1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

. . ω1 (x2 ),где|xi |2 expпри |xi | ≤ 1,|xi |2 − 1ω1 (xi ) =0при |xi | ≥ 1.2 / 29Усреднение (сглаживание) функцийПоложим1ωρ (x) := n ωρ x.ρОчевидно, имеем3 / 29Усреднение (сглаживание) функцийПоложим1ωρ (x) := n ωρ x.ρОчевидно, имеемωρ ≥ 0,3 / 29Усреднение (сглаживание) функцийПоложим1ωρ (x) := n ωρ x.ρОчевидно, имеемωρ ≥ 0,ωρ ||x|>ρ = 0,3 / 29Усреднение (сглаживание) функцийПоложим1ωρ (x) := n ωρ x.ρОчевидно, имеемωρ ≥ 0,ωρ ||x|>ρ = 0,Rωρ (x) dx = 1.Rn3 / 29Усреднение функцийДалее положимZu(y)ωρ (x − y) dyuρ (x) =Ω— усреднение функции u с ядром ω.4 / 29Усреднение функцийДалее положимZu(y)ωρ (x − y) dyuρ (x) =Ω— усреднение функции u с ядром ω.Легко обосновать следующие свойства:uρ ∈ C∞ (Ω);4 / 29Усреднение функцийДалее положимZu(y)ωρ (x − y) dyuρ (x) =Ω— усреднение функции u с ядром ω.Легко обосновать следующие свойства:uρ ∈ C∞ (Ω);если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, то uρ → u в Lp (Ω);4 / 29Усреднение функцийДалее положимZu(y)ωρ (x − y) dyuρ (x) =Ω— усреднение функции u с ядром ω.Легко обосновать следующие свойства:uρ ∈ C∞ (Ω);если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, то uρ → u в Lp (Ω);Rесли u · v dx имеет смысл, тоΩZZuρ · v dx =Ωu · vρ dx;Ω4 / 29Усреднение функцийДалее положимZu(y)ωρ (x − y) dyuρ (x) =Ω— усреднение функции u с ядром ω.Легко обосновать следующие свойства:uρ ∈ C∞ (Ω);если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, то uρ → u в Lp (Ω);Rесли u · v dx имеет смысл, тоΩZZuρ · v dx =Ωu · vρ dx;Ωесли существует uxi , то (uxi )ρ = (uρ )xi приdist(x, ∂Ω) > ρ.4 / 29Другие способы усреднений: усредненияпо СтекловуРассмотрим ω = χ(0,1)n или ω = χ(−1,1)n ,5 / 29Другие способы усреднений: усредненияпо СтекловуРассмотрим ω = χ(0,1)n или ω = χ(−1,1)n ,где χ — характеристическая функцияинтервала.5 / 29Другие способы усреднений: усредненияпо СтекловуРассмотрим ω = χ(0,1)n или ω = χ(−1,1)n ,где χ — характеристическая функция интервала.Имеем: если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, тоuρ ∈ W1,p (Ω) и uρ → u в Lp (Ω).5 / 29Другие способы усреднений: усредненияпо СтекловуРассмотрим ω = χ(0,1)n или ω = χ(−1,1)n ,где χ — характеристическая функция интервала.Имеем: если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, то uρ ∈ W1,p (Ω)и uρ → u в Lp (Ω).Аналогично предыдущему, операция усредненияв L2 является самосопряженной и коммутируетс дифференцированием.5 / 29Другие способы усреднений: усредненияпо СтекловуРассмотрим ω = χ(0,1)n или ω = χ(−1,1)n ,где χ — характеристическая функция интервала.Имеем: если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, то uρ ∈ W1,p (Ω)и uρ → u в Lp (Ω).Аналогично предыдущему, операция усреднения в L2является самосопряженной и коммутирует сдифференцированием.Еще имеем, если u ограничена, тоDi (uρ (x)) =u(x + ρei ) − u(x).ρ5 / 29Другие варианты усреднений: усредненияпо направлениямМожно рассмотреть ω : Rk → R, k < n,6 / 29Другие варианты усреднений: усредненияпо направлениямМожно рассмотреть ω : Rk → R, k < n,x = (x1 , x2 ), x1 ∈ Rk , x2 ∈ Rn−k .6 / 29Другие варианты усреднений: усредненияпо направлениямМожно рассмотреть ω : Rk → R, k < n,x = (x1 , x2 ), x1 ∈ Rk , x2 ∈ Rn−k .ПолагаемZu(y1 , x2 )ωρ (x1 − y1 ) dy1 .uρ (x) =Rd6 / 29Другие варианты усреднений: усредненияпо направлениямМожно рассмотреть ω : Rk → R, k < n,x = (x1 , x2 ), x1 ∈ Rk , x2 ∈ Rn−k .ПолагаемZu(y1 , x2 )ωρ (x1 − y1 ) dy1 .uρ (x) =RdОписанные на предыдущем слайде свойствавыполняются только по переменным x1 .6 / 29Другие варианты усреднений: усредненияпо направлениямМожно рассмотреть ω : Rk → R, k < n,x = (x1 , x2 ), x1 ∈ Rk , x2 ∈ Rn−k .ПолагаемZu(y1 , x2 )ωρ (x1 − y1 ) dy1 .uρ (x) =RdОписанные на предыдущем слайде свойствавыполняются только по переменным x1 .Часто усреднение по направлениямприменяется в следующем случае:(x1 , x2 ) = (x, t), то есть усреднение по Стекловупроводится по t (например, в методе Ротэ).6 / 29§1.5.

Пространства соленоидальных ипотенциальных функций7 / 29§1.5. Пространства соленоидальных ипотенциальных функцийСоленоидальностьВектор-функция называется соленоидальной, еслиdivx u = 0,7 / 29§1.5. Пространства соленоидальных ипотенциальных функцийСоленоидальностьВектор-функция называется соленоидальной, еслиdivx u = 0,то есть дивергенция вектора u равна нулю.7 / 29§1.5. Пространства соленоидальных ипотенциальных функцийСоленоидальностьВектор-функция называется соленоидальной, еслиdivx u = 0,то есть дивергенция вектора u равна нулю.ПотенциальностьВектор-функция называется потенциальной, еслисуществует скалярная функция ϕ, такая, чтоu = ∇x ϕ,7 / 29§1.5.

Пространства соленоидальных ипотенциальных функцийСоленоидальностьВектор-функция называется соленоидальной, еслиdivx u = 0,то есть дивергенция вектора u равна нулю.ПотенциальностьВектор-функция называется потенциальной, еслисуществует скалярная функция ϕ, такая, чтоu = ∇x ϕ,то есть вектор-функция u является градиентомкакой-либо скалярной функции.7 / 29Пространства соленоидальных ипотенциальных функцийПр-во потенц.функцийG(Ω) = {g ∈ L2 (Ω) | ∃ϕ ∈ H1 (Ω), g = ∇x ϕ}.8 / 29Пространства соленоидальных ипотенциальных функцийПр-во потенц.функцийG(Ω) = {g ∈ L2 (Ω) | ∃ϕ ∈ H1 (Ω), g = ∇x ϕ}.Пр-васоленоид.функцийJ̇(Ω) = {u ∈ D(Ω) | divx u = 0};8 / 29Пространства соленоидальных ипотенциальных функцийПр-во потенц.функцийG(Ω) = {g ∈ L2 (Ω) | ∃ϕ ∈ H1 (Ω), g = ∇x ϕ}.Пр-васоленоид.функцийJ̇(Ω) = {u ∈ D(Ω) | divx u = 0};J0 (Ω) = J̇(Ω)|L2 ;8 / 29Пространства соленоидальных ипотенциальных функцийПр-во потенц.функцийG(Ω) = {g ∈ L2 (Ω) | ∃ϕ ∈ H1 (Ω), g = ∇x ϕ}.Пр-васоленоид.функцийJ̇(Ω) = {u ∈ D(Ω) | divx u = 0};J0 (Ω) = J̇(Ω)|L2 ;H(Ω) = J10 (Ω) = J̇(Ω)|H1 .08 / 29Пространства соленоидальных ипотенциальных функцийПр-во потенц.функцийG(Ω) = {g ∈ L2 (Ω) | ∃ϕ ∈ H1 (Ω), g = ∇x ϕ}.Пр-васоленоид.функцийJ̇(Ω) = {u ∈ D(Ω) | divx u = 0};J0 (Ω) = J̇(Ω)|L2 ;H(Ω) = J10 (Ω) = J̇(Ω)|H1 .08 / 29Пространства соленоидальных ипотенциальных функцийПр-во потенц.функцийG(Ω) = {g ∈ L2 (Ω) | ∃ϕ ∈ H1 (Ω), g = ∇x ϕ}.Пр-васоленоид.функцийJ̇(Ω) = {u ∈ D(Ω) | divx u = 0};J0 (Ω) = J̇(Ω)|L2 ;H(Ω) = J10 (Ω) = J̇(Ω)|H1 .0Скалярноепроизв.

в H(u, v)H = (∇x u, ∇x v)2 = [u, v].8 / 29§1.6. Разложение пространства L2Лемма.Пусть граница ограниченной области Ωкусочно-гладкая.9 / 29§1.6. Разложение пространства L2Лемма.Пусть граница ограниченной области Ωкусочно-гладкая.Тогда L2 (Ω) = J0 (Ω) ⊕ G(Ω).9 / 29§1.6. Разложение пространства L2Лемма.Пусть граница ограниченной области Ωкусочно-гладкая.Тогда L2 (Ω) = J0 (Ω) ⊕ G(Ω).9 / 29§1.6. Разложение пространства L2Лемма.Пусть граница ограниченной области Ωкусочно-гладкая.Тогда L2 (Ω) = J0 (Ω) ⊕ G(Ω).Доказательство на семинаре (задача 7).9 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №1Пусть v ∈ C1 .10 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №1Пусть v ∈ C1 .Ищем гладкие u и p: v = u + ∇x p и divx u = 0.10 / 29Примеры разложения L2 (Ω).

Пример №1Пусть v ∈ C1 .Ищем гладкие u и p: v = u + ∇x p и divx u = 0.10 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №1Пусть v ∈ C1 .Ищем гладкие u и p: v = u + ∇x p и divx u = 0.Рассмотрим уравнение ∆x p = divx v.Усл-е награницеРассмотрим вопрос: как поставить условие награнице?Пусть u ∈ J0 . Тогда∃ un ∈ J̇, так, что un → u вL2 , но необяз. uΓ = 0.10 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №1Пусть v ∈ C1 .Ищем гладкие u и p: v = u + ∇x p и divx u = 0.Рассмотрим уравнение ∆x p = divx v.Усл-е награницеРассмотрим вопрос: как поставить условие награнице?Пусть u ∈ J0. Тогда ∃ un ∈ J̇, так, что un → u в L2 ,но необяз. uΓ = 0.Имеем, divx u = 0 и (u, ∇x ϕ) = 0.

Отсюда,10 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №1Пусть v ∈ C1 .Ищем гладкие u и p: v = u + ∇x p и divx u = 0.Рассмотрим уравнение ∆x p = divx v.Усл-е награницеРассмотрим вопрос: как поставить условие награнице?Пусть u ∈ J0. Тогда ∃ un ∈ J̇, так, что un → u в L2 ,но необяз. uΓ = 0.Имеем, divx u = 0 и (u, ∇x ϕ) = 0. Отсюда,RR0 = divx (uϕ) dx = ϕ u · n dΓ .ΩΓ10 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №1Пусть v ∈ C1 .Ищем гладкие u и p: v = u + ∇x p и divx u = 0.Рассмотрим уравнение ∆x p = divx v.Усл-е награницеРассмотрим вопрос: как поставить условие награнице?Пусть u ∈ J0. Тогда ∃ un ∈ J̇, так, что un → u в L2 ,но необяз.

uΓ = 0.Имеем, divx u = 0 и (u, ∇x ϕ) = 0. Отсюда,RR0 = divx (uϕ) dx = ϕ u · n dΓ .ΩΓ∂p Значит, u · n|Γ = 0 и, следовательно, v · n|Γ =.∂n Γ10 / 29Результат:Приходим к задаче Неймана:∆x p = divx v, (∂p/∂n)Γ = v · n|Γ .11 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №2Пусть v ∈ L2 (Ω). Ищем u = v − ∇x p, u ∈ J0 ,p ∈ H 1 (Ω).12 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №2Пусть v ∈ L2 (Ω).

Ищем u = v − ∇x p, u ∈ J0 ,p ∈ H 1 (Ω).Введем H̃ 1 (Ω) = {p ∈ H 1 (Ω) :Rp dx = 0}.Ω12 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №2Пусть v ∈ L2 (Ω). Ищем u = v − ∇x p, u ∈ J0 ,p ∈ H 1 (Ω).Введем H̃ 1 (Ω) = {p ∈ H 1 (Ω) :Rp dx = 0}.ΩИщем p ∈ H̃ 1 (Ω):имеем (v, ∇x ϕ) = [p, ϕ]H̃ 1 (Ω)∀ϕ ∈ H̃ 1 (Ω).12 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №2Пусть v ∈ L2 (Ω). Ищем u = v − ∇x p, u ∈ J0 ,p ∈ H 1 (Ω).Введем H̃ 1 (Ω) = {p ∈ H 1 (Ω) :Rp dx = 0}.ΩИщем p ∈ H̃ 1 (Ω):имеем (v, ∇x ϕ) = [p, ϕ]H̃ 1 (Ω)∀ϕ ∈ H̃ 1 (Ω).Выражение (∇x p, ∇x ϕ) можно использовать какскал. пр.

в H̃ 1 (Ω).12 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №2Пусть v ∈ L2 (Ω). Ищем u = v − ∇x p, u ∈ J0 ,p ∈ H 1 (Ω).Введем H̃ 1 (Ω) = {p ∈ H 1 (Ω) :Rp dx = 0}.ΩИщем p ∈ H̃ 1 (Ω):имеем (v, ∇x ϕ) = [p, ϕ]H̃ 1 (Ω)∀ϕ ∈ H̃ 1 (Ω).Выражение (∇x p, ∇x ϕ) можно использовать какскал. пр. в H̃ 1 (Ω).Лин. ф-л lv (ϕ) = (v, ∇x ϕ) определен и ограниченна H̃ 1 (Ω).12 / 29Примеры разложения L2 (Ω). Пример №2Пусть v ∈ L2 (Ω).

Характеристики

Список файлов лекций