1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 14
Текст из файла (страница 14)
в [0, T ].20 / 27RTОтсюда следует, что (v(t) − ξ)ϕ(t) dt = 0,0то есть, ∀ϕ ∈ D(0, T )RTv(t)ϕ(t) dt =0RTξϕ(t) dt.0Значит, v(t) = ξ п.в. в [0, T ].20 / 27RTОтсюда следует, что (v(t) − ξ)ϕ(t) dt = 0,0то есть, ∀ϕ ∈ D(0, T )RTv(t)ϕ(t) dt =0RTξϕ(t) dt.0Значит, v(t) = ξ п.в. в [0, T ].Лемма доказана.20 / 27§4.3. Лемма Петре. Теорема ОбенаЦельпараграфаПри решении нелинейных задач нужна компактностьприближенных решений.
Теорема Обена позволяет еедостигнуть.Лемма 4.521 / 27§4.3. Лемма Петре. Теорема ОбенаЦельпараграфаПри решении нелинейных задач нужна компактностьприближенных решений. Теорема Обена позволяет еедостигнуть.Лемма 4.5(Лемма Петре.)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы,21 / 27§4.3. Лемма Петре. Теорема ОбенаЦельпараграфаПри решении нелинейных задач нужна компактностьприближенных решений. Теорема Обена позволяет еедостигнуть.Лемма 4.5(Лемма Петре.)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы,X и Z — рефлексивны.21 / 27§4.3. Лемма Петре. Теорема ОбенаЦельпараграфаПри решении нелинейных задач нужна компактностьприближенных решений. Теорема Обена позволяет еедостигнуть.Лемма 4.5(Лемма Петре.)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы,X и Z — рефлексивны.21 / 27§4.3.
Лемма Петре. Теорема ОбенаЦельпараграфаПри решении нелинейных задач нужна компактностьприближенных решений. Теорема Обена позволяет еедостигнуть.Лемма 4.5(Лемма Петре.)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы,X и Z — рефлексивны.Тогда∀η > 0 ∃Cη > 0 u ∈ X:kukY ≤ ηkukX + Cη kukZ .21 / 27ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:22 / 27ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ R,22 / 27ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ R,последовательность un ∈ X,22 / 27ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ R,последовательность un ∈ X,числовая последовательность {Cn } ⊂ R,22 / 27ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ R,последовательность un ∈ X,числовая последовательность {Cn } ⊂ R,22 / 27ДоказательствоПредположим обратное.
Пусть существуют:число η ∈ R,последовательность un ∈ X,числовая последовательность {Cn } ⊂ R,такие, что Cn → +∞ и выполнены неравенстваkun kY ≥ ηkun kX + Cn kun kZ .22 / 27ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ R,последовательность un ∈ X,числовая последовательность {Cn } ⊂ R,такие, что Cn → +∞ и выполнены неравенстваkun kY ≥ ηkun kX + Cn kun kZ .Обозначим vn :=un.kun kX22 / 27ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ R,последовательность un ∈ X,числовая последовательность {Cn } ⊂ R,такие, что Cn → +∞ и выполнены неравенстваkun kY ≥ ηkun kX + Cn kun kZ .un.kun kXРазделим нер-во на kun kX :Обозначим vn :=22 / 27ДоказательствоПредположим обратное.
Пусть существуют:число η ∈ R,последовательность un ∈ X,числовая последовательность {Cn } ⊂ R,такие, что Cn → +∞ и выполнены неравенстваkun kY ≥ ηkun kX + Cn kun kZ .un.kun kXРазделим нер-во на kun kX :Обозначим vn :=22 / 27ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ R,последовательность un ∈ X,числовая последовательность {Cn } ⊂ R,такие, что Cn → +∞ и выполнены неравенстваkun kY ≥ ηkun kX + Cn kun kZ .un.kun kXРазделим нер-во на kun kX :Обозначим vn :=kvn kY ≥ η + Cn kvn kZ .22 / 2723 / 27kvn kY ≥ η + Cn kvn kZОчевидно, kvn kX = 1.23 / 27kvn kY ≥ η + Cn kvn kZОчевидно, kvn kX = 1.Так как X ,→,→ Y, то kvn kY ≤ const.23 / 27kvn kY ≥ η + Cn kvn kZОчевидно, kvn kX = 1.Так как X ,→,→ Y, то kvn kY ≤ const.Так как Cn → +∞, то kvn kZ → 0.23 / 27kvn kY ≥ η + Cn kvn kZОчевидно, kvn kX = 1.Так как X ,→,→ Y, то kvn kY ≤ const.Так как Cn → +∞, то kvn kZ → 0.23 / 27kvn kY ≥ η + Cn kvn kZОчевидно, kvn kX = 1.Так как X ,→,→ Y, то kvn kY ≤ const.Так как Cn → +∞, то kvn kZ → 0.С другой стороны,23 / 27kvn kY ≥ η + Cn kvn kZОчевидно, kvn kX = 1.Так как X ,→,→ Y, то kvn kY ≤ const.Так как Cn → +∞, то kvn kZ → 0.С другой стороны,в силу того, что kvn kX = 1 и X ,→,→ Y,23 / 27kvn kY ≥ η + Cn kvn kZОчевидно, kvn kX = 1.Так как X ,→,→ Y, то kvn kY ≤ const.Так как Cn → +∞, то kvn kZ → 0.С другой стороны,в силу того, что kvn kX = 1 и X ,→,→ Y,имеем, что подпоследовательность vn сходитсясильно в Y.23 / 27kvn kY ≥ η + Cn kvn kZОчевидно, kvn kX = 1.Так как X ,→,→ Y, то kvn kY ≤ const.Так как Cn → +∞, то kvn kZ → 0.С другой стороны,в силу того, что kvn kX = 1 и X ,→,→ Y,имеем, что подпоследовательность vn сходитсясильно в Y.Однако также имеем, что kvn kY ≥ η для всехn ∈ N.23 / 27kvn kY ≥ η + Cn kvn kZОчевидно, kvn kX = 1.Так как X ,→,→ Y, то kvn kY ≤ const.Так как Cn → +∞, то kvn kZ → 0.С другой стороны,в силу того, что kvn kX = 1 и X ,→,→ Y,имеем, что подпоследовательность vn сходитсясильно в Y.Однако также имеем, что kvn kY ≥ η для всех n ∈ N.23 / 27kvn kY ≥ η + Cn kvn kZОчевидно, kvn kX = 1.Так как X ,→,→ Y, то kvn kY ≤ const.Так как Cn → +∞, то kvn kZ → 0.С другой стороны,в силу того, что kvn kX = 1 и X ,→,→ Y,имеем, что подпоследовательность vn сходитсясильно в Y.Однако также имеем, что kvn kY ≥ η для всех n ∈ N.Получили противоречие с kvn kZ → 0.23 / 27kvn kY ≥ η + Cn kvn kZОчевидно, kvn kX = 1.Так как X ,→,→ Y, то kvn kY ≤ const.Так как Cn → +∞, то kvn kZ → 0.С другой стороны,в силу того, что kvn kX = 1 и X ,→,→ Y,имеем, что подпоследовательность vn сходитсясильно в Y.Однако также имеем, что kvn kY ≥ η для всех n ∈ N.Получили противоречие с kvn kZ → 0.Лемма Петре доказана.23 / 27Теорема Обена (Aubin)Пусть24 / 27Теорема Обена (Aubin)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы,24 / 27Теорема Обена (Aubin)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы,X и Z — рефлексивны,24 / 27Теорема Обена (Aubin)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы,X и Z — рефлексивны,1 < α, β < ∞,24 / 27Теорема Обена (Aubin)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы,X и Z — рефлексивны,1 < α, β < ∞,{un } ограничена в Lα (0, T ; X),24 / 27Теорема Обена (Aubin)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы,X и Z — рефлексивны,1 < α, β < ∞,{un } ограничена в Lα (0, T ; X),{u0n } ограничена в Lβ (0, T ; Z).24 / 27Теорема Обена (Aubin)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы,X и Z — рефлексивны,1 < α, β < ∞,{un } ограничена в Lα (0, T ; X),{u0n } ограничена в Lβ (0, T ; Z).24 / 27Теорема Обена (Aubin)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы,X и Z — рефлексивны,1 < α, β < ∞,{un } ограничена в Lα (0, T ; X),{u0n } ограничена в Lβ (0, T ; Z).Тогда{un } относительно компактна в Lα (0, T ; Y).24 / 27ДоказательствоПереходим к подпоследовательностям.25 / 27ДоказательствоПереходим к подпоследовательностям.Имеем un *u в Lα (0, T ; X);25 / 27ДоказательствоПереходим к подпоследовательностям.Имеем un *u в Lα (0, T ; X);положим vn := un − u.25 / 27ДоказательствоПереходим к подпоследовательностям.Имеем un *u в Lα (0, T ; X);положим vn := un − u.Нормы kvn kLα (0,T ;X) в совокупности ограничены,25 / 27ДоказательствоПереходим к подпоследовательностям.Имеем un *u в Lα (0, T ; X);положим vn := un − u.Нормы kvn kLα (0,T ;X) в совокупности ограничены,значит vn сходятся слабо в Lα (0, T ; X);25 / 27ДоказательствоПереходим к подпоследовательностям.Имеем un *u в Lα (0, T ; X);положим vn := un − u.Нормы kvn kLα (0,T ;X) в совокупности ограничены,значит vn сходятся слабо в Lα (0, T ; X);kvn kLα (0,T ;Y) ≤ ηkvn kLα (0,T ;X) + Cη kvn kLα (0,T ;Z) ,∀η > 0;25 / 27ДоказательствоПереходим к подпоследовательностям.Имеем un *u в Lα (0, T ; X);положим vn := un − u.Нормы kvn kLα (0,T ;X) в совокупности ограничены,значит vn сходятся слабо в Lα (0, T ; X);kvn kLα (0,T ;Y) ≤ ηkvn kLα (0,T ;X) + Cη kvn kLα (0,T ;Z) ,∀η > 0;kvn kLα (0,T ;X) ≤ C ⇒ ∃η: ηkvn kLα (0,T ;X) < ε/2.25 / 27ДоказательствоПереходим к подпоследовательностям.Имеем un *u в Lα (0, T ; X);положим vn := un − u.Нормы kvn kLα (0,T ;X) в совокупности ограничены,значит vn сходятся слабо в Lα (0, T ; X);kvn kLα (0,T ;Y) ≤ ηkvn kLα (0,T ;X) + Cη kvn kLα (0,T ;Z) ,∀η > 0;kvn kLα (0,T ;X) ≤ C ⇒ ∃η: ηkvn kLα (0,T ;X) < ε/2.Для доказательстваvn → 0 в пространстве Lα (0, T ; Y)достаточноvn → 0 в пространстве Lα (0, T ; Z).25 / 2726 / 27ТеоремаЛебега(версия)26 / 27ТеоремаЛебега(версия)Пусть26 / 27ТеоремаЛебега(версия)Пустьпоследовательность {vn } сходится к пределу vп.в.
в некоторой области Ω;26 / 27ТеоремаЛебега(версия)Пустьпоследовательность {vn } сходится к пределу v п.в. внекоторой области Ω;последовательность {vn } равномерноограничена в Lα (Ω).26 / 27ТеоремаЛебега(версия)Пустьпоследовательность {vn } сходится к пределу v п.в. внекоторой области Ω;последовательность {vn } равномерно ограничена вLα (Ω).26 / 27ТеоремаЛебега(версия)Пустьпоследовательность {vn } сходится к пределу v п.в. внекоторой области Ω;последовательность {vn } равномерно ограничена вLα (Ω).26 / 27ТеоремаЛебега(версия)Пустьпоследовательность {vn } сходится к пределу v п.в.
внекоторой области Ω;последовательность {vn } равномерно ограничена вLα (Ω).Тогдаона сильно сходится в Lα (Ω).26 / 27ТеоремаЛебега(версия)Пустьпоследовательность {vn } сходится к пределу v п.в. внекоторой области Ω;последовательность {vn } равномерно ограничена вLα (Ω).Тогдаона сильно сходится в Lα (Ω).Вернемся к доказательству теоремы Обена.26 / 27ТеоремаЛебега(версия)Пустьпоследовательность {vn } сходится к пределу v п.в. внекоторой области Ω;последовательность {vn } равномерно ограничена вLα (Ω).Тогдаона сильно сходится в Lα (Ω).Вернемся к доказательству теоремы Обена.vn равномерно ограничены в Lα (0, T ; Z),26 / 27ТеоремаЛебега(версия)Пустьпоследовательность {vn } сходится к пределу v п.в.
внекоторой области Ω;последовательность {vn } равномерно ограничена вLα (Ω).Тогдаона сильно сходится в Lα (Ω).Вернемся к доказательству теоремы Обена.vn равномерно ограничены в Lα (0, T ; Z),˙ vn (t) → 0 в Z.достаточно показать, что ∀t26 / 27ТеоремаЛебега(версия)Пустьпоследовательность {vn } сходится к пределу v п.в. внекоторой области Ω;последовательность {vn } равномерно ограничена вLα (Ω).Тогдаона сильно сходится в Lα (Ω).Вернемся к доказательству теоремы Обена.vn равномерно ограничены в Lα (0, T ; Z),˙ vn (t) → 0 в Z.достаточно показать, что ∀tПокажем, например, vn (0) → 0 в Z26 / 27Хотим показать, что vn (0) → 0 в Z.27 / 27Хотим показать, что vn (0) → 0 в Z.RsПоложим an := 1s vn (ξ) dξ,027 / 27Хотим показать, что vn (0) → 0 в Z.RsПоложим an := 1s vn (ξ) dξ,0Rs1bn := − s(s − t)vn0 (t) dt,027 / 27Хотим показать, что vn (0) → 0 в Z.RsПоложим an := 1s vn (ξ) dξ,0Rs1bn := − s(s − t)vn0 (t) dt,0vn (0) := an + bn .27 / 27Хотим показать, что vn (0) → 0 в Z.RsПоложим an := 1s vn (ξ) dξ,0Rs1bn := − s(s − t)vn0 (t) dt,0vn (0) := an + bn .Так как β > 1, то можем применить неравенствоГёльдера в правой части тождестваRsbn := − 1s (s − t)vn0 (t) dt.027 / 27Хотим показать, что vn (0) → 0 в Z.RsПоложим an := 1s vn (ξ) dξ,0Rs1bn := − s(s − t)vn0 (t) dt,0vn (0) := an + bn .Так как β > 1, то можем применить неравенствоГёльдера в правой части тождестваRsbn := − 1s (s − t)vn0 (t) dt.0Фиксируем s: kbn kZ ≤Rskvn0 (t)kZ dt ≤ ε/2.027 / 27Хотим показать, что vn (0) → 0 в Z.RsПоложим an := 1s vn (ξ) dξ,0Rs1bn := − s(s − t)vn0 (t) dt,0vn (0) := an + bn .Так как β > 1, то можем применить неравенствоГёльдера в правой части тождестваRsbn := − 1s (s − t)vn0 (t) dt.0Фиксируем s: kbn kZ ≤Rskvn0 (t)kZ dt ≤ ε/2.0Т.к.
vn * 0 в Lα (0, T ; X), то an * 0 в X;27 / 27Хотим показать, что vn (0) → 0 в Z.RsПоложим an := 1s vn (ξ) dξ,0Rs1bn := − s(s − t)vn0 (t) dt,0vn (0) := an + bn .Так как β > 1, то можем применить неравенствоГёльдера в правой части тождестваRsbn := − 1s (s − t)vn0 (t) dt.0Фиксируем s: kbn kZ ≤Rskvn0 (t)kZ dt ≤ ε/2.0Т.к. vn * 0 в Lα (0, T ; X), то an * 0 в X;X ,→,→ Z ⇒ an → 0 в Z.27 / 27Хотим показать, что vn (0) → 0 в Z.RsПоложим an := 1s vn (ξ) dξ,0Rs1bn := − s(s − t)vn0 (t) dt,0vn (0) := an + bn .Так как β > 1, то можем применить неравенствоГёльдера в правой части тождестваRsbn := − 1s (s − t)vn0 (t) dt.0Фиксируем s: kbn kZ ≤Rskvn0 (t)kZ dt ≤ ε/2.0Т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
