕ(s) ds ϕ0 (t) d0ZT0ZTv(t)(ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt ==00v(t)ψ 0 (t) dt = 0.29 / 372⇒1ИмеемRTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T )0ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 10по ϕ и ϕ0 : ψ ∈ D(0, T ), ψ 0 = ϕ − λϕ0RTξ = v(s)ϕ0 (s) ds0∀ϕ ∈ D(0, T )ZTZT(v(t)−ξ)ϕ(t) dt =0!ZTv(t) ϕ(t)− ϕ(s) ds ϕ0 (t) d0ZT0ZTv(t)(ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt ==00v(t)ψ 0 (t) dt = 0.29 / 372⇒1ИмеемRTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T )0ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 10по ϕ и ϕ0 : ψ ∈ D(0, T ), ψ 0 = ϕ − λϕ0RTξ = v(s)ϕ0 (s) ds0∀ϕ ∈ D(0, T )ZTZT(v(t)−ξ)ϕ(t) dt =0!ZTv(t) ϕ(t)− ϕ(s) ds ϕ0 (t) d0ZT0ZTv(t)(ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt ==00v(t)ψ 0 (t) dt = 0.29 / 372⇒1ИмеемRT(v(t) − ξ)ϕ(t) dt = 0030 / 372⇒1RTИмеем (v(t) − ξ)ϕ(t) dt = 00∀ϕ ∈ D(0, T )RT0v(t)ϕ(t) dt =RTξϕ(t) dt030 / 372⇒1RTИмеем (v(t) − ξ)ϕ(t) dt = 00∀ϕ ∈ D(0, T )RTv(t)ϕ(t) dt =0RTξϕ(t) dt0v(t) = ξ п.в.

Характеристики

Список файлов лекций