1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пространства Lp , Wl,p , Hl13 / 221.2. Пространства Lp , Wl,p , HlПространстваЛебега LpΩ — ограниченная область в Rn ,13 / 221.2. Пространства Lp , Wl,p , HlПространстваЛебега LpΩ — ограниченная область в Rn , 1 ≤ p < ∞,13 / 221.2. Пространства Lp , Wl,p , HlПространстваЛебега LpΩ — ограниченная область в Rn , 1 ≤ p < ∞,(1/p )Z|u|p dx < ∞Lp (Ω) = u : Ω → Rm kukLp (Ω) =Ω13 / 221.2. Пространства Lp , Wl,p , HlПространстваЛебега LpΩ — ограниченная область в Rn , 1 ≤ p < ∞,(1/p )Z|u|p dx < ∞Lp (Ω) = u : Ω → Rm kukLp (Ω) =ΩСвойствоL2 (Ω) — гильбертово со скалярным произведениемZ(u, v)L2 (Ω) = u · v dx .Ω13 / 22Пространство Лебега L∞14 / 22Пространство Лебега L∞Существенныйсупремум14 / 22Пространство Лебега L∞Существенныйсупремумf : Ω → R, говорим, что M := ess sup fΩ14 / 22Пространство Лебега L∞Существенныйсупремумf : Ω → R, говорим, что M := ess sup f , есливыполнены два условия:Ω∃E ⊂ Ω: meas E = 0 и f |Ω\E ≤ M;14 / 22Пространство Лебега L∞Существенныйсупремумf : Ω → R, говорим, что M := ess sup f , есливыполнены два условия:Ω∃E ⊂ Ω: meas E = 0 и f |Ω\E ≤ M;∀ε > 0 ∃ A: meas A > 0 f |A ≥ M − ε;14 / 22Пространство Лебега L∞Существенныйсупремумf : Ω → R, говорим, что M := ess sup f , есливыполнены два условия:Ω∃E ⊂ Ω: meas E = 0 и f |Ω\E ≤ M;∀ε > 0 ∃ A: meas A > 0 f |A ≥ M − ε;14 / 22Пространство Лебега L∞Существенныйсупремумf : Ω → R, говорим, что M := ess sup f , есливыполнены два условия:Ω∃E ⊂ Ω: meas E = 0 и f |Ω\E ≤ M;∀ε > 0 ∃ A: meas A > 0 f |A ≥ M − ε;ОпределениеL∞ :L∞ (Ω) = u : Ω → Rm kukL∞ (Ω) = ess supΩ |u| < ∞ .14 / 22Пространство Лебега L∞Существенныйсупремумf : Ω → R, говорим, что M := ess sup f , есливыполнены два условия:Ω∃E ⊂ Ω: meas E = 0 и f |Ω\E ≤ M;∀ε > 0 ∃ A: meas A > 0 f |A ≥ M − ε;ОпределениеL∞ :УпрощенияобозначенийL∞ (Ω) = u : Ω → Rm kukL∞ (Ω) = ess supΩ |u| < ∞ .k · kp,Ω = k · kLp (Ω) ,14 / 22Пространство Лебега L∞Существенныйсупремумf : Ω → R, говорим, что M := ess sup f , есливыполнены два условия:Ω∃E ⊂ Ω: meas E = 0 и f |Ω\E ≤ M;∀ε > 0 ∃ A: meas A > 0 f |A ≥ M − ε;ОпределениеL∞ :УпрощенияобозначенийL∞ (Ω) = u : Ω → Rm kukL∞ (Ω) = ess supΩ |u| < ∞ .k · kp,Ω = k · kLp (Ω) ,k · kp = k · kp,Ω ,14 / 22Пространство Лебега L∞Существенныйсупремумf : Ω → R, говорим, что M := ess sup f , есливыполнены два условия:Ω∃E ⊂ Ω: meas E = 0 и f |Ω\E ≤ M;∀ε > 0 ∃ A: meas A > 0 f |A ≥ M − ε;ОпределениеL∞ :УпрощенияобозначенийL∞ (Ω) = u : Ω → Rm kukL∞ (Ω) = ess supΩ |u| < ∞ .k · kp,Ω = k · kLp (Ω) ,k · kp = k · kp,Ω ,k · k = k · k2,Ω .14 / 22Обобщённая производнаяD(Ω) — бесконечно дифференцируемыефинитные функции на Ω;15 / 22Обобщённая производнаяD(Ω) — бесконечно дифференцируемые финитныефункции на Ω;k ∈ Nn — мультииндекс;15 / 22Обобщённая производнаяD(Ω) — бесконечно дифференцируемые финитныефункции на Ω;k ∈ Nn — мультииндекс;15 / 22Обобщённая производнаяD(Ω) — бесконечно дифференцируемые финитныефункции на Ω;k ∈ Nn — мультииндекс;g = D k f — обобщённая производная f ∈ L1 (Ω)15 / 22Обобщённая производнаяD(Ω) — бесконечно дифференцируемые финитныефункции на Ω;k ∈ Nn — мультииндекс;g = D k f — обобщённая производная f ∈ L1 (Ω) ⇔ZZk|k|∀ϕ ∈ D(Ω)f · D ϕ dx = (−1)g · ϕ dx .ΩΩ15 / 22Пространства Соболева Wl,p1≤p<∞16 / 22Пространства Соболева Wl,p1 ≤ p < ∞, l ∈ N:16 / 22Пространства Соболева Wl,p1 ≤ p < ∞, l ∈ N:!1/pkukl,p,Ω =XkD k ukpp,Ω,|k|≤l16 / 22Пространства Соболева Wl,p1 ≤ p < ∞, l ∈ N:!1/pkukl,p,Ω =XkD k ukpp,Ω,|k|≤l(l,pW (Ω) =)pu ∈ L (Ω) : kukl,p,Ω < ∞ .16 / 22Пространства Соболева Wl,p1 ≤ p < ∞, l ∈ N:!1/pkukl,p,Ω =XkD k ukpp,Ω,|k|≤l(l,pW (Ω) =)pu ∈ L (Ω) : kukl,p,Ω < ∞ .Эквивалентныенормы:!1/pkukpp,Ω +XkDkukpp,Ω|k|=l16 / 22Пространства Соболева Wl,p1 ≤ p < ∞, l ∈ N:!1/pkukl,p,Ω =XkD k ukpp,Ω,|k|≤l(l,pW (Ω) =)pu ∈ L (Ω) : kukl,p,Ω < ∞ .Эквивалентныенормы:!1/pkukpp,Ω +X|k|=lkDkukpp,Ω,kukp,Ω +XkD k ukp,Ω .|k|=l16 / 22Полнота гладких функций в Wl,p17 / 22Полнота гладких функций в Wl,pПусть Ω̄ := Ω ∪ ∂Ω.17 / 22Полнота гладких функций в Wl,pПусть Ω̄ := Ω ∪ ∂Ω.ПоложимW̃l,p (Ω) := (Cl (Ω̄), k · kl,p,Ω ).17 / 22Полнота гладких функций в Wl,pПусть Ω̄ := Ω ∪ ∂Ω.ПоложимW̃l,p (Ω) := (Cl (Ω̄), k · kl,p,Ω ).Вопрос: справедливо ли, что W̃l,p (Ω) = Wl,p (Ω)?17 / 22Полнота гладких функций в Wl,pПусть Ω̄ := Ω ∪ ∂Ω.ПоложимW̃l,p (Ω) := (Cl (Ω̄), k · kl,p,Ω ).Вопрос: справедливо ли, что W̃l,p (Ω) = Wl,p (Ω)?Опр.звёздности.Область Ω звёздна, если ∃x0 ∈ Ω: ∀x ∈ Ω, так, что[x, x0 ] ⊂ Ω.17 / 22Полнота гладких функций в Wl,pПусть Ω̄ := Ω ∪ ∂Ω.ПоложимW̃l,p (Ω) := (Cl (Ω̄), k · kl,p,Ω ).Вопрос: справедливо ли, что W̃l,p (Ω) = Wl,p (Ω)?Опр.звёздности.Область Ω звёздна, если ∃x0 ∈ Ω: ∀x ∈ Ω, так, что[x, x0 ] ⊂ Ω.17 / 22Полнота гладких функций в Wl,pПусть Ω̄ := Ω ∪ ∂Ω.ПоложимW̃l,p (Ω) := (Cl (Ω̄), k · kl,p,Ω ).Вопрос: справедливо ли, что W̃l,p (Ω) = Wl,p (Ω)?Опр.звёздности.Область Ω звёздна, если ∃x0 ∈ Ω: ∀x ∈ Ω, так, что[x, x0 ] ⊂ Ω.17 / 22Полнота гладких функций в Wl,pПусть Ω̄ := Ω ∪ ∂Ω.ПоложимW̃l,p (Ω) := (Cl (Ω̄), k · kl,p,Ω ).Вопрос: справедливо ли, что W̃l,p (Ω) = Wl,p (Ω)?Опр.звёздности.Область Ω звёздна, если ∃x0 ∈ Ω: ∀x ∈ Ω, так, что[x, x0 ] ⊂ Ω.Если Ω — звёздная или C l -диффеоморфна звёздной,то W̃l,p (Ω) = Wl,p (Ω).17 / 22Пространства Соболева Hl18 / 22Пространства Соболева HlПоложим Hl (Ω) := Wl,2 (Ω).18 / 22Пространства Соболева HlПоложим Hl (Ω) := Wl,2 (Ω).Hl — гильбертово со скалярным произведениемX(u, v)Hl (Ω) =(D k u, D k v)L2 (Ω) .|k|≤l18 / 22Пространства Соболева HlПоложим Hl (Ω) := Wl,2 (Ω).Hl — гильбертово со скалярным произведениемX(u, v)Hl (Ω) =(D k u, D k v)L2 (Ω) .|k|≤lОбозн.Сделаем упрощения обозначений:k · kHl = k · kHl (Ω) ,18 / 22Пространства Соболева HlПоложим Hl (Ω) := Wl,2 (Ω).Hl — гильбертово со скалярным произведениемX(u, v)Hl (Ω) =(D k u, D k v)L2 (Ω) .|k|≤lОбозн.Сделаем упрощения обозначений:k · kHl = k · kHl (Ω) ,(·, ·)Hl = (·, ·)Hl (Ω) .18 / 22Пространства Соболева W0l,p19 / 22Пространства Соболева W0l,pВажно: рассмотрим, что означает обращениефункции из пространства Соболева в нуль награнице.19 / 22Пространства Соболева W0l,pВажно: рассмотрим, что означает обращениефункции из пространства Соболева в нуль награнице.Если l достаточно велико (в определениипространства Соболева), то есть производнаяфункции ϕ из W0l,p регулярна и обращается в нуль на∂Ω, то свойство ϕ|∂Ω = 0 имеет простой и ясныйсмысл.19 / 22Пространства Соболева W0l,pВажно: рассмотрим, что означает обращениефункции из пространства Соболева в нуль награнице.Если l достаточно велико (в определениипространства Соболева), то есть производнаяфункции ϕ из W0l,p регулярна и обращается в нуль на∂Ω, то свойство ϕ|∂Ω = 0 имеет простой и ясныйсмысл.Обозн.W0l,p (Ω) := (D(Ω), k · kl,p,Ω ).19 / 22Пространства Соболева W0l,pВажно: рассмотрим, что означает обращениефункции из пространства Соболева в нуль награнице.Если l достаточно велико (в определениипространства Соболева), то есть производнаяфункции ϕ из W0l,p регулярна и обращается в нуль на∂Ω, то свойство ϕ|∂Ω = 0 имеет простой и ясныйсмысл.Обозн.W0l,p (Ω) := (D(Ω), k · kl,p,Ω ).Важноесвойство.Функцию из W0l,p (Ω) можно приблизить сколь угодноточно функциями из D(Ω):19 / 22Пространства Соболева W0l,pВажно: рассмотрим, что означает обращениефункции из пространства Соболева в нуль награнице.Если l достаточно велико (в определениипространства Соболева), то есть производнаяфункции ϕ из W0l,p регулярна и обращается в нуль на∂Ω, то свойство ϕ|∂Ω = 0 имеет простой и ясныйсмысл.Обозн.W0l,p (Ω) := (D(Ω), k · kl,p,Ω ).Важноесвойство.Функцию из W0l,p (Ω) можно приблизить сколь угодноточно функциями из D(Ω):∀u ∈ W0l,p (Ω) ∃{un } ⊂ D(Ω): kun − ukl,p,Ω → 0 приn → ∞.19 / 22Пространства Соболева W0l,pВажно: рассмотрим, что означает обращениефункции из пространства Соболева в нуль награнице.Если l достаточно велико (в определениипространства Соболева), то есть производнаяфункции ϕ из W0l,p регулярна и обращается в нуль на∂Ω, то свойство ϕ|∂Ω = 0 имеет простой и ясныйсмысл.Обозн.W0l,p (Ω) := (D(Ω), k · kl,p,Ω ).Важноесвойство.Обозн.Функцию из W0l,p (Ω) можно приблизить сколь угодноточно функциями из D(Ω):∀u ∈ W0l,p (Ω) ∃{un } ⊂ D(Ω): kun − ukl,p,Ω → 0 приn → ∞.Hl0 (Ω) := W0l,2 (Ω).19 / 22Формула Грина20 / 22Формула ГринаУтверждение:ФормулаГринаПусть Ω — ограниченная область,∂Ω ∈ C 1 ,20 / 22Формула ГринаУтверждение:ФормулаГринаПусть Ω — ограниченная область,∂Ω ∈ C 1 , u ∈ H10 (Ω)20 / 22Формула ГринаУтверждение:ФормулаГринаПусть Ω — ограниченная область,∂Ω ∈ C 1 , u ∈ H10 (Ω), v ∈ H1 (Ω).

Характеристики

Список файлов лекций