1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Вполненепрерывность доказана.12 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.Положим Φ := v.13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.Положим Φ := v.Имеем νkvk2H = ν[v, v] = λb(v, v, v) + λ(f, v),13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.Положим Φ := v.Имеем νkvk2H = ν[v, v] = λb(v, v, v) + λ(f, v),b(v, v, v) = 0,13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.Положим Φ := v.Имеем νkvk2H = ν[v, v] = λb(v, v, v) + λ(f, v),b(v, v, v) = 0,|(f, v)| = |[F, v]| ≤ kFkH kvkH .13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.Положим Φ := v.Имеем νkvk2H = ν[v, v] = λb(v, v, v) + λ(f, v),b(v, v, v) = 0,|(f, v)| = |[F, v]| ≤ kFkH kvkH .Значит νkvk2H ≤ λkFkH kvkH ,13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.Положим Φ := v.Имеем νkvk2H = ν[v, v] = λb(v, v, v) + λ(f, v),b(v, v, v) = 0,|(f, v)| = |[F, v]| ≤ kFkH kvkH .Значит νkvk2H ≤ λkFkH kvkH ,λkfkH ∗откуда kvkH ≤ kfkH ∗ ≤.νν13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.Положим Φ := v.Имеем νkvk2H = ν[v, v] = λb(v, v, v) + λ(f, v),b(v, v, v) = 0,|(f, v)| = |[F, v]| ≤ kFkH kvkH .Значит νkvk2H ≤ λkFkH kvkH ,λkfkH ∗откуда kvkH ≤ kfkH ∗ ≤.νν13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.Положим Φ := v.Имеем νkvk2H = ν[v, v] = λb(v, v, v) + λ(f, v),b(v, v, v) = 0,|(f, v)| = |[F, v]| ≤ kFkH kvkH .Значит νkvk2H ≤ λkFkH kvkH ,λkfkH ∗откуда kvkH ≤ kfkH ∗ ≤.ννИтак, для AF выполнены условия теоремыЛерэ–Шаудера.13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.Положим Φ := v.Имеем νkvk2H = ν[v, v] = λb(v, v, v) + λ(f, v),b(v, v, v) = 0,|(f, v)| = |[F, v]| ≤ kFkH kvkH .Значит νkvk2H ≤ λkFkH kvkH ,λkfkH ∗откуда kvkH ≤ kfkH ∗ ≤.ννИтак, для AF выполнены условия теоремыЛерэ–Шаудера.

Остается заметить, что неподвижнаяточка AF — это о.р. задачи (1). Теорема 3.3доказана.13 / 37Априорная оценкаПостроим оценку для уравнения v = λAF v.Пусть λ ∈ [0, 1].Рассмотрим v = λAF v.Положим Φ := v.Имеем νkvk2H = ν[v, v] = λb(v, v, v) + λ(f, v),b(v, v, v) = 0,|(f, v)| = |[F, v]| ≤ kFkH kvkH .Терминология.Значит νkvk2H ≤ λkFkH kvkH ,λkfkH ∗откуда kvkH ≤ kfkH ∗ ≤.ννИтак, для AF выполнены условия теоремыЛерэ–Шаудера. Остается заметить, что неподвижнаяточка AF — это о.р.

задачи (1). Теорема 3.3доказана.kfkH∗Неравенство kvkH ≤называется оценкой Лерэ.13 / 37ν§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.414 / 37§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.4Пусть14 / 37§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.4ПустьCp — постоянная из неравенства Пуанкаре(kuk ≤ Cp kux k),14 / 37§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.4ПустьCp — постоянная из неравенства Пуанкаре(kuk ≤ Cp kux k),C1 — постоянная из неравенства k · k4 ≤ C1 k · kH1 ,14 / 37§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.4ПустьCp — постоянная из неравенства Пуанкаре(kuk ≤ Cp kux k),C1 — постоянная из неравенства k · k4 ≤ C1 k · kH1 ,ν2f удовлетворяет требованию kfk2 < 2 .C1 Cp14 / 37§3.5.

Единственность медленных теченийТеорема 3.4ПустьCp — постоянная из неравенства Пуанкаре(kuk ≤ Cp kux k),C1 — постоянная из неравенства k · k4 ≤ C1 k · kH1 ,ν2f удовлетворяет требованию kfk2 < 2 .C1 Cp14 / 37§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.4ПустьCp — постоянная из неравенства Пуанкаре(kuk ≤ Cp kux k),C1 — постоянная из неравенства k · k4 ≤ C1 k · kH1 ,ν2f удовлетворяет требованию kfk2 < 2 .C1 CpТогдао.р. задачи (1) единственно.14 / 37Доказательствоkuk ≤ Cp kux k15 / 37Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 115 / 37Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 Cp15 / 37Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 Cp15 / 37Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 CpИмеем,RkfkH ∗ = supΦ∈H(Ω)f · Φ dxΩkΦkHkfk2 kΦk2≤ Cp kfk2 ,kΦkHΦ∈H(Ω)≤ sup15 / 37Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 CpИмеем,RkfkH ∗ = supΦ∈H(Ω)f · Φ dxΩkΦkHkfk2 kΦk2≤ Cp kfk2 ,kΦkHΦ∈H(Ω)≤ supkfkH∗ ≤ Cp kfk2 .15 / 37Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 CpИмеем,RkfkH ∗ = supΦ∈H(Ω)f · Φ dxΩkΦkHkfk2 kΦk2≤ Cp kfk2 ,kΦkHΦ∈H(Ω)≤ supkfkH∗ ≤ Cp kfk2 .Отсюда и из оценки Лерэ kvkH ≤kfkH∗выводимν15 / 37Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 CpИмеем,RkfkH ∗ = supΦ∈H(Ω)f · Φ dxΩkΦkHkfk2 kΦk2≤ Cp kfk2 ,kΦkHΦ∈H(Ω)≤ supkfkH∗ ≤ Cp kfk2 .kfkH∗выводимνkfk2 CpνkvkH ≤< 2.νC1Отсюда и из оценки Лерэ kvkH ≤15 / 37Пусть v1 , v2 — два решения.16 / 37Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .16 / 37Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р.

выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0∀ Φ ∈ H(Ω).16 / 37Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р. выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.16 / 37Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р. выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 016 / 37Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р.

выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 0и заметим, что b(v1 , u, u) = 0.16 / 37Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р. выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 0и заметим, что b(v1 , u, u) = 0.16 / 37Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р. выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 0и заметим, что b(v1 , u, u) = 0.Оцениваем:νkuk2H = b(u, u, v2 )≤ kuk4 kv2 k4 kukH ≤ C12 kuk2H kv2 kH ≤C12 Cpkuk2H kfk2 .ν16 / 37Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р. выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 0и заметим, что b(v1 , u, u) = 0.Оцениваем:νkuk2H = b(u, u, v2 )≤ kuk4 kv2 k4 kukH ≤ C12 kuk2H kv2 kH ≤Итак, νkuk2H ≤C12 Cpkuk2H kfk2 .νC12 Cp2ν kukH kfk2 .16 / 37Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р.

выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 0и заметим, что b(v1 , u, u) = 0.Оцениваем:νkuk2H = b(u, u, v2 )≤ kuk4 kv2 k4 kukH ≤ C12 kuk2H kv2 kH ≤C12 Cpkuk2H kfk2 .νC 2CИтак, νkuk2H ≤ 1ν p kuk2H kfk2 .То есть, если kuk2H 6= 0, то νkuk2H < νkuk2H , чегобыть не может.16 / 37Глава 4.Функциональные пространства с выделеннойпеременной (пространства Бохнера)17 / 37§4.1. Интегральные неравенства.Лемма ГронуоллаЛемма 4.1(Предварительный результат.)Пусть y : [0, T ] → R+ — непрерывная функция,18 / 37§4.1. Интегральные неравенства.Лемма ГронуоллаЛемма 4.1(Предварительный результат.)Пусть y : [0, T ] → R+ — непрерывная функция,пусть для почти всех t ∈ (0, T ) имеет местонеравенствоdy(t) ≤ C1 (t)y (t) + C2 (t),dt18 / 37§4.1. Интегральные неравенства.Лемма ГронуоллаЛемма 4.1(Предварительный результат.)Пусть y : [0, T ] → R+ — непрерывная функция,пусть для почти всех t ∈ (0, T ) имеет местонеравенствоdy(t) ≤ C1 (t)y (t) + C2 (t),dtгде C1 , C2 ∈ L1 (0, T ).18 / 37§4.1.

Интегральные неравенства.Лемма ГронуоллаЛемма 4.1(Предварительный результат.)Пусть y : [0, T ] → R+ — непрерывная функция,пусть для почти всех t ∈ (0, T ) имеет местонеравенствоdy(t) ≤ C1 (t)y (t) + C2 (t),dtгде C1 , C2 ∈ L1 (0, T ).18 / 37§4.1. Интегральные неравенства.Лемма ГронуоллаЛемма 4.1(Предварительный результат.)Пусть y : [0, T ] → R+ — непрерывная функция,пусть для почти всех t ∈ (0, T ) имеет местонеравенствоdy(t) ≤ C1 (t)y (t) + C2 (t),dtгде C1 , C2 ∈ L1 (0, T ).ТогдаRty (t) ≤ e 0C1 (τ ) dτZty (0) +−C2 (τ )eRτ0C1 (ξ) dξ!dτ .018 / 37Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;19 / 37Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );19 / 37Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;19 / 37Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;Rty (t) ≤ C + A(τ )y (τ ) + B(τ ) dτ .019 / 37Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;Rty (t) ≤ C + A(τ )y (τ ) + B(τ ) dτ .019 / 37Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;Rty (t) ≤ C + A(τ )y (τ ) + B(τ ) dτ .019 / 37Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;Rty (t) ≤ C + A(τ )y (τ ) + B(τ ) dτ .0ТогдаRty (t) ≤ e 0ZtA(τ ) dτC+−B(τ )eRτ0A(ξ) dξ!dτ .019 / 37Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;Rty (t) ≤ C + A(τ )y (τ ) + B(τ ) dτ .0ТогдаRty (t) ≤ e 0ZtA(τ ) dτC+−B(τ )eRτ0!A(ξ) dξdτ .0Док-воОставим леммы 4.1 и 4.2 без доказательства.19 / 37§4.2.

Определения и основные свойствапространств БохнераНепрерывныефункции20 / 37§4.2. Определения и основные свойствапространств БохнераНепрерывныефункцииПусть X — банахово пространство;20 / 37§4.2. Определения и основные свойствапространств БохнераНепрерывныефункцииПусть X — банахово пространство;пусть функция u действует из [0, T ] в X, то есть,u : [0, T ] 7→ X.20 / 37§4.2. Определения и основные свойствапространств БохнераНепрерывныефункцииПусть X — банахово пространство;пусть функция u действует из [0, T ] в X, то есть,u : [0, T ] 7→ X.Говорим, что u непрерывна по t, если имеетместо предельное соотношениеku(t1 ) − u(t2 )kX → 0 при t1 → t2∀t1 , t2 ∈ [0, T ].20 / 37§4.2.

Определения и основные свойствапространств БохнераНепрерывныефункцииПусть X — банахово пространство;пусть функция u действует из [0, T ] в X, то есть,u : [0, T ] 7→ X.Говорим, что u непрерывна по t, если имеет местопредельное соотношениеku(t1 ) − u(t2 )kX → 0 при t1 → t2∀t1 , t2 ∈ [0, T ].Введем в рассмотрение C (0, T ; X) —пространство непрерывных функцийu : [0, T ] → X с конечной нормойkukC (0,T ;X) = sup ku(t)kX .0≤t≤T20 / 37Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.21 / 37Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.Тогда Lp (0, T ; X) — пространство измеримыхфункций u : [0, T ] 7→ X с конечной нормойkukLp ([0,T ];X ) = kkukX kLp (0,T ) .21 / 37Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.Тогда Lp (0, T ; X) — пространство измеримыхфункций u : [0, T ] 7→ X с конечной нормойkukLp ([0,T ];X ) = kkukX kLp (0,T ) .21 / 37Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.Тогда Lp (0, T ; X) — пространство измеримыхфункций u : [0, T ] 7→ X с конечной нормойkukLp ([0,T ];X ) = kkukX kLp (0,T ) .Терминология.Пространство Lp (0, T ; X) называется пространствомБохнера.21 / 37Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.Тогда Lp (0, T ; X) — пространство измеримыхфункций u : [0, T ] 7→ X с конечной нормойkukLp ([0,T ];X ) = kkukX kLp (0,T ) .Терминология.Пространство Lp (0, T ; X) называется пространствомБохнера.Далее,пусть X — пр-во функций, определённых наΩ ⊂ Rn .21 / 37Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.Тогда Lp (0, T ; X) — пространство измеримыхфункций u : [0, T ] 7→ X с конечной нормойkukLp ([0,T ];X ) = kkukX kLp (0,T ) .Терминология.Пространство Lp (0, T ; X) называется пространствомБохнера.Далее,пусть X — пр-во функций, определённых на Ω ⊂ Rn .эл-ты C (0, T ; X) и Lp (0, T ; X) — можем понимать,как функции, определенные на множестве[0, T ] × Ω, то есть записывать так: u = u(x, t).

Характеристики

Список файлов лекций