1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

j-го уравнения на gjm .Просуммируем по всем j.20 / 26Равномерные оценки приближенныхрешений0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим л.ч. и п.ч. j-го уравнения на gjm .Просуммируем по всем j.Учтёмb(um , um , um ) = 0.20 / 26Равномерные оценки приближенныхрешений0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим л.ч.

и п.ч. j-го уравнения на gjm .Просуммируем по всем j.УчтёмВыводимb(um , um , um ) = 0.1 dkum k22 +ν[um , um ] = (f, um ) ≤ C kfkH∗ (Ω) kum kH(Ω) .2 dt20 / 26Равномерные оценки приближенныхрешений0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим л.ч. и п.ч. j-го уравнения на gjm .Просуммируем по всем j.УчтёмВыводимb(um , um , um ) = 0.1 dkum k22 +ν[um , um ] = (f, um ) ≤ C kfkH∗ (Ω) kum kH(Ω) .2 dt⇒kum kL2 (0,T ;H(Ω)) + kum kL∞ (0,T ;J0 (Ω)) ≤ C .20 / 26Равномерные оценки приближенныхрешений0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим л.ч.

и п.ч. j-го уравнения на gjm .Просуммируем по всем j.УчтёмВыводимb(um , um , um ) = 0.1 dkum k22 +ν[um , um ] = (f, um ) ≤ C kfkH∗ (Ω) kum kH(Ω) .2 dt⇒ kum kL2 (0,T ;H(Ω)) + kum kL∞ (0,T ;J0 (Ω)) ≤ C .Приближённое решение продолжим на (0, T ).20 / 26Равномерная оценка для u0mНапомним: g(u), Φ = b(u, Φ, u),21 / 26Равномерная оценка для u0mНапомним: g(u), Φ = b(u, Φ, u),(Aum , Φ) = [um , Φ].21 / 26Равномерная оценка для u0mНапомним: g(u), Φ = b(u, Φ, u),(Aum , Φ) = [um , Φ].21 / 26Равномерная оценка для u0mНапомним: g(u), Φ = b(u, Φ, u),(Aum , Φ) = [um , Φ].Т.к.kum kL2 (0,T ;H(Ω)) + kum kL∞ (0,T ;J0 (Ω)) ≤ C ,21 / 26Равномерная оценка для u0mНапомним: g(u), Φ = b(u, Φ, u),(Aum , Φ) = [um , Φ].Т.к.тоkum kL2 (0,T ;H(Ω)) + kum kL∞ (0,T ;J0 (Ω)) ≤ C ,kg(um )kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) + kAum kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) ≤ C .21 / 26Равномерная оценка для u0mНапомним: g(u), Φ = b(u, Φ, u),(Aum , Φ) = [um , Φ].Т.к.тоkum kL2 (0,T ;H(Ω)) + kum kL∞ (0,T ;J0 (Ω)) ≤ C ,kg(um )kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) + kAum kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) ≤ C .Имеем: u0m = Pm g(um ) − νAum + f — проекцияна hω1 , .

. . , ωm i,21 / 26Равномерная оценка для u0mНапомним: g(u), Φ = b(u, Φ, u),(Aum , Φ) = [um , Φ].Т.к.тоkum kL2 (0,T ;H(Ω)) + kum kL∞ (0,T ;J0 (Ω)) ≤ C ,kg(um )kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) + kAum kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) ≤ C .Имеем: u0m = Pm g(um ) − νAum + f — проекция наhω1 , . . . , ωm i,где Pm — проектор из H∗ (Ω) на hω1 , . .

. , ωm i.21 / 26Равномерная оценка для u0mНапомним: g(u), Φ = b(u, Φ, u),(Aum , Φ) = [um , Φ].Т.к.тоkum kL2 (0,T ;H(Ω)) + kum kL∞ (0,T ;J0 (Ω)) ≤ C ,kg(um )kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) + kAum kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) ≤ C .Имеем: u0m = Pm g(um ) − νAum + f — проекция наhω1 , .

. . , ωm i,где Pm — проектор из H∗ (Ω) на hω1 , . . . , ωm i.Заметим, что Pm просто «обрезает» ряд Фурье,21 / 26Равномерная оценка для u0mНапомним: g(u), Φ = b(u, Φ, u),(Aum , Φ) = [um , Φ].Т.к.тоkum kL2 (0,T ;H(Ω)) + kum kL∞ (0,T ;J0 (Ω)) ≤ C ,kg(um )kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) + kAum kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) ≤ C .Имеем: u0m = Pm g(um ) − νAum + f — проекция наhω1 , . . . , ωm i,где Pm — проектор из H∗ (Ω) на hω1 , . . . , ωm i.Заметим, что Pm просто «обрезает» ряд Фурье,kPm kL(H∗ (Ω)) ≤ 1,21 / 26Равномерная оценка для u0mНапомним: g(u), Φ = b(u, Φ, u),(Aum , Φ) = [um , Φ].Т.к.тоkum kL2 (0,T ;H(Ω)) + kum kL∞ (0,T ;J0 (Ω)) ≤ C ,kg(um )kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) + kAum kL2 (0,T ;H∗ (Ω)) ≤ C .Имеем: u0m = Pm g(um ) − νAum + f — проекция наhω1 , . .

. , ωm i,где Pm — проектор из H∗ (Ω) на hω1 , . . . , ωm i.Заметим, что Pm просто «обрезает» ряд Фурье,kPm kL(H∗ (Ω)) ≤ 1,{u0m } ограничена в L2 (0, T ; H∗ (Ω)).21 / 26Сходимость подпоследовательностиПереходя к подпоследовательности (принеобходимости), выводимum * u в L2 (0, T ; H(Ω)),22 / 26Сходимость подпоследовательностиПереходя к подпоследовательности (принеобходимости), выводимum * u в L2 (0, T ; H(Ω)),∗um * u в L∞ (0, T ; J0 (Ω)),22 / 26Сходимость подпоследовательностиПереходя к подпоследовательности (принеобходимости), выводимum * u в L2 (0, T ; H(Ω)),∗um * u в L∞ (0, T ; J0 (Ω)),u0m * u0 в L2 (0, T ; H∗ (Ω)).22 / 26Сходимость подпоследовательностиПереходя к подпоследовательности (принеобходимости), выводимum * u в L2 (0, T ; H(Ω)),∗um * u в L∞ (0, T ; J0 (Ω)),u0m * u0 в L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Имеем, H ,→,→ J0 ,→ H∗ .22 / 26Сходимость подпоследовательностиПереходя к подпоследовательности (принеобходимости), выводимum * u в L2 (0, T ; H(Ω)),∗um * u в L∞ (0, T ; J0 (Ω)),u0m * u0 в L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Имеем, H ,→,→ J0 ,→ H∗ .Значит, по теореме Обена um → uв L2 (0, T ; J0 (Ω)).22 / 26Сходимость подпоследовательностиПереходя к подпоследовательности (принеобходимости), выводимum * u в L2 (0, T ; H(Ω)),∗um * u в L∞ (0, T ; J0 (Ω)),u0m * u0 в L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Имеем, H ,→,→ J0 ,→ H∗ .Значит, по теореме Обена um → u в L2 (0, T ; J0 (Ω)).Далее, umi umj *χij в L2 (0, T ; L1 (Ω)).22 / 26Сходимость подпоследовательностиПереходя к подпоследовательности (принеобходимости), выводимum * u в L2 (0, T ; H(Ω)),∗um * u в L∞ (0, T ; J0 (Ω)),u0m * u0 в L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Имеем, H ,→,→ J0 ,→ H∗ .Значит, по теореме Обена um → u в L2 (0, T ; J0 (Ω)).Далее, umi umj *χij в L2 (0, T ; L1 (Ω)).Из сильной сходимости um следуетравенство χij = ui uj .22 / 26Сходимость подпоследовательностиПереходя к подпоследовательности (принеобходимости), выводимum * u в L2 (0, T ; H(Ω)),∗um * u в L∞ (0, T ; J0 (Ω)),u0m * u0 в L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Имеем, H ,→,→ J0 ,→ H∗ .Значит, по теореме Обена um → u в L2 (0, T ; J0 (Ω)).Далее, umi umj *χij в L2 (0, T ; L1 (Ω)).Из сильной сходимости um следуетравенство χij = ui uj .Таким образом, b(um , ωj , um )*b(u, ωj , u)в L2 (0, T ) ∀ j = 1, .

. . , m.22 / 26Сходимость подпоследовательностиПереходя к подпоследовательности (принеобходимости), выводимum * u в L2 (0, T ; H(Ω)),∗um * u в L∞ (0, T ; J0 (Ω)),u0m * u0 в L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Имеем, H ,→,→ J0 ,→ H∗ .Значит, по теореме Обена um → u в L2 (0, T ; J0 (Ω)).Далее, umi umj *χij в L2 (0, T ; L1 (Ω)).Из сильной сходимости um следуетравенство χij = ui uj .Таким образом, b(um , ωj , um )*b(u, ωj , u) в L2 (0, T )∀ j = 1, .

. . , m.Еще имеем (u0m , ωj )*(u0 , ωj ) в D 0 (0, T ).22 / 26Переход к пределу в уравненииu0m (t), ωj + ν[um (t), ωj ]= b um (t), ωj , um (t) + f(t), ωj ,1 ≤ j ≤ m.23 / 26Переход к пределу в уравненииu0m (t), ωj + ν[um (t), ωj ]= b um (t), ωj , um (t) + f(t), ωj ,1 ≤ j ≤ m.При m → ∞ выводимhu0 (t), ωj i + ν[u(t), ωj ]= b u(t), ωj , u(t) + hf(t), ωj i,1 ≤ j ≤ M < +∞.23 / 26Переход к пределу в уравненииu0m (t), ωj + ν[um (t), ωj ]= b um (t), ωj , um (t) + f(t), ωj ,1 ≤ j ≤ m.При m → ∞ выводимhu0 (t), ωj i + ν[u(t), ωj ]= b u(t), ωj , u(t) + hf(t), ωj i,1 ≤ j ≤ M < +∞.Линейные комбинации ωj плотны в H(Ω), значит23 / 26Переход к пределу в уравненииu0m (t), ωj + ν[um (t), ωj ]= b um (t), ωj , um (t) + f(t), ωj ,1 ≤ j ≤ m.При m → ∞ выводимhu0 (t), ωj i + ν[u(t), ωj ]= b u(t), ωj , u(t) + hf(t), ωj i,1 ≤ j ≤ M < +∞.Линейные комбинации ωj плотны в H(Ω), значитвсе слагаемые имеют смысл при заменеωj ↔ ϕ ∈ H(Ω).23 / 26Переход к пределу в уравненииu0m (t), ωj + ν[um (t), ωj ]= b um (t), ωj , um (t) + f(t), ωj ,1 ≤ j ≤ m.При m → ∞ выводимhu0 (t), ωj i + ν[u(t), ωj ]= b u(t), ωj , u(t) + hf(t), ωj i,1 ≤ j ≤ M < +∞.Линейные комбинации ωj плотны в H(Ω), значитвсе слагаемые имеют смысл при заменеωj ↔ ϕ ∈ H(Ω).23 / 26Переход к пределу в уравненииu0m (t), ωj + ν[um (t), ωj ]= b um (t), ωj , um (t) + f(t), ωj ,1 ≤ j ≤ m.При m → ∞ выводимhu0 (t), ωj i + ν[u(t), ωj ]= b u(t), ωj , u(t) + hf(t), ωj i,1 ≤ j ≤ M < +∞.Линейные комбинации ωj плотны в H(Ω), значитвсе слагаемые имеют смысл при заменеωj ↔ ϕ ∈ H(Ω).⇒hu0 , Φi + ν[u, Φ] + b(u, Φ, u) − hf, Φi = 0.23 / 26Приём начальных условийНужно показать, что u(0) = u0 .0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим на ψ ∈ C 1 (0, T ), ψ(T ) = 0.24 / 26Приём начальных условийНужно показать, что u(0) = u0 .0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим на ψ ∈ C 1 (0, T ), ψ(T ) = 0.Интегрируем по частям.24 / 26Приём начальных условийНужно показать, что u(0) = u0 .0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим на ψ ∈ C 1 (0, T ), ψ(T ) = 0.Интегрируем по частям.Переходим к пределу.

Выводим:24 / 26Приём начальных условийНужно показать, что u(0) = u0 .0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим на ψ ∈ C 1 (0, T ), ψ(T ) = 0.Интегрируем по частям.Переходим к пределу. Выводим:24 / 26Приём начальных условийНужно показать, что u(0) = u0 .0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим на ψ ∈ C 1 (0, T ), ψ(T ) = 0.Интегрируем по частям.Переходим к пределу. Выводим:ZT 0ZT+0ν[u(t), Φ] + b u(t), Φ, u(t) + hf(t), Φi ψ(t) dtu(t)ψ 0 (t), Φ dt = (u0 , Φ)ψ(0),∀Φ ∈ H(Ω).24 / 26Вспомним:hu0 , Φi + ν[u, Φ] + b(u, Φ, u) − hf, Φi = 0.25 / 26Вспомним:hu0 , Φi + ν[u, Φ] + b(u, Φ, u) − hf, Φi = 0.Далее, имеем:ZThu0 (t), Φiψ(t) dt =0ZT ν[u(t), Φ] + b u(t), Φ, u(t) + hf(t), Φi ψ(t) dt .025 / 26Вспомним:hu0 , Φi + ν[u, Φ] + b(u, Φ, u) − hf, Φi = 0.Далее, имеем:ZThu0 (t), Φiψ(t) dt =0ZT ν[u(t), Φ] + b u(t), Φ, u(t) + hf(t), Φi ψ(t) dt .0Интегрируя по частям, получаем:ZT 0u(t)ψ (t), Φ + u (t), Φ ψ(t) dt00= (u0 , Φ)ψ(0).25 / 26Здесь имеем:ZT−00u (t), Φ ψ(t) dt =ZTu(t)ψ 0 (t), Φ dt0− u(0), Φ ψ(0).26 / 26Здесь имеем:ZT−00u (t), Φ ψ(t) dt =ZTu(t)ψ 0 (t), Φ dt0− u(0), Φ ψ(0).Отсюда в силу того, что Φ ∈ H(Ω) произвольнои в силу того, что ψ ∈ C 1 (0, T ) произвольно,причем ψ(T ) = 0, имеем:u0 − u(0), Φ 2 ψ(0) = 0.26 / 26Здесь имеем:ZT−00u (t), Φ ψ(t) dt =ZTu(t)ψ 0 (t), Φ dt0− u(0), Φ ψ(0).Отсюда в силу того, что Φ ∈ H(Ω) произвольно и всилу того, что ψ ∈ C 1 (0, T ) произвольно, причемψ(T ) = 0, имеем:u0 − u(0), Φ 2 ψ(0) = 0.В силу произвольности ψ и Φ выводим искомоеравенство u0 = u(0).26 / 26Здесь имеем:ZT−00u (t), Φ ψ(t) dt =ZTu(t)ψ 0 (t), Φ dt0− u(0), Φ ψ(0).Отсюда в силу того, что Φ ∈ H(Ω) произвольно и всилу того, что ψ ∈ C 1 (0, T ) произвольно, причемψ(T ) = 0, имеем:u0 − u(0), Φ 2 ψ(0) = 0.В силу произвольности ψ и Φ выводим искомоеравенство u0 = u(0).26 / 26Здесь имеем:ZT−00u (t), Φ ψ(t) dt =ZTu(t)ψ 0 (t), Φ dt0− u(0), Φ ψ(0).Отсюда в силу того, что Φ ∈ H(Ω) произвольно и всилу того, что ψ ∈ C 1 (0, T ) произвольно, причемψ(T ) = 0, имеем:u0 − u(0), Φ 2 ψ(0) = 0.В силу произвольности ψ и Φ выводим искомоеравенство u0 = u(0).26 / 26.

Характеристики

Список файлов лекций