1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

vn * 0 в Lα (0, T ; X), то an * 0 в X;X ,→,→ Z ⇒ an → 0 в Z.27 / 27Хотим показать, что vn (0) → 0 в Z.RsПоложим an := 1s vn (ξ) dξ,0Rs1bn := − s(s − t)vn0 (t) dt,0vn (0) := an + bn .Так как β > 1, то можем применить неравенствоГёльдера в правой части тождестваRsbn := − 1s (s − t)vn0 (t) dt.0Фиксируем s: kbn kZ ≤Rskvn0 (t)kZ dt ≤ ε/2.0Т.к. vn * 0 в Lα (0, T ; X), то an * 0 в X;X ,→,→ Z ⇒ an → 0 в Z.27 / 27Математические модели механикисплошных сред.

Лекция №6ЛекторСеместрСергей Александрович СаженковВесна 20161 / 26Глава 5.Нелинейная нестационарная задача динамики вязкойжидкости2 / 26§5.1. Постановка задачиПусть Ω ⊂ R2 — это ограниченная область с гладкойграницей.3 / 26§5.1. Постановка задачиПусть Ω ⊂ R2 — это ограниченная область с гладкойграницей. Рассмотрим следующую системууравнений и начальных и граничных условий:Put + ui Di u = ν∆u + f − ∇p,div u = 0,(1)u|∂Ω = 0,u|t=0 = u0 .3 / 26§5.1. Постановка задачиПусть Ω ⊂ R2 — это ограниченная область с гладкойграницей.

Рассмотрим следующую системууравнений и начальных и граничных условий:Put + ui Di u = ν∆u + f − ∇p,div u = 0,(1)u|∂Ω = 0,u|t=0 = u0 .АприорнаяоценкаВыведем формально оценку для обобщенногорешения задачи (1).3 / 26§5.1. Постановка задачиПусть Ω ⊂ R2 — это ограниченная область с гладкойграницей. Рассмотрим следующую системууравнений и начальных и граничных условий:Put + ui Di u = ν∆u + f − ∇p,div u = 0,(1)u|∂Ω = 0,u|t=0 = u0 .АприорнаяоценкаВыведем формально оценку для обобщенногорешения задачи (1).Предположим (формально), что (u, p) —гладкое (классическое решение).3 / 26§5.1.

Постановка задачиПусть Ω ⊂ R2 — это ограниченная область с гладкойграницей. Рассмотрим следующую системууравнений и начальных и граничных условий:Put + ui Di u = ν∆u + f − ∇p,div u = 0,(1)u|∂Ω = 0,u|t=0 = u0 .АприорнаяоценкаВыведем формально оценку для обобщенногорешения задачи (1).Предположим (формально), что (u, p) — гладкое(классическое решение).Умножим уравнение импульсов (1)1 скалярно наu.3 / 26§5.1. Постановка задачиПусть Ω ⊂ R2 — это ограниченная область с гладкойграницей. Рассмотрим следующую системууравнений и начальных и граничных условий:Put + ui Di u = ν∆u + f − ∇p,div u = 0,(1)u|∂Ω = 0,u|t=0 = u0 .АприорнаяоценкаВыведем формально оценку для обобщенногорешения задачи (1).Предположим (формально), что (u, p) — гладкое(классическое решение).Умножим уравнение импульсов (1)1 скалярно на u.Результат проинтегрируем по x на Ω.

Получим:3 / 26§5.1. Постановка задачиПусть Ω ⊂ R2 — это ограниченная область с гладкойграницей. Рассмотрим следующую системууравнений и начальных и граничных условий:Put + ui Di u = ν∆u + f − ∇p,div u = 0,(1)u|∂Ω = 0,u|t=0 = u0 .АприорнаяоценкаВыведем формально оценку для обобщенногорешения задачи (1).Предположим (формально), что (u, p) — гладкое(классическое решение).Умножим уравнение импульсов (1)1 скалярно на u.Результат проинтегрируем по x на Ω. Получим:(u, ut ) + b(u, u, u) = −ν[u, u] + (f, u) − (∇p, u).3 / 26§5.1. Постановка задачиПусть Ω ⊂ R2 — это ограниченная область с гладкойграницей.

Рассмотрим следующую системууравнений и начальных и граничных условий:Put + ui Di u = ν∆u + f − ∇p,div u = 0,(1)u|∂Ω = 0,u|t=0 = u0 .АприорнаяоценкаВыведем формально оценку для обобщенногорешения задачи (1).Предположим (формально), что (u, p) — гладкое(классическое решение).Умножим уравнение импульсов (1)1 скалярно на u.Результат проинтегрируем по x на Ω. Получим:(u, ut ) + b(u, u, u) = −ν[u, u] + (f, u) − (∇p, u).Напомним, что здесь b(u, u, u) = 0 и (∇p, u) = 30./ 26§5.1.

Постановка задачиПусть Ω ⊂ R2 — это ограниченная область с гладкойграницей. Рассмотрим следующую системууравнений и начальных и граничных условий:Put + ui Di u = ν∆u + f − ∇p,div u = 0,(1)u|∂Ω = 0,u|t=0 = u0 .АприорнаяоценкаВыведем формально оценку для обобщенногорешения задачи (1).Предположим (формально), что (u, p) — гладкое(классическое решение).Умножим уравнение импульсов (1)1 скалярно на u.Результат проинтегрируем по x на Ω.

Получим:(u, ut ) + b(u, u, u) = −ν[u, u] + (f, u) − (∇p, u).Напомним, что здесь b(u, u, u) = 0 и (∇p, u) = 0.3 / 26Таким образом получаем первое интегральноетождество:4 / 26Таким образом получаем первое интегральноетождество:1 dkuk2 + νkuk2H(Ω) = (f, u).2 dtПредположим:f ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).4 / 26Таким образом получаем первое интегральноетождество:1 dkuk2 + νkuk2H(Ω) = (f, u).2 dtПредположим:f ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Применяя неравенство Юнга к правой части первогоинтегрального тождества, выводим оценку|(f, u)| ≤νkuk2H + C kfk2H∗ ,24 / 26Таким образом получаем первое интегральноетождество:1 dkuk2 + νkuk2H(Ω) = (f, u).2 dtПредположим:f ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Применяя неравенство Юнга к правой части первогоинтегрального тождества, выводим оценку|(f, u)| ≤νkuk2H + C kfk2H∗ ,2и, следовательно,dkuk2 + νkuk2H(Ω) ≤ C kfk2H∗ .dt4 / 26Таким образом получаем первое интегральноетождество:1 dkuk2 + νkuk2H(Ω) = (f, u).2 dtПредположим:f ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Применяя неравенство Юнга к правой части первогоинтегрального тождества, выводим оценку|(f, u)| ≤νkuk2H + C kfk2H∗ ,2и, следовательно,dkuk2 + νkuk2H(Ω) ≤ C kfk2H∗ .dt4 / 26Априорная оценкаЛемма 5.1Еслиu ∈ L2 (0, T ; H(Ω)) ∩ L∞ (0, T ; J0 (Ω)),5 / 26Априорная оценкаЛемма 5.1Еслитоu ∈ L2 (0, T ; H(Ω)) ∩ L∞ (0, T ; J0 (Ω)),Pui Di u ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).5 / 26Априорная оценкаЛемма 5.1Еслитоu ∈ L2 (0, T ; H(Ω)) ∩ L∞ (0, T ; J0 (Ω)),Pui Di u ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).ДоказательствоОцениваем:|b(u, u, ϕ)| = | − b(u, ϕ, u)| ≤ kuk24 k∇ϕk2≤ ckuk2 kukH kϕkH .5 / 26Априорная оценкаЛемма 5.1Еслитоu ∈ L2 (0, T ; H(Ω)) ∩ L∞ (0, T ; J0 (Ω)),Pui Di u ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).ДоказательствоОцениваем:|b(u, u, ϕ)| = | − b(u, ϕ, u)| ≤ kuk24 k∇ϕk2≤ ckuk2 kukH kϕkH .5 / 26Априорная оценкаЛемма 5.1Еслитоu ∈ L2 (0, T ; H(Ω)) ∩ L∞ (0, T ; J0 (Ω)),Pui Di u ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).ДоказательствоОцениваем:|b(u, u, ϕ)| = | − b(u, ϕ, u)| ≤ kuk24 k∇ϕk2≤ ckuk2 kukH kϕkH .Таким образом,Pk ui (t)Di u(t)kH∗ (Ω) ≤ cku(t)k2 ku(t)kH .5 / 26Понятие обобщённого решения I(предварительное)К настоящему моменту, мы не можем точносформулировать свойства регулярности для u0 .6 / 26Понятие обобщённого решения I(предварительное)К настоящему моменту, мы не можем точносформулировать свойства регулярности для u0 .Также, мы оставим на будущее вопрос опринятии решениями начальных данных, тоесть, пока не обсуждаем то, в каком смыслепонимается равенство u(0) = u0 .6 / 26Понятие обобщённого решения I(предварительное)К настоящему моменту, мы не можем точносформулировать свойства регулярности для u0 .Также, мы оставим на будущее вопрос о принятиирешениями начальных данных, то есть, пока необсуждаем то, в каком смысле понимается равенствоu(0) = u0 .6 / 26Понятие обобщённого решения I(предварительное)К настоящему моменту, мы не можем точносформулировать свойства регулярности для u0 .Также, мы оставим на будущее вопрос о принятиирешениями начальных данных, то есть, пока необсуждаем то, в каком смысле понимается равенствоu(0) = u0 .6 / 26Сформулируем понятие обобщенного решения Iзадачи (1) следующим образом: требуется найтивектор-функциюu ∈ L2 (0, T ; H(Ω)) ∩ L∞ (0, T ; J0 (Ω)),удовлетворяющую интегральному равенствуZT−0ZT(u, Φ)ψ dt +0b(u, Φ, u)0+ ν[u, Φ] − (f, Φ) ψ dt = 0,(?)∀Φ ∈ H(Ω), ∀ψ ∈ D(0, T ).7 / 26Существование u0Лемма 5.28 / 26Существование u0Лемма 5.2Пусть8 / 26Существование u0Лемма 5.2Пустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),8 / 26Существование u0Лемма 5.2Пустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),u — обобщенное решение задачи (1).8 / 26Существование u0Лемма 5.2Пустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),u — обобщенное решение задачи (1).8 / 26Существование u0Лемма 5.2Пустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),u — обобщенное решение задачи (1).Тогдаu0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).8 / 26Существование u0Лемма 5.2Пустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),u — обобщенное решение задачи (1).Тогдаu0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).ДоказательствоОпределим оператор A ∈ L(H(Ω), H∗ (Ω)) последующей формуле:8 / 26Существование u0Лемма 5.2Пустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),u — обобщенное решение задачи (1).Тогдаu0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).ДоказательствоОпределим оператор A ∈ L(H(Ω), H∗ (Ω)) последующей формуле:(Au, v) = [u, v].8 / 26Существование u0Лемма 5.2Пустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),u — обобщенное решение задачи (1).Тогдаu0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).ДоказательствоОпределим оператор A ∈ L(H(Ω), H∗ (Ω)) последующей формуле:(Au, v) = [u, v].Ещё определим g(u) = (u · ∇)u =Pui Di u.8 / 26Существование u0Лемма 5.2Пустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),u — обобщенное решение задачи (1).Тогдаu0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).ДоказательствоОпределим оператор A ∈ L(H(Ω), H∗ (Ω)) последующей формуле:(Au, v) = [u, v].Ещё определим g(u) = (u · ∇)u =Pui Di u.В этих терминах интегральное равенство (?)сводим к эквивалентному уравнениюu0 = νAu − g(u) + f.8 / 26u0 = νAu − g(u) + f9 / 26u0 = νAu − g(u) + fТак как g(u), Au, f ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),9 / 26u0 = νAu − g(u) + fТак как g(u), Au, f ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),то u0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).9 / 26u0 = νAu − g(u) + fТак как g(u), Au, f ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),то u0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).9 / 26u0 = νAu − g(u) + fТак как g(u), Au, f ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),то u0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).9 / 26Определение обобщённого решения II10 / 26Определение обобщённого решения IIВ (?) в силу леммы 4.4 можемпроинтегрировать по частям по t.10 / 26Определение обобщённого решения IIВ (?) в силу леммы 4.4 можем проинтегрировать почастям по t.Затем в силу произвольности пробной функцииψ приходим к следующему.10 / 26Определение обобщённого решения IIВ (?) в силу леммы 4.4 можем проинтегрировать почастям по t.Затем в силу произвольности пробной функции ψприходим к следующему.10 / 26Определение обобщённого решения IIВ (?) в силу леммы 4.4 можем проинтегрировать почастям по t.Затем в силу произвольности пробной функции ψприходим к следующему.Опред.

IIu ∈ L2 (0, T ; H(Ω)) ∩ L∞ (0, T ; J0 (Ω)) — обобщённоерешение задачи (1), еслиu = u0 п.в. в Ωt=010 / 26Определение обобщённого решения IIВ (?) в силу леммы 4.4 можем проинтегрировать почастям по t.Затем в силу произвольности пробной функции ψприходим к следующему.Опред. IIu ∈ L2 (0, T ; H(Ω)) ∩ L∞ (0, T ; J0 (Ω)) — обобщённоерешение задачи (1), еслиu = u0 п.в. в Ωt=0˙ ∈ (0, T )∀Φ ∈ H(Ω) ∀thu0 , Φi + ν[u, Φ] + b(u, Φ, u) − hf, Φi = 0.(2)10 / 26§5.2.

Единственность (n = 2)Лемма 5.311 / 26§5.2. Единственность (n = 2)Лемма 5.3ПустьV , H, V ∗ — гильбертовы пространства,11 / 26§5.2. Единственность (n = 2)Лемма 5.3ПустьV , H, V ∗ — гильбертовы пространства,V ⊂ H ≡ H∗ ⊂ V ∗ ,11 / 26§5.2. Единственность (n = 2)Лемма 5.3ПустьV , H, V ∗ — гильбертовы пространства,V ⊂ H ≡ H∗ ⊂ V ∗ ,w ∈ L2 (0, T ; V ),11 / 26§5.2. Единственность (n = 2)Лемма 5.3ПустьV , H, V ∗ — гильбертовы пространства,V ⊂ H ≡ H∗ ⊂ V ∗ ,w ∈ L2 (0, T ; V ),∂w∈ L2 (0, T ; V ∗ ).∂t11 / 26§5.2. Единственность (n = 2)Лемма 5.3ПустьV , H, V ∗ — гильбертовы пространства,V ⊂ H ≡ H∗ ⊂ V ∗ ,w ∈ L2 (0, T ; V ),∂w∈ L2 (0, T ; V ∗ ).∂t11 / 26§5.2.

Характеристики

Список файлов лекций