1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 12
Текст из файла (страница 12)
β > 1, то для bn — нер. ГёльдераRsфиксируем s: kbn kZ ≤ kvn0 (t)kZ dt ≤ ε/20т.к. vn * 0 в Lα (0, T ; X), то an * 0 в X37 / 37Доказательствохотим показать, что vn (0) → 0 в ZRsan = 1s vn (ξ) dξ0Rsbn = − 1s (s − t)vn0 (t) dt0vn (0) = an + bnт.к. β > 1, то для bn — нер. ГёльдераRsфиксируем s: kbn kZ ≤ kvn0 (t)kZ dt ≤ ε/20т.к. vn * 0 в Lα (0, T ; X), то an * 0 в XX ,→,→ Z ⇒ an → 0 в Z37 / 37Доказательствохотим показать, что vn (0) → 0 в ZRsan = 1s vn (ξ) dξ0Rsbn = − 1s (s − t)vn0 (t) dt0vn (0) = an + bnт.к.
β > 1, то для bn — нер. ГёльдераRsфиксируем s: kbn kZ ≤ kvn0 (t)kZ dt ≤ ε/20т.к. vn * 0 в Lα (0, T ; X), то an * 0 в XX ,→,→ Z ⇒ an → 0 в Z37 / 37Доказательствохотим показать, что vn (0) → 0 в ZRsan = 1s vn (ξ) dξ0Rsbn = − 1s (s − t)vn0 (t) dt0vn (0) = an + bnт.к. β > 1, то для bn — нер. ГёльдераRsфиксируем s: kbn kZ ≤ kvn0 (t)kZ dt ≤ ε/20т.к. vn * 0 в Lα (0, T ; X), то an * 0 в XX ,→,→ Z ⇒ an → 0 в Z37 / 37Математические модели механикисплошных сред.
Лекция №5ЛекторСеместрСергей Александрович СаженковВесна 20161 / 27Напоминание:постановказадачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,2 / 27Напоминание:постановказадачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,2 / 27Напоминание:постановказадачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.2 / 27Напоминание:постановказадачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.2 / 27Напоминание:постановказадачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)2 / 27Напоминание:постановказадачиПустьΩ ⊂ R2 или R3 ,∂Ω — кусочно-липшицева,вектор-функция f = f(x) задана.Требуется определить соленоидальное полескоростей v и распределение давлений p,удовлетворяющие уравнениям и краевому условиюν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,v|∂Ω = 0.(1)2 / 27Напоминание:ОпределениеобобщенногорешенияОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ.
реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.kЗаметим, что в определении отсутствует давление.Изучаемвопросы:о восстановлении давления (на семинарах),3 / 27Напоминание:ОпределениеобобщенногорешенияОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ. реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.kЗаметим, что в определении отсутствует давление.Изучаемвопросы:о восстановлении давления (на семинарах),о существовании обобщённого решения (ужеизучили),3 / 27Напоминание:ОпределениеобобщенногорешенияОбобщённоерешениеВектор-функция v ∈ H(Ω) называется обобщ.
реш.задачи (1), еслиX∀Φ ∈ H(Ω)ν[v, Φ] −(vk v, Φxk ) − (f, Φ) = 0.kЗаметим, что в определении отсутствует давление.Изучаемвопросы:о восстановлении давления (на семинарах),о существовании обобщённого решения (ужеизучили),о единственности обобщённого решения.3 / 27§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.44 / 27§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.4Пусть4 / 27§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.4ПустьCp — постоянная из неравенства Пуанкаре(kuk ≤ Cp kux k),4 / 27§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.4ПустьCp — постоянная из неравенства Пуанкаре(kuk ≤ Cp kux k),C1 — постоянная из неравенства k · k4 ≤ C1 k · kH1 ,4 / 27§3.5.
Единственность медленных теченийТеорема 3.4ПустьCp — постоянная из неравенства Пуанкаре(kuk ≤ Cp kux k),C1 — постоянная из неравенства k · k4 ≤ C1 k · kH1 ,ν2f удовлетворяет требованию kfk2 < 2 .C1 Cp4 / 27§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.4ПустьCp — постоянная из неравенства Пуанкаре(kuk ≤ Cp kux k),C1 — постоянная из неравенства k · k4 ≤ C1 k · kH1 ,ν2f удовлетворяет требованию kfk2 < 2 .C1 Cp4 / 27§3.5. Единственность медленных теченийТеорема 3.4ПустьCp — постоянная из неравенства Пуанкаре(kuk ≤ Cp kux k),C1 — постоянная из неравенства k · k4 ≤ C1 k · kH1 ,ν2f удовлетворяет требованию kfk2 < 2 .C1 CpТогдао.р. задачи (1) единственно.4 / 27Доказательствоkuk ≤ Cp kux k5 / 27Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 15 / 27Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 Cp5 / 27Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 Cp5 / 27Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 CpИмеем,RkfkH ∗ = supΦ∈H(Ω)f · Φ dxΩkΦkHkfk2 kΦk2≤ Cp kfk2 ,kΦkHΦ∈H(Ω)≤ sup5 / 27Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 CpИмеем,RkfkH ∗ = supΦ∈H(Ω)f · Φ dxΩkΦkHkfk2 kΦk2≤ Cp kfk2 ,kΦkHΦ∈H(Ω)≤ supkfkH∗ ≤ Cp kfk2 .5 / 27Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 CpИмеем,RkfkH ∗ = supΦ∈H(Ω)f · Φ dxΩkΦkHkfk2 kΦk2≤ Cp kfk2 ,kΦkHΦ∈H(Ω)≤ supkfkH∗ ≤ Cp kfk2 .Отсюда и из оценки Лерэ kvkH ≤kfkH∗выводимν5 / 27Доказательствоkuk ≤ Cp kux kk · k 4 ≤ C1 k · k H 1ν2kfk2 < 2C1 CpИмеем,RkfkH ∗ = supΦ∈H(Ω)f · Φ dxΩkΦkHkfk2 kΦk2≤ Cp kfk2 ,kΦkHΦ∈H(Ω)≤ supkfkH∗ ≤ Cp kfk2 .kfkH∗выводимνkfk2 CpνkvkH ≤< 2.νC1Отсюда и из оценки Лерэ kvkH ≤5 / 27Пусть v1 , v2 — два решения.6 / 27Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .6 / 27Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р.
выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0∀ Φ ∈ H(Ω).6 / 27Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р. выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.6 / 27Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р. выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 06 / 27Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р. выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 0и заметим, что b(v1 , u, u) = 0.6 / 27Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р.
выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 0и заметим, что b(v1 , u, u) = 0.6 / 27Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р. выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 0и заметим, что b(v1 , u, u) = 0.Оцениваем:νkuk2H = b(u, u, v2 )≤ kuk4 kv2 k4 kukH ≤ C12 kuk2H kv2 kH ≤C12 Cpkuk2H kfk2 .ν6 / 27Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р.
выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 0и заметим, что b(v1 , u, u) = 0.Оцениваем:νkuk2H = b(u, u, v2 )≤ kuk4 kv2 k4 kukH ≤ C12 kuk2H kv2 kH ≤Итак, νkuk2H ≤C12 Cpkuk2H kfk2 .νC12 Cp2ν kukH kfk2 .6 / 27Пусть v1 , v2 — два решения.Положим u := v1 − v2 .Из определения о.р.
выводимν[u, Φ] − b(u, Φ, v2 ) − b(v1 , Φ, u) = 0 ∀ Φ ∈ H(Ω).Положим Φ := u.Получим ν[u, u] − b(u, u, v2 ) − b(v1 , u, u) = 0и заметим, что b(v1 , u, u) = 0.Оцениваем:νkuk2H = b(u, u, v2 )≤ kuk4 kv2 k4 kukH ≤ C12 kuk2H kv2 kH ≤C12 Cpkuk2H kfk2 .νC 2CИтак, νkuk2H ≤ 1ν p kuk2H kfk2 .То есть, если kuk2H 6= 0, то νkuk2H < νkuk2H , чегобыть не может.6 / 27Глава 4.Функциональные пространства с выделеннойпеременной (пространства Бохнера)7 / 27§4.1. Интегральные неравенства.Лемма ГронуоллаЛемма 4.1(Предварительный результат.)Пусть y : [0, T ] → R+ — непрерывная функция,8 / 27§4.1. Интегральные неравенства.Лемма ГронуоллаЛемма 4.1(Предварительный результат.)Пусть y : [0, T ] → R+ — непрерывная функция,пусть для почти всех t ∈ (0, T ) имеет местонеравенствоdy(t) ≤ C1 (t)y (t) + C2 (t),dt8 / 27§4.1.
Интегральные неравенства.Лемма ГронуоллаЛемма 4.1(Предварительный результат.)Пусть y : [0, T ] → R+ — непрерывная функция,пусть для почти всех t ∈ (0, T ) имеет местонеравенствоdy(t) ≤ C1 (t)y (t) + C2 (t),dtгде C1 , C2 ∈ L1 (0, T ).8 / 27§4.1. Интегральные неравенства.Лемма ГронуоллаЛемма 4.1(Предварительный результат.)Пусть y : [0, T ] → R+ — непрерывная функция,пусть для почти всех t ∈ (0, T ) имеет местонеравенствоdy(t) ≤ C1 (t)y (t) + C2 (t),dtгде C1 , C2 ∈ L1 (0, T ).8 / 27§4.1.
Интегральные неравенства.Лемма ГронуоллаЛемма 4.1(Предварительный результат.)Пусть y : [0, T ] → R+ — непрерывная функция,пусть для почти всех t ∈ (0, T ) имеет местонеравенствоdy(t) ≤ C1 (t)y (t) + C2 (t),dtгде C1 , C2 ∈ L1 (0, T ).ТогдаRty (t) ≤ e 0C1 (τ ) dτZty (0) +−C2 (τ )eRτ0C1 (ξ) dξ!dτ .08 / 27Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;9 / 27Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );9 / 27Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;9 / 27Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;Rty (t) ≤ C + A(τ )y (τ ) + B(τ ) dτ .09 / 27Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;Rty (t) ≤ C + A(τ )y (τ ) + B(τ ) dτ .09 / 27Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;Rty (t) ≤ C + A(τ )y (τ ) + B(τ ) dτ .09 / 27Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;Rty (t) ≤ C + A(τ )y (τ ) + B(τ ) dτ .0ТогдаRty (t) ≤ e 0ZtA(τ ) dτC+−B(τ )eRτ0A(ξ) dξ!dτ .09 / 27Лемма ГронуоллаЛемма 4.2(Лемма Гронуолла.)Пустьy : [0, T ] → R+ — непрерывная функция;A, B ≥ 0 принадлежат L1 (0, T );C ≥ 0 — константа;Rty (t) ≤ C + A(τ )y (τ ) + B(τ ) dτ .0ТогдаRty (t) ≤ e 0ZtA(τ ) dτC+−B(τ )eRτ0!A(ξ) dξdτ .0Док-воОставим леммы 4.1 и 4.2 без доказательства.9 / 27§4.2.
Определения и основные свойствапространств БохнераНепрерывныефункции10 / 27§4.2. Определения и основные свойствапространств БохнераНепрерывныефункцииПусть X — банахово пространство;10 / 27§4.2. Определения и основные свойствапространств БохнераНепрерывныефункцииПусть X — банахово пространство;пусть функция u действует из [0, T ] в X, то есть,u : [0, T ] 7→ X.10 / 27§4.2. Определения и основные свойствапространств БохнераНепрерывныефункцииПусть X — банахово пространство;пусть функция u действует из [0, T ] в X, то есть,u : [0, T ] 7→ X.Говорим, что u непрерывна по t, если имеетместо предельное соотношениеku(t1 ) − u(t2 )kX → 0 при t1 → t2∀t1 , t2 ∈ [0, T ].10 / 27§4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
