1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 11
Текст из файла (страница 11)
в [0, T ]30 / 372⇒1RTИмеем (v(t) − ξ)ϕ(t) dt = 00∀ϕ ∈ D(0, T )RTv(t)ϕ(t) dt =0RTξϕ(t) dt0v(t) = ξ п.в. в [0, T ]30 / 372⇒1RTИмеем (v(t) − ξ)ϕ(t) dt = 00∀ϕ ∈ D(0, T )RTv(t)ϕ(t) dt =0RTξϕ(t) dt0v(t) = ξ п.в. в [0, T ]ЗДЕСЬ ЗАКОНЧИЛАСЬ ЧЕТВЁРТАЯЛЕКЦИЯ.30 / 37§4.3. Теорема ОбенаЦельпараграфаПри решении нелинейных задач нужна компактностьприближенных решений. Теорема Обена позволяет еедостигнуть.Лемма 4.531 / 37§4.3. Теорема ОбенаЦельпараграфаПри решении нелинейных задач нужна компактностьприближенных решений.
Теорема Обена позволяет еедостигнуть.Лемма 4.5(Лемма Петре.)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы31 / 37§4.3. Теорема ОбенаЦельпараграфаПри решении нелинейных задач нужна компактностьприближенных решений. Теорема Обена позволяет еедостигнуть.Лемма 4.5(Лемма Петре.)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховыX и Z — рефлексивны31 / 37§4.3. Теорема ОбенаЦельпараграфаПри решении нелинейных задач нужна компактностьприближенных решений.
Теорема Обена позволяет еедостигнуть.Лемма 4.5(Лемма Петре.)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховыX и Z — рефлексивны31 / 37§4.3. Теорема ОбенаЦельпараграфаПри решении нелинейных задач нужна компактностьприближенных решений. Теорема Обена позволяет еедостигнуть.Лемма 4.5(Лемма Петре.)ПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховыX и Z — рефлексивныТогда∀η > 0 ∃Cη > 0 u ∈ X:kukY ≤ ηkukX + Cη kukZ .31 / 37ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:32 / 37ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ R32 / 37ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ Rпоследовательность un ∈ X32 / 37ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ Rпоследовательность un ∈ Xчисловая последовательность {Cn } ∈ R32 / 37ДоказательствоПредположим обратное.
Пусть существуют:число η ∈ Rпоследовательность un ∈ Xчисловая последовательность {Cn } ∈ R32 / 37ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ Rпоследовательность un ∈ Xчисловая последовательность {Cn } ∈ Rтакие, что Cn → +∞ и выполнены неравенстваkun kY ≥ ηkun kX + Cn kun kZ32 / 37ДоказательствоПредположим обратное.
Пусть существуют:число η ∈ Rпоследовательность un ∈ Xчисловая последовательность {Cn } ∈ Rтакие, что Cn → +∞ и выполнены неравенстваkun kY ≥ ηkun kX + Cn kun kZОбозначим vn =unkun kX32 / 37ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ Rпоследовательность un ∈ Xчисловая последовательность {Cn } ∈ Rтакие, что Cn → +∞ и выполнены неравенстваkun kY ≥ ηkun kX + Cn kun kZunkun kXразделим нер-во на kun kXОбозначим vn =32 / 37ДоказательствоПредположим обратное.
Пусть существуют:число η ∈ Rпоследовательность un ∈ Xчисловая последовательность {Cn } ∈ Rтакие, что Cn → +∞ и выполнены неравенстваkun kY ≥ ηkun kX + Cn kun kZunkun kXразделим нер-во на kun kXОбозначим vn =32 / 37ДоказательствоПредположим обратное. Пусть существуют:число η ∈ Rпоследовательность un ∈ Xчисловая последовательность {Cn } ∈ Rтакие, что Cn → +∞ и выполнены неравенстваkun kY ≥ ηkun kX + Cn kun kZunkun kXразделим нер-во на kun kXОбозначим vn =kvn kY ≥ η + Cn kvn kZ32 / 37Доказательство33 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 133 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Y33 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Ykvn kY ≤ const33 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Ykvn kY ≤ constkvn kZ → 033 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Ykvn kY ≤ constkvn kZ → 033 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Ykvn kY ≤ constkvn kZ → 0С другой стороны:33 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Ykvn kY ≤ constkvn kZ → 0С другой стороны:kvn kX = 133 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Ykvn kY ≤ constkvn kZ → 0С другой стороны:kvn kX = 1X ,→,→ Y33 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Ykvn kY ≤ constkvn kZ → 0С другой стороны:kvn kX = 1X ,→,→ Yподпоследовательность vn → сильно в Y33 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Ykvn kY ≤ constkvn kZ → 0С другой стороны:kvn kX = 1X ,→,→ Yподпоследовательность vn → сильно в Ykvn kY ≥ η33 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Ykvn kY ≤ constkvn kZ → 0С другой стороны:kvn kX = 1X ,→,→ Yподпоследовательность vn → сильно в Ykvn kY ≥ η33 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Ykvn kY ≤ constkvn kZ → 0С другой стороны:kvn kX = 1X ,→,→ Yподпоследовательность vn → сильно в Ykvn kY ≥ ηПротиворечие с kvn kZ → 033 / 37Доказательствоkvn kY ≥ η + Cn kvn kZkvn kX = 1X ,→,→ Ykvn kY ≤ constkvn kZ → 0С другой стороны:kvn kX = 1X ,→,→ Yподпоследовательность vn → сильно в Ykvn kY ≥ ηПротиворечие с kvn kZ → 033 / 37Теорема ОбенаПусть34 / 37Теорема ОбенаПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховы34 / 37Теорема ОбенаПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховыX и Z — рефлексивны34 / 37Теорема ОбенаПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховыX и Z — рефлексивны1 < α, β < ∞34 / 37Теорема ОбенаПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховыX и Z — рефлексивны1 < α, β < ∞{un } ограничена в Lα (0, T ; X)34 / 37Теорема ОбенаПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховыX и Z — рефлексивны1 < α, β < ∞{un } ограничена в Lα (0, T ; X){u0n } в Lβ (0, T ; Z)34 / 37Теорема ОбенаПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховыX и Z — рефлексивны1 < α, β < ∞{un } ограничена в Lα (0, T ; X){u0n } в Lβ (0, T ; Z)34 / 37Теорема ОбенаПустьX ,→,→ Y ,→ Z — банаховыX и Z — рефлексивны1 < α, β < ∞{un } ограничена в Lα (0, T ; X){u0n } в Lβ (0, T ; Z)Тогда{un } относительно компактна в Lα (0, T ; Y).34 / 37Доказательствопереход к подпоследовательностям35 / 37Доказательствопереход к подпоследовательностям{un }*u в Lα (0, T ; X)35 / 37Доказательствопереход к подпоследовательностям{un }*u в Lα (0, T ; X)vn = un − u35 / 37Доказательствопереход к подпоследовательностям{un }*u в Lα (0, T ; X)vn = un − ukvn kLα (0,T ;X) ограничены35 / 37Доказательствопереход к подпоследовательностям{un }*u в Lα (0, T ; X)vn = un − ukvn kLα (0,T ;X) ограниченыvn * в Lα (0, T ; X)35 / 37Доказательствопереход к подпоследовательностям{un }*u в Lα (0, T ; X)vn = un − ukvn kLα (0,T ;X) ограниченыvn * в Lα (0, T ; X)∀η > 0kvn kLα (0,T ;Y) ≤ ηkvn kLα (0,T ;X) + Cη kvn kLα (0,T ;Z)35 / 37Доказательствопереход к подпоследовательностям{un }*u в Lα (0, T ; X)vn = un − ukvn kLα (0,T ;X) ограниченыvn * в Lα (0, T ; X)∀η > 0kvn kLα (0,T ;Y) ≤ ηkvn kLα (0,T ;X) + Cη kvn kLα (0,T ;Z)kvn kLα (0,T ;X) ≤ C ⇒ ∃η: ηkvn kLα (0,T ;X) < ε/235 / 37Доказательствопереход к подпоследовательностям{un }*u в Lα (0, T ; X)vn = un − ukvn kLα (0,T ;X) ограниченыvn * в Lα (0, T ; X)∀η > 0kvn kLα (0,T ;Y) ≤ ηkvn kLα (0,T ;X) + Cη kvn kLα (0,T ;Z)kvn kLα (0,T ;X) ≤ C ⇒ ∃η: ηkvn kLα (0,T ;X) < ε/2для доказательстваvn → 0 в пространстве Lα (0, T ; Y)достаточноvn → 0 в пространстве Lα (0, T ; Z).35 / 37Доказательство36 / 37ДоказательствоТеоремаЛебега36 / 37ДоказательствоТеоремаЛебегаПусть36 / 37ДоказательствоТеоремаЛебегаПустьпоследовательность сходится п.в.36 / 37ДоказательствоТеоремаЛебегаПустьпоследовательность сходится п.в.равномерно ограничена в Lα36 / 37ДоказательствоТеоремаЛебегаПустьпоследовательность сходится п.в.равномерно ограничена в Lα36 / 37ДоказательствоТеоремаЛебегаПустьпоследовательность сходится п.в.равномерно ограничена в Lα36 / 37ДоказательствоТеоремаЛебегаПустьпоследовательность сходится п.в.равномерно ограничена в LαТогдаона сильно сходится в Lα .36 / 37ДоказательствоТеоремаЛебегаПустьпоследовательность сходится п.в.равномерно ограничена в LαТогдаона сильно сходится в Lα .vn равномерно ограничены в Lα (0, T ; Z)36 / 37ДоказательствоТеоремаЛебегаПустьпоследовательность сходится п.в.равномерно ограничена в LαТогдаона сильно сходится в Lα .vn равномерно ограничены в Lα (0, T ; Z)˙ vn (t) → 0 в Zдостаточно показать, что ∀t36 / 37ДоказательствоТеоремаЛебегаПустьпоследовательность сходится п.в.равномерно ограничена в LαТогдаона сильно сходится в Lα .vn равномерно ограничены в Lα (0, T ; Z)˙ vn (t) → 0 в Zдостаточно показать, что ∀tпокажем, например, vn (0) → 0 в Z36 / 37Доказательствохотим показать, что vn (0) → 0 в Z37 / 37Доказательствохотим показать, что vn (0) → 0 в ZRsan = 1s vn (ξ) dξ037 / 37Доказательствохотим показать, что vn (0) → 0 в ZRsan = 1s vn (ξ) dξ0Rsbn = − 1s (s − t)vn0 (t) dt037 / 37Доказательствохотим показать, что vn (0) → 0 в ZRsan = 1s vn (ξ) dξ0Rsbn = − 1s (s − t)vn0 (t) dt0vn (0) = an + bn37 / 37Доказательствохотим показать, что vn (0) → 0 в ZRsan = 1s vn (ξ) dξ0Rsbn = − 1s (s − t)vn0 (t) dt0vn (0) = an + bnт.к.
β > 1, то для bn — нер. Гёльдера37 / 37Доказательствохотим показать, что vn (0) → 0 в ZRsan = 1s vn (ξ) dξ0Rsbn = − 1s (s − t)vn0 (t) dt0vn (0) = an + bnт.к. β > 1, то для bn — нер. ГёльдераRsфиксируем s: kbn kZ ≤ kvn0 (t)kZ dt ≤ ε/2037 / 37Доказательствохотим показать, что vn (0) → 0 в ZRsan = 1s vn (ξ) dξ0Rsbn = − 1s (s − t)vn0 (t) dt0vn (0) = an + bnт.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
