1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Определения и основные свойствапространств БохнераНепрерывныефункцииПусть X — банахово пространство;пусть функция u действует из [0, T ] в X, то есть,u : [0, T ] 7→ X.Говорим, что u непрерывна по t, если имеет местопредельное соотношениеku(t1 ) − u(t2 )kX → 0 при t1 → t2∀t1 , t2 ∈ [0, T ].Введем в рассмотрение C (0, T ; X) —пространство непрерывных функцийu : [0, T ] 7→ X с конечной нормойkukC (0,T ;X) = sup ku(t)kX .0≤t≤T10 / 27Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.11 / 27Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.Тогда Lp (0, T ; X) — пространство измеримыхфункций u : [0, T ] 7→ X с конечной нормойkukLp ([0,T ];X ) = kkukX kLp (0,T ) .11 / 27Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.Тогда Lp (0, T ; X) — пространство измеримыхфункций u : [0, T ] 7→ X с конечной нормойkukLp ([0,T ];X ) = kkukX kLp (0,T ) .11 / 27Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.Тогда Lp (0, T ; X) — пространство измеримыхфункций u : [0, T ] 7→ X с конечной нормойkukLp ([0,T ];X ) = kkukX kLp (0,T ) .Терминология.Пространство Lp (0, T ; X) называется пространствомБохнера.11 / 27Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.Тогда Lp (0, T ; X) — пространство измеримыхфункций u : [0, T ] 7→ X с конечной нормойkukLp ([0,T ];X ) = kkukX kLp (0,T ) .Терминология.Пространство Lp (0, T ; X) называется пространствомБохнера.Далее,пусть X — пр-во функций, определённых наΩ ⊂ Rn .11 / 27Суммируемые функции в пространствахБохнераПусть X — банахово пространство.Тогда Lp (0, T ; X) — пространство измеримыхфункций u : [0, T ] 7→ X с конечной нормойkukLp ([0,T ];X ) = kkukX kLp (0,T ) .Терминология.Пространство Lp (0, T ; X) называется пространствомБохнера.Далее,пусть X — пр-во функций, определённых на Ω ⊂ Rn .эл-ты C (0, T ; X) и Lp (0, T ; X) — можем понимать,как функции, определенные на множествеΩ × [0, T ], то есть записывать так: u = u(x, t).
11 / 27Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),12 / 27Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.012 / 27Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.012 / 27Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.0Тогда для любого ϕ ∈ D(0, T ) найдется ψ ∈ D(0, T ),т.ч.12 / 27Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.0Тогда для любого ϕ ∈ D(0, T ) найдется ψ ∈ D(0, T ),т.ч.dψ≡ ψ 0 = ϕ − λϕ0 ,dt12 / 27Лемма 4.3Пустьϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.0Тогда для любого ϕ ∈ D(0, T ) найдется ψ ∈ D(0, T ),т.ч.dψ≡ ψ 0 = ϕ − λϕ0 ,dtRTλ = ϕ(t) dt.012 / 27ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,013 / 27ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).13 / 27ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.013 / 27ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).13 / 27ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).Для первообразной (то есть, для ψ) выбираемконстанту интегрирования так, что ψ = 0 приt=013 / 27ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).Для первообразной (то есть, для ψ) выбираемконстанту интегрирования так, что ψ = 0 при t = 0и ψ = 0 при t = T .13 / 27ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).Для первообразной (то есть, для ψ) выбираемконстанту интегрирования так, что ψ = 0 при t = 0и ψ = 0 при t = T .Такая функция ψ — это есть искомаяпервообразная.13 / 27ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).Для первообразной (то есть, для ψ) выбираемконстанту интегрирования так, что ψ = 0 при t = 0и ψ = 0 при t = T .Такая функция ψ — это есть искомая первообразная.13 / 27ДоказательствоПоложим λ =RTϕ(t) dt,0ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ).RTОчевидно, (ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0.0Имеем, что первообразная от ϕ(t) − λϕ0 (t)принадлежит C ∞ (0, T ).Для первообразной (то есть, для ψ) выбираемконстанту интегрирования так, что ψ = 0 при t = 0и ψ = 0 при t = T .Такая функция ψ — это есть искомая первообразная.13 / 27Лемма 4.4ПустьX — банахово пространство,14 / 27Лемма 4.4ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).14 / 27Лемма 4.4ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).14 / 27Лемма 4.4ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).ТогдаСледующие три утверждения эквивалентны:14 / 27Лемма 4.4ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).Тогда1Следующие три утверждения эквивалентны:Rt˙ ∈ [0, T ],u(t) = ξ + g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t014 / 27Лемма 4.4ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).Тогда1Следующие три утверждения эквивалентны:Rt˙ ∈ [0, T ],u(t) = ξ + g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t02∀ψ ∈ D(0, T )RT0RTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt,014 / 27Лемма 4.4ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).Тогда1Следующие три утверждения эквивалентны:Rt˙ ∈ [0, T ],u(t) = ξ + g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt,2∀ψ ∈ D(0, T )3d∀η ∈ X∗hη, ui = hη, gi.dt0014 / 27Лемма 4.4ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).Тогда1Следующие три утверждения эквивалентны:Rt˙ ∈ [0, T ],u(t) = ξ + g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt,2∀ψ ∈ D(0, T )3d∀η ∈ X∗hη, ui = hη, gi.dt0014 / 27Лемма 4.4ПустьX — банахово пространство,u и g ∈ L1 (0, T ; X).Тогда1Следующие три утверждения эквивалентны:Rt˙ ∈ [0, T ],u(t) = ξ + g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t02∀ψ ∈ D(0, T )RT03RTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt,0d∀η ∈ X∗hη, ui = hη, gi.dtЕсли выполнены 1—3, то u почти всюду совпадает снекоторой непрерывной ф-ей ũ ∈ C (0, T ; X).14 / 2715 / 271⇒316 / 271⇒31.
u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t016 / 271⇒31. u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t03. ∀η ∈ X∗dhη, ui = hη, gidt16 / 271⇒31. u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0dhη, ui = hη, gidt3’. Пункт 3 эквивалентен следующему:RTRThη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt, ∀ψ ∈ D(0, T )3. ∀η ∈ X∗0016 / 271⇒31. u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0dhη, ui = hη, gidt3’. Пункт 3 эквивалентен следующему:RTRThη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt, ∀ψ ∈ D(0, T )3. ∀η ∈ X∗00Подействуем функционалом η ∈ X∗ в пункте 1.16 / 271⇒31. u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0dhη, ui = hη, gidt3’. Пункт 3 эквивалентен следующему:RTRThη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt, ∀ψ ∈ D(0, T )3.
∀η ∈ X∗00Подействуем функционалом η ∈ X∗ в пункте 1.Умножим результат на ψ 0 (ψ ∈ D(0, T )).16 / 271⇒31. u(t) = ξ +Rt˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0dhη, ui = hη, gidt3’. Пункт 3 эквивалентен следующему:RTRThη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt, ∀ψ ∈ D(0, T )3. ∀η ∈ X∗00Подействуем функционалом η ∈ X∗ в пункте 1.Умножим результат на ψ 0 (ψ ∈ D(0, T )).Интегрируем по частям и приходим к равенствув п.
3’.16 / 273⇒217 / 273⇒23. ∀η ∈ X∗dhη, ui = hη, gi,dt17 / 273⇒2dhη, ui = hη, gi,dtTRRT3’. hη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt,3. ∀η ∈ X∗00∀ψ ∈ D(0, T )17 / 273⇒2dhη, ui = hη, gi,dtTRRT3’. hη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt,3. ∀η ∈ X∗00∀ψ ∈ D(0, T )2. ∀ψ ∈ D(0, T )RT0RTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt.017 / 273⇒2dhη, ui = hη, gi,dtTRRT3’. hη, u(t)iψ 0 (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt,3. ∀η ∈ X∗00∀ψ ∈ D(0, T )RTRT2.
∀ψ ∈ D(0, T ) u(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt.00*+TRTR0Имеем η, u(t)ψ (t) dt + g(t)ψ(t) dt = 0,00∀η ∈ X ∗ , откуда и следует пункт 2.17 / 272⇒118 / 272⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RT0RTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt018 / 272⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RT01. u(t) = ξ +RtRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t018 / 272⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01.
u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0Положим u0 (t) :=Rtg(s) ds.018 / 272⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01. u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0Положим u0 (t) :=Rtg(s) ds.0Имеем, что u0 абс. непр. на [0, T ] и u00 = g.18 / 272⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01. u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0Положим u0 (t) :=Rtg(s) ds.0Имеем, что u0 абс.
непр. на [0, T ] и u00 = g.Положим v := u − u0 .18 / 272⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01. u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0Положим u0 (t) :=Rtg(s) ds.0Имеем, что u0 абс. непр. на [0, T ] и u00 = g.Положим v := u − u0 .Нужно показать, что v не зависит от t.18 / 272⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01. u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0Положим u0 (t) :=Rtg(s) ds.0Имеем, что u0 абс.
непр. на [0, T ] и u00 = g.Положим v := u − u0 .Нужно показать, что v не зависит от t.Подставим u = u0 + v в равенство из пункта 2.18 / 272⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01. u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0Положим u0 (t) :=Rtg(s) ds.0Имеем, что u0 абс.
непр. на [0, T ] и u00 = g.Положим v := u − u0 .Нужно показать, что v не зависит от t.Подставим u = u0 + v в равенство из пункта 2.Проинтегрируем по частям.18 / 272⇒12. ∀ψ ∈ D(0, T )RTRTu(t)ψ 0 (t) dt = − g(t)ψ(t) dt01. u(t) = ξ +Rt0˙ ∈ [0, T ]g(s) ds, ξ ∈ X, ∀t0Положим u0 (t) :=Rtg(s) ds.0Имеем, что u0 абс. непр. на [0, T ] и u00 = g.Положим v := u − u0 .Нужно показать, что v не зависит от t.Подставим u = u0 + v в равенство из пункта 2.Проинтегрируем по частям.RTВыводим v(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T ).018 / 27RTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T ).019 / 27RTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T ).0Пусть ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.019 / 27RTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T ).0Пусть ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.0По ϕ и ϕ0 подберем λ так, что ψ ∈ D(0, T ),ψ 0 = ϕ − λϕ0 (согласно лемме 4.3).19 / 27RTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T ).0Пусть ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.0По ϕ и ϕ0 подберем λ так, что ψ ∈ D(0, T ),ψ 0 = ϕ − λϕ0 (согласно лемме 4.3).RTДалее, ξ = v(s)ϕ0 (s) ds.019 / 27RTv(t)ψ 0 (t) dt = 0, ∀ψ ∈ D(0, T ).0Пусть ϕ0 ∈ D(0, T ),RTϕ0 (t) dt = 1.0По ϕ и ϕ0 подберем λ так, что ψ ∈ D(0, T ),ψ 0 = ϕ − λϕ0 (согласно лемме 4.3).RTДалее, ξ = v(s)ϕ0 (s) ds.0Имеем ∀ϕ ∈ D(0, T ), что справедливо равенствоZTZT(v(t)−ξ)ϕ(t) dt =0!ZTv(t) ϕ(t)− ϕ(s) ds ϕ0 (t) d0ZT0ZTv(t)(ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt ==0v(t)ψ 0 (t) dt = 0.019 / 27Отсюда следует, чтоRT(v(t) − ξ)ϕ(t) dt = 0,020 / 27RTОтсюда следует, что (v(t) − ξ)ϕ(t) dt = 0,0то есть, ∀ϕ ∈ D(0, T )RT0v(t)ϕ(t) dt =RTξϕ(t) dt.020 / 27RTОтсюда следует, что (v(t) − ξ)ϕ(t) dt = 0,0то есть, ∀ϕ ∈ D(0, T )RTv(t)ϕ(t) dt =0RTξϕ(t) dt.0Значит, v(t) = ξ п.в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
