1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

ТогдаH10 (Ω) ,→,→ L2 (Ω).(Без доказательства.)14 / 25Оценка интеграла по границеЛемма 1.7.Пусть ∂Ω ∈ C 2 .15 / 25Оценка интеграла по границеЛемма 1.7.Пусть ∂Ω ∈ C 2 . Тогда существует постоянная C (Ω),такая, что15 / 25Оценка интеграла по границеЛемма 1.7.Пусть ∂Ω ∈ C 2 . Тогда существует постоянная C (Ω),такая, что ∀ u ∈ W1,1 (Ω):15 / 25Оценка интеграла по границеЛемма 1.7.Пусть ∂Ω ∈ C 2 . Тогда существует постоянная C (Ω),такая, что ∀ u ∈ W1,1 (Ω):ZZ|u| dΓ ≤ C (Ω) (|u| + |ux |) dx .∂ΩΩ15 / 25Доказательство.16 / 25Доказательство.Сначала приведем схему доказательства.16 / 25Доказательство.Сначала приведем схему доказательства.Сперва доказываем для гладких функций.Затем пользуемся плотностью множествагладких функций в W1,1 (Ω).16 / 25Доказательство.Сначала приведем схему доказательства.Сперва доказываем для гладких функций. Затемпользуемся плотностью множества гладких функцийв W1,1 (Ω).Разобъем границу на конечное множествокусков.16 / 25Доказательство.Сначала приведем схему доказательства.Сперва доказываем для гладких функций.

Затемпользуемся плотностью множества гладких функцийв W1,1 (Ω).Разобъем границу на конечное множество кусков.На каждом отдельном куске записываемуравнение границы в виде:xi = f (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ).и проводим оценивание.16 / 25Доказательство.Сначала приведем схему доказательства.Сперва доказываем для гладких функций.

Затемпользуемся плотностью множества гладких функцийв W1,1 (Ω).Разобъем границу на конечное множество кусков.На каждом отдельном куске записываем уравнениеграницы в виде:xi = f (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ).и проводим оценивание.Складываем результаты по отдельным кускам.16 / 25Пусть S — некоторый кусок.17 / 25Пусть S — некоторый кусок.На S проведём параметризацию: x1 = f (x0 ),x0 = (x2 , .

. . , xn ) ∈ M.17 / 25Пусть S — некоторый кусок.На S проведём параметризацию: x1 = f (x0 ),x0 = (x2 , . . . , xn ) ∈ M.Требуем ∃a : {(x1 , x0 ) : x0 ∈ M, a < x1 ≤ f (x0 )} ⊂ Ω.17 / 25Пусть S — некоторый кусок.На S проведём параметризацию: x1 = f (x0 ),x0 = (x2 , . . . , xn ) ∈ M.Требуем ∃a : {(x1 , x0 ) : x0 ∈ M, a < x1 ≤ f (x0 )} ⊂ Ω.Требуем: b > 0, f (x0 ) ≥ a + b при x0 ∈ M.17 / 25По формуле Ньютона — Лейбница:u(f (x0 ), x0 ) = u(s, x0 ) +fZ(x0 )ux1 dx 1 .s18 / 25По формуле Ньютона — Лейбница:u(f (x0 ), x0 ) = u(s, x0 ) +fZ(x0 )ux1 dx 1 .sДомножаем наp1 + ∇f 2 (x0 ).18 / 25По формуле Ньютона — Лейбница:u(f (x0 ), x0 ) = u(s, x0 ) +fZ(x0 )ux1 dx 1 .sДомножаем наp1 + ∇f 2 (x0 ).Интегрируем по M:ZZ|u| dΓ ≤SM|u(s, x0 )|+fZ(x0 )|ux1 | dx 1!p1 + ∇f 2 dx0 .s18 / 25Интегрируем по s от a до a + bZZ|u| dΓ ≤ CbS!0|u(s, x )| + b|ux1 | dx 1dx .Ω19 / 25Интегрируем по s от a до a + bZZ|u| dΓ ≤ CbS!0|u(s, x )| + b|ux1 | dx 1dx .ΩЧисло кусков конечно.

Комбинируя все такиенеравенства, завершаем доказательство.19 / 25Интегрируем по s от a до a + bZZ|u| dΓ ≤ CbS!0|u(s, x )| + b|ux1 | dx 1dx .ΩЧисло кусков конечно. Комбинируя все такиенеравенства, завершаем доказательство.19 / 25Интегрируем по s от a до a + bZZ|u| dΓ ≤ CbS!0|u(s, x )| + b|ux1 | dx 1dx .ΩЧисло кусков конечно. Комбинируя все такиенеравенства, завершаем доказательство.19 / 25Лемма 1.8.Пусть ∂Ω ∈ C 2 .

Тогда существует постоянная C (Ω),такая, что для любых u ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω)справедливо неравенствоkukH 2 ≤ C (Ω)(k∆ukL2 + kukH 1 ).20 / 25Лемма 1.8.Пусть ∂Ω ∈ C 2 . Тогда существует постоянная C (Ω),такая, что для любых u ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω)справедливо неравенствоkukH 2 ≤ C (Ω)(k∆ukL2 + kukH 1 ).Оставим без доказательства. (Док-во можно найти впособии И.В.

Басова, О.Б. Бочарова, С.А.Саженкова.)20 / 25§1.4. Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функциюгладкими функциями.21 / 25§1.4. Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:21 / 25§1.4. Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:ω ≥ 0,ω||x|>1 = 0,Rω(x) dx = 1,Rn21 / 25§1.4. Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:ω ≥ 0, ω||x|>1 = 0,Rω(x) dx = 1,Rnчасто дополнительно требуют, что ω — четнаяфункция.21 / 25§1.4. Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:ω ≥ 0, ω||x|>1 = 0,Rω(x) dx = 1,Rnчасто дополнительно требуют, что ω — четная функция.21 / 25§1.4.

Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:ω ≥ 0, ω||x|>1 = 0,Rω(x) dx = 1,Rnчасто дополнительно требуют, что ω — четная функция.Пример.21 / 25§1.4. Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:Rω ≥ 0, ω||x|>1 = 0,ω(x) dx = 1,Rnчасто дополнительно требуют, что ω — четная функция.Пример.Указанными выше свойствами обладает функцияω(x) = ω1 (x1 ) . . . ω1 (x2 ),гдеω1 (xi ) =exp|xi |2|xi |2 − 10при |xi | ≤ 1,при |xi | ≥ 1.21 / 25Усреднение (сглаживание) функцийПоложим1ωρ (x) := n ωρ x.ρОчевидно, имеем22 / 25Усреднение (сглаживание) функцийПоложим1ωρ (x) := n ωρ x.ρОчевидно, имеемωρ ≥ 0,22 / 25Усреднение (сглаживание) функцийПоложим1ωρ (x) := n ωρ x.ρОчевидно, имеемωρ ≥ 0,ωρ ||x|>ρ = 0,22 / 25Усреднение (сглаживание) функцийПоложим1ωρ (x) := n ωρ x.ρОчевидно, имеемωρ ≥ 0,ωρ ||x|>ρ = 0,Rωρ (x) dx = 1.Rn22 / 25Усреднение функцийДалее положимZu(y)ωρ (x − y) dyuρ (x) =Ω— усреднение функции u с ядром ω.23 / 25Усреднение функцийДалее положимZu(y)ωρ (x − y) dyuρ (x) =Ω— усреднение функции u с ядром ω.Легко обосновать следующие свойства:uρ ∈ C∞ (Ω);23 / 25Усреднение функцийДалее положимZu(y)ωρ (x − y) dyuρ (x) =Ω— усреднение функции u с ядром ω.Легко обосновать следующие свойства:uρ ∈ C∞ (Ω);если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, то uρ → u в Lp (Ω);23 / 25Усреднение функцийДалее положимZu(y)ωρ (x − y) dyuρ (x) =Ω— усреднение функции u с ядром ω.Легко обосновать следующие свойства:uρ ∈ C∞ (Ω);если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, то uρ → u в Lp (Ω);Rесли u · v dx имеет смысл, тоΩZZuρ · v dx =Ωu · vρ dx;Ω23 / 25Усреднение функцийДалее положимZu(y)ωρ (x − y) dyuρ (x) =Ω— усреднение функции u с ядром ω.Легко обосновать следующие свойства:uρ ∈ C∞ (Ω);если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, то uρ → u в Lp (Ω);Rесли u · v dx имеет смысл, тоΩZZuρ · v dx =Ωu · vρ dx;Ωесли существует uxi , то (uxi )ρ = (uρ )xi приdist(x, ∂Ω) > ρ.23 / 25Другие разновидности усреднений:усреднения по СтекловуРассмотрим ω = χ(0,1)n или ω = χ(−1,1)n ,24 / 25Другие разновидности усреднений:усреднения по СтекловуРассмотрим ω = χ(0,1)n или ω = χ(−1,1)n ,где χ — характеристическая функцияинтервала.24 / 25Другие разновидности усреднений:усреднения по СтекловуРассмотрим ω = χ(0,1)n или ω = χ(−1,1)n ,где χ — характеристическая функция интервала.Имеем: если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, тоuρ ∈ W1,p (Ω) и uρ → u в Lp (Ω).24 / 25Другие разновидности усреднений:усреднения по СтекловуРассмотрим ω = χ(0,1)n или ω = χ(−1,1)n ,где χ — характеристическая функция интервала.Имеем: если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, то uρ ∈ W1,p (Ω)и uρ → u в Lp (Ω).Аналогично предыдущему, операция усредненияв L2 является самосопряженной и коммутируетс дифференцированием.24 / 25Другие разновидности усреднений:усреднения по СтекловуРассмотрим ω = χ(0,1)n или ω = χ(−1,1)n ,где χ — характеристическая функция интервала.Имеем: если u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, то uρ ∈ W1,p (Ω)и uρ → u в Lp (Ω).Аналогично предыдущему, операция усреднения в L2является самосопряженной и коммутирует сдифференцированием.Еще имеем, если u ограничена, тоDi (uρ (x)) =u(x + ρei ) − u(x).ρ24 / 25Другие разновидности усреднений:усреднения по направлениямМожно рассмотреть ω : Rk → R, k < n,25 / 25Другие разновидности усреднений:усреднения по направлениямМожно рассмотреть ω : Rk → R, k < n,x = (x1 , x2 ), x1 ∈ Rk , x2 ∈ Rn−k .25 / 25Другие разновидности усреднений:усреднения по направлениямМожно рассмотреть ω : Rk → R, k < n,x = (x1 , x2 ), x1 ∈ Rk , x2 ∈ Rn−k .ПолагаемZu(y1 , x2 )ωρ (x1 − y1 ) dy1 .uρ (x) =Rd25 / 25Другие разновидности усреднений:усреднения по направлениямМожно рассмотреть ω : Rk → R, k < n,x = (x1 , x2 ), x1 ∈ Rk , x2 ∈ Rn−k .ПолагаемZu(y1 , x2 )ωρ (x1 − y1 ) dy1 .uρ (x) =RdОписанные на предыдущем слайде свойствавыполняются только по переменным x1 .25 / 25Другие разновидности усреднений:усреднения по направлениямМожно рассмотреть ω : Rk → R, k < n,x = (x1 , x2 ), x1 ∈ Rk , x2 ∈ Rn−k .ПолагаемZu(y1 , x2 )ωρ (x1 − y1 ) dy1 .uρ (x) =RdОписанные на предыдущем слайде свойствавыполняются только по переменным x1 .Часто усреднение по направлениямприменяется в следующем случае:(x1 , x2 ) = (x, t), то есть усреднение по Стекловупроводится по t (например, в методе Ротэ).25 / 25Математические модели механикисплошных сред.

Лекция №3ЛекторСеместрСергей Александрович СаженковВесна 20161 / 29§1.4. Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функциюгладкими функциями.2 / 29§1.4. Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:2 / 29§1.4. Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:ω ≥ 0,ω||x|>1 = 0,Rω(x) dx = 1,Rn2 / 29§1.4.

Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:ω ≥ 0, ω||x|>1 = 0,Rω(x) dx = 1,Rnчасто дополнительно требуют, что ω — четнаяфункция.2 / 29§1.4. Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:ω ≥ 0, ω||x|>1 = 0,Rω(x) dx = 1,Rnчасто дополнительно требуют, что ω — четная функция.2 / 29§1.4.

Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:ω ≥ 0, ω||x|>1 = 0,Rω(x) dx = 1,Rnчасто дополнительно требуют, что ω — четная функция.Пример.2 / 29§1.4. Усреднение (сглаживание) функцийЦель — приблизить заданную функцию гладкимифункциями.Пусть ω ∈ C ∞ (Rn ) — функция со следующимисвойствами:ω ≥ 0, ω||x|>1 = 0,Rω(x) dx = 1,Rnчасто дополнительно требуют, что ω — четная функция.Пример.Указанными выше свойствами обладает функцияω(x) = ω1 (x1 ) .

Характеристики

Список файлов лекций