1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Единственность (n = 2)Лемма 5.3ПустьV , H, V ∗ — гильбертовы пространства,V ⊂ H ≡ H∗ ⊂ V ∗ ,w ∈ L2 (0, T ; V ),∂w∈ L2 (0, T ; V ∗ ).∂tТогда∃w̃ ∈ C(0, T ; H): w = w̃ п.в.,11 / 26§5.2. Единственность (n = 2)Лемма 5.3ПустьV , H, V ∗ — гильбертовы пространства,V ⊂ H ≡ H∗ ⊂ V ∗ ,w ∈ L2 (0, T ; V ),∂w∈ L2 (0, T ; V ∗ ).∂tТогда∃w̃ ∈ C(0, T ; H): w = w̃ п.в.,имеет место равенство (в смыслераспределений на (0, T ))dkw(t)k2H = 2hw0 (t), w(t)i.dt11 / 26ДоказательствоПо лемме 4.4 имеем22Zskw(s)k − kw(0)k =dkw(t)k2 dtdt0Zs=limh→0!w(t + h) − w(t), w(t + h) + w(t) dt .h0Положимw(t + h) − w(t)ah :=, bh := w(t + h) + w(t),h12 / 26ДоказательствоПо лемме 4.4 имеем22Zskw(s)k − kw(0)k =dkw(t)k2 dtdt0Zs=limh→0!w(t + h) − w(t), w(t + h) + w(t) dt .h0Положимw(t + h) − w(t)ah :=, bh := w(t + h) + w(t),hah → w0 в L2 (0, T ; V ∗ ), bh → 2w в L2 (0, T ; V ).12 / 26ДоказательствоПо лемме 4.4 имеем22Zskw(s)k − kw(0)k =dkw(t)k2 dtdt0Zs=limh→0!w(t + h) − w(t), w(t + h) + w(t) dt .h0Положимw(t + h) − w(t)ah :=, bh := w(t + h) + w(t),hah → w0 в L2 (0, T ; V ∗ ), bh → 2w в L2 (0, T ; V ).RsRsИмеем lim (ah , bh ) dt = 2(w0 , w) dt.h→0 0012 / 26ДоказательствоПо лемме 4.4 имеем22Zskw(s)k − kw(0)k =dkw(t)k2 dtdt0Zs=limh→0!w(t + h) − w(t), w(t + h) + w(t) dt .h0Положимw(t + h) − w(t)ah :=, bh := w(t + h) + w(t),hah → w0 в L2 (0, T ; V ∗ ), bh → 2w в L2 (0, T ; V ).RsRsИмеем lim (ah , bh ) dt = 2(w0 , w) dt.h→0 00В силу произвольности s лемма доказана.12 / 26ДоказательствоПо лемме 4.4 имеем22Zskw(s)k − kw(0)k =dkw(t)k2 dtdt0Zs=limh→0!w(t + h) − w(t), w(t + h) + w(t) dt .h0Положимw(t + h) − w(t)ah :=, bh := w(t + h) + w(t),hah → w0 в L2 (0, T ; V ∗ ), bh → 2w в L2 (0, T ; V ).RsRsИмеем lim (ah , bh ) dt = 2(w0 , w) dt.h→0 00В силу произвольности s лемма доказана.12 / 26ДоказательствоПо лемме 4.4 имеем22Zskw(s)k − kw(0)k =dkw(t)k2 dtdt0Zs=limh→0!w(t + h) − w(t), w(t + h) + w(t) dt .h0Положимw(t + h) − w(t)ah :=, bh := w(t + h) + w(t),hah → w0 в L2 (0, T ; V ∗ ), bh → 2w в L2 (0, T ; V ).RsRsИмеем lim (ah , bh ) dt = 2(w0 , w) dt.h→0 00В силу произвольности s лемма доказана.12 / 26Теорема единственности13 / 26Теорема единственностиПустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),13 / 26Теорема единственностиПустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),u0 ∈ J0 (Ω).13 / 26Теорема единственностиПустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),u0 ∈ J0 (Ω).13 / 26Теорема единственностиПустьf ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)),u0 ∈ J0 (Ω).Тогдасуществует не более одного обобщенного решениязадачи (1).13 / 26Доказательство14 / 26ДоказательствоПо лемме 5.2u0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).14 / 26ДоказательствоПо лемме 5.2Пустьu0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).u, u∗ — решения.14 / 26ДоказательствоПо лемме 5.2Пустьu0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).u, u∗ — решения.Положим w := u − u∗ .14 / 26ДоказательствоПо лемме 5.2u0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Пустьu, u∗ — решения.Положим w := u − u∗ .Тогдаhw0 , Φi + ν[w, Φ] + b(w, u, Φ) + b(u∗ , w, Φ) = 0,∀Φ ∈ H(Ω).14 / 26ДоказательствоПо лемме 5.2u0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Пустьu, u∗ — решения.Положим w := u − u∗ .Тогдаhw0 , Φi + ν[w, Φ] + b(w, u, Φ) + b(u∗ , w, Φ) = 0,∀Φ ∈ H(Ω).Так какw ∈ L2 (0, T ; H(Ω)), то можем взять14 / 26ДоказательствоПо лемме 5.2u0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Пустьu, u∗ — решения.Положим w := u − u∗ .Тогдаhw0 , Φi + ν[w, Φ] + b(w, u, Φ) + b(u∗ , w, Φ) = 0,∀Φ ∈ H(Ω).Так какw ∈ L2 (0, T ; H(Ω)), то можем взятьΦ = w(t).14 / 26ДоказательствоПо лемме 5.2u0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Пустьu, u∗ — решения.Положим w := u − u∗ .Тогдаhw0 , Φi + ν[w, Φ] + b(w, u, Φ) + b(u∗ , w, Φ) = 0,∀Φ ∈ H(Ω).Так какw ∈ L2 (0, T ; H(Ω)), то можем взятьΦ = w(t).По лемме 5.3:hw, w0 i =1 d˙ ∈ (0, T ].kwk2 ∀t2 dt14 / 26ДоказательствоПо лемме 5.2u0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Пустьu, u∗ — решения.Положим w := u − u∗ .Тогдаhw0 , Φi + ν[w, Φ] + b(w, u, Φ) + b(u∗ , w, Φ) = 0,∀Φ ∈ H(Ω).Так какw ∈ L2 (0, T ; H(Ω)), то можем взятьΦ = w(t).По лемме 5.3:1 d˙ ∈ (0, T ].kwk2 ∀t2 dtВ силу этого приходим к равенствуRtRt1kwk2 + ν kwx k2 + b(w, u, w) + b(u∗ , w, w) = 0200hw, w0 i =14 / 26ДоказательствоПо лемме 5.2u0 ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Пустьu, u∗ — решения.Положим w := u − u∗ .Тогдаhw0 , Φi + ν[w, Φ] + b(w, u, Φ) + b(u∗ , w, Φ) = 0,∀Φ ∈ H(Ω).Так какw ∈ L2 (0, T ; H(Ω)), то можем взятьΦ = w(t).По лемме 5.3:1 d˙ ∈ (0, T ].kwk2 ∀t2 dtВ силу этого приходим к равенствуRtRt1kwk2 + ν kwx k2 + b(w, u, w) + b(u∗ , w, w) = 0200hw, w0 i =⇔1kwk2 + ν2Zt2Ztkwx k dt = −0b(w, u, w) dt .014 / 261kwk2 + ν2Zt2Ztkwx k dt = −0b(w, u, w) dt015 / 261kwk2 + ν2Zt2Ztkwx k dt = −b(w, u, w) dt00Оценим в правой части:|b(w, u, w)| ≤ kwk24 kux k≤ C kwkkwx kkux k ≤откуда kwk2 ≤ 2cRtνkwx k2 + C kux k2 kwk2 ,2kux k2 kwk2 dt .0Теорема единственности доказана.15 / 261kwk2 + ν2Zt2Ztkwx k dt = −b(w, u, w) dt00Оценим в правой части:|b(w, u, w)| ≤ kwk24 kux k≤ C kwkkwx kkux k ≤откуда kwk2 ≤ 2cRtνkwx k2 + C kux k2 kwk2 ,2kux k2 kwk2 dt .0Т.к.

kux k2 ∈ L1 (0, T ), то по лемме Гронуоллаполучаем требуемое.Теорема единственности доказана.15 / 26§5.3. Существование (n = 2)Теорема 5.216 / 26§5.3. Существование (n = 2)Теорема 5.2Пустьu0 ∈ J0 (Ω),16 / 26§5.3. Существование (n = 2)Теорема 5.2Пустьu0 ∈ J0 (Ω),f ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).16 / 26§5.3. Существование (n = 2)Теорема 5.2Пустьu0 ∈ J0 (Ω),f ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).16 / 26§5.3. Существование (n = 2)Теорема 5.2Пустьu0 ∈ J0 (Ω),f ∈ L2 (0, T ; H∗ (Ω)).Тогдасуществует обобщенное решение задачи (1).16 / 26Доказательство.Построение галёркинских приближенийБазисы17 / 26Доказательство.Построение галёркинских приближенийБазисыРассмотрим задачу ∆ωj + λj ωj = ∇pj , div ωj = 0,17 / 26Доказательство.Построение галёркинских приближенийБазисыРассмотрим задачу ∆ωj + λj ωj = ∇pj , div ωj = 0,ωj ∈ H(Ω): [ωj , v] = λj (ωj , v), ∀v ∈ H(Ω), λj > 0.17 / 26Доказательство.Построение галёркинских приближенийБазисыРассмотрим задачу ∆ωj + λj ωj = ∇pj , div ωj = 0,ωj ∈ H(Ω): [ωj , v] = λj (ωj , v), ∀v ∈ H(Ω), λj > 0.Имеем: нетривиальные {ωj } образует базисыв J0 (Ω) и H(Ω).17 / 26Приближённоерешение18 / 26Приближённоерешениеищем в видеum (x, t) =Pmj=1 gjm (t)ωj (x).18 / 26Приближённоерешениеищем в видеУже имеемum (x, t) =Pmj=1 gjm (t)ωj (x).div um = 0 и um |∂Ω = 0.18 / 26Приближённоерешениеищем в видеУже имеемgjmЗадача на∈ C 1 (0, T )um (x, t) =Pmj=1 gjm (t)ωj (x).div um = 0 и um |∂Ω = 0.0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .18 / 26Приближённоерешениеищем в видеУже имеемgjmЗадача на∈ C 1 (0, T )um (x, t) =Pmj=1 gjm (t)ωj (x).div um = 0 и um |∂Ω = 0.0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Нач.

усл.u0m =Pmj=1 ωj cj ,где u =P∞j=1 ωj cj ;18 / 26Приближённоерешениеищем в видеУже имеемgjmЗадача на∈ C 1 (0, T )um (x, t) =Pmj=1 gjm (t)ωj (x).div um = 0 и um |∂Ω = 0.0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Нач. усл.u0m =Pmj=1 ωj cj ,где u =P∞j=1 ωj cj ;u0m → u0 в пространстве J0 (Ω).18 / 26Приближённоерешениеищем в видеУже имеемgjmЗадача на∈ C 1 (0, T )um (x, t) =Pmj=1 gjm (t)ωj (x).div um = 0 и um |∂Ω = 0.0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Нач.

усл.u0m =Pmj=1 ωj cj ,где u =P∞j=1 ωj cj ;u0m → u0 в пространстве J0 (Ω).18 / 26Приближённоерешениеищем в видеУже имеемgjmЗадача на∈ C 1 (0, T )um (x, t) =Pmj=1 gjm (t)ωj (x).div um = 0 и um |∂Ω = 0.0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Нач. усл.u0m =Pmj=1 ωj cj ,где u =P∞j=1 ωj cj ;u0m → u0 в пространстве J0 (Ω).18 / 26Разрешимость приближенной задачи0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Приближенная задача — это задача Коши длясистемы ОДУ относительно g1m ,. . . ,gmm :19 / 26Разрешимость приближенной задачи0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Приближенная задача — это задача Коши длясистемы ОДУ относительно g1m ,.

. . ,gmm :19 / 26Разрешимость приближенной задачи0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Приближенная задача — это задача Коши длясистемы ОДУ относительно g1m ,. . . ,gmm :mX0(t) + νgjm (t)(ωi , ωj )2 gimi=1=Xgim gkm b(ωi , ωj , ωk )+hf m (t), ωj i, j = 1, . . . , m.ikТ.к. ωj линейно независимы, тоdet k(ωi , ωj )2 ki,j 6= 0, т.е. ОДУ разрешимаотносительно производной.19 / 26Разрешимость приближенной задачи0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Приближенная задача — это задача Коши длясистемы ОДУ относительно g1m ,.

. . ,gmm :mX0(ωi , ωj )2 gim(t) + νgjm (t)i=1=Xgim gkm b(ωi , ωj , ωk )+hf m (t), ωj i, j = 1, . . . , m.ikТ.к. ωj линейно независимы, то det k(ωi , ωj )2 ki,j 6= 0,т.е. ОДУ разрешима относительно производной.(Начальные условия: gim (0) = ci .) Задачаразрешима локально по t.19 / 26Равномерные оценки приближенныхрешений0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим л.ч. и п.ч.

j-го уравнения на gjm .20 / 26Равномерные оценки приближенныхрешений0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим л.ч. и п.ч. j-го уравнения на gjm .Просуммируем по всем j.20 / 26Равномерные оценки приближенныхрешений0(um (t), ωj ) + ν[um (t), ωj ]= b(um (t), ωj , um (t)) + (f(t), ωj ), 1 ≤ j ≤ m;um (0) = u0m .Умножим л.ч. и п.ч.

Характеристики

Список файлов лекций