1631124479-119572284ae1af9d1580da47c2f7af49 (848545), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тогда,20 / 22Формула ГринаУтверждение:ФормулаГринаПусть Ω — ограниченная область,∂Ω ∈ C 1 , u ∈ H10 (Ω), v ∈ H1 (Ω). Тогда,(uxi , v) = −(u, vxi ).20 / 22Формула ГринаУтверждение:ФормулаГринаПусть Ω — ограниченная область,∂Ω ∈ C 1 , u ∈ H10 (Ω), v ∈ H1 (Ω). Тогда,(uxi , v) = −(u, vxi ).Док-во.Докажем сначала для гладких вектор-функций.Положим∃ {um } ⊂ D(Ω), {vm } ⊂ C∞ (Ω): um → u, vm → v вH1 (Ω) при m → ∞.20 / 22Формула ГринаУтверждение:ФормулаГринаПусть Ω — ограниченная область,∂Ω ∈ C 1 , u ∈ H10 (Ω), v ∈ H1 (Ω). Тогда,(uxi , v) = −(u, vxi ).Док-во.Докажем сначала для гладких вектор-функций.Положим∃ {um } ⊂ D(Ω), {vm } ⊂ C∞ (Ω): um → u, vm → v вH1 (Ω) при m → ∞.По формуле Грина для гладких функций имеемZ ΩZ∂um∂vm∂· vm +· um dx =(um · vm ) dx∂xi∂xi∂xiZ Ω= um · vm ni dΓ = 0.∂Ω20 / 22Итак, для гладких вектор-функций доказали.21 / 22Итак, для гладких вектор-функций доказали.Далее имеем:ZZ ux · v dx − umx · vm dxiiΩΩ21 / 22Итак, для гладких вектор-функций доказали.Далее имеем:ZZ ux · v dx − umx · vm dxiiΩΩZ≤Z|uxi − umxi ||v| dx +Ω|umxi ||v − vn | dxΩ21 / 22Итак, для гладких вектор-функций доказали.Далее имеем:ZZ ux · v dx − umx · vm dxiiΩΩZ≤Z|uxi − umxi ||v| dx +Ω|umxi ||v − vn | dxΩ≤ kvk2,Ω kuxi − umxi k2,Ω + kumxi k2,Ω kv − vn k2,Ω ,21 / 22Итак, для гладких вектор-функций доказали.Далее имеем:ZZ ux · v dx − umx · vm dxiiΩΩZ≤Z|uxi − umxi ||v| dx +Ω|umxi ||v − vn | dxΩ≤ kvk2,Ω kuxi − umxi k2,Ω + kumxi k2,Ω kv − vn k2,Ω ,откудаRRumxi · vm dx → uxi · v dx.ΩR ΩRАналогично, um · vmxi dx → u · vxi dx.ΩΩ21 / 22Итак, для гладких вектор-функций доказали.Далее имеем:ZZ ux · v dx − umx · vm dxiiΩΩZ≤Z|uxi − umxi ||v| dx +Ω|umxi ||v − vn | dxΩ≤ kvk2,Ω kuxi − umxi k2,Ω + kumxi k2,Ω kv − vn k2,Ω ,откудаRRumxi · vm dx → uxi · v dx.ΩR ΩRАналогично, um · vmxi dx → u · vxi dx.ΩΩЭтим самым завершаем доказательство.21 / 22Неравенство ГёльдераУтвержд.(Н-во Гёльдера.)sP1Пусть λk ∈ [1, ∞],= 1, тогдаk=1 λkZ ss Y Ykuk kλk ,Ω .uk dx ≤ k=1 k=1Ω22 / 22Неравенство ГёльдераУтвержд.(Н-во Гёльдера.)sP1Пусть λk ∈ [1, ∞],= 1, тогдаk=1 λkZ ss Y Ykuk kλk ,Ω .uk dx ≤ k=1 k=1Ω11В частности, пусть 1 ≤ p, p 0 ≤ ∞, + 0 = 1,p pRтогда fg dx ≤ kf kp,Ω kg kp0 ,Ω .Ω22 / 22Неравенство ГёльдераУтвержд.(Н-во Гёльдера.)sP1Пусть λk ∈ [1, ∞],= 1, тогдаk=1 λkZ ss Y Ykuk kλk ,Ω .uk dx ≤ k=1 k=1Ω11В частности, пусть 1 ≤ p, p 0 ≤ ∞, + 0 = 1, тогдаp pR fg dx ≤ kf kp,Ω kg kp0 ,Ω .Ω22 / 22Неравенство ГёльдераУтвержд.(Н-во Гёльдера.)sP1Пусть λk ∈ [1, ∞],= 1, тогдаk=1 λkZ ss Y Ykuk kλk ,Ω .uk dx ≤ k=1 k=1Ω11В частности, пусть 1 ≤ p, p 0 ≤ ∞, + 0 = 1, тогдаp pR fg dx ≤ kf kp,Ω kg kp0 ,Ω .ΩД-во.Неравенство Гёльдера доказано в курсефункционального анализа.

В настоящем курседоказывать его не будем.22 / 22Математические модели механикисплошных сред. Лекция №2ЛекторСеместрСергей Александрович СаженковВесна 20161 / 25§1.3. Теоремы вложения, свойствакомпактности и смежные вопросыРассмотрим свойства пространств H1 и H10 .2 / 25§1.3. Теоремы вложения, свойствакомпактности и смежные вопросыРассмотрим свойства пространств H1 и H10 .Напомним обозначение:∇u = ux = Du = (ux1 , . . . , uxn ).2 / 25§1.3. Теоремы вложения, свойствакомпактности и смежные вопросыРассмотрим свойства пространств H1 и H10 .Напомним обозначение:∇u = ux = Du = (ux1 , . .

. , uxn ).Напомним определение нормы:kuk2H1 = kuk2 + kux k2 .2 / 25Неравенство Пуанкаре—Фридрихса(Первое неравенство Пуанкаре)Начнем со следующего утверждения.Лемма 1.2.Пусть Ω ⊂ Rn лежит в полосеΠ1 = {x | 0 ≤ x1 ≤ l1 , x0 = (x2 , . . . , xn ) ∈ Rn−1 }3 / 25Неравенство Пуанкаре—Фридрихса(Первое неравенство Пуанкаре)Начнем со следующего утверждения.Лемма 1.2.Пусть Ω ⊂ Rn лежит в полосеΠ1 = {x | 0 ≤ x1 ≤ l1 , x0 = (x2 , . .

. , xn ) ∈ Rn−1 }Тогда ∃C (Ω) > 0, так, что ∀u ∈ H10 (Ω) имеетместо неравенствоkuk2,Ω ≤ C (Ω)kux1 k2,Ω .3 / 25Неравенство Пуанкаре—Фридрихса(Первое неравенство Пуанкаре)Доказательствопроведем для функций u из D(Ω). В силуплотности множества таких функций в H01 (Ω)этого будет достаточно.4 / 25Неравенство Пуанкаре—Фридрихса(Первое неравенство Пуанкаре)Доказательствопроведем для функций u из D(Ω). В силу плотностимножества таких функций в H01 (Ω) этого будетдостаточно.Доопределим u нулем за пределами Ω изапишем формулу Ньютона – Лейбница для u:0Zx1u(x1 , x ) =∂u(y , x0 ) dy .∂y04 / 25Неравенство Пуанкаре—Фридрихса(Первое неравенство Пуанкаре)Доказательство.Возведем это равенство в квадрат ипроинтегрируем по Π1 :ZΠ1u2 dx =Zl1 Z0 Rn−1x2Z1 uy dy  dx0 dx 1 .05 / 25Неравенство Пуанкаре—Фридрихса(Первое неравенство Пуанкаре)Доказательство.В правой части оценим uy через |uy | и внесёмквадрат под внутренний интеграл с помощьюнеравенства Гёльдера:Zu2 dxΠ1Zl1 Z≤Zx1Zx11 dy  0 Rn−10u2y dy  dx0 dx 1 =0Zl1=Z Zx1x1 dx 10u2y dy dx0 .Rn−1 06 / 25Неравенство Пуанкаре—Фридрихса(Первое неравенство Пуанкаре)Доказательство.Наконец, заменим интеграл от 0 до x1интегралом по более широкой области — от 0до l1 :ZZl122u dx ≤u2x1 dx .2Π1Π7 / 25Неравенство Пуанкаре—Фридрихса(Первое неравенство Пуанкаре)Доказательство.Наконец, заменим интеграл от 0 до x1 интегралом поболее широкой области — от 0 до l1 :ZZl122u dx ≤u2x1 dx .2Π1ΠВ силу равенства вектор-функции u (и еепроизводных) нулю за пределами Ω, интегралыслева и справа можно заменить интегралами поΩ.7 / 25Неравенство Пуанкаре—Фридрихса(Первое неравенство Пуанкаре)Доказательство.Наконец, заменим интеграл от 0 до x1 интегралом поболее широкой области — от 0 до l1 :ZZl2u2 dx ≤ 1u2x1 dx .2Π1ΠВ силу равенства вектор-функции u (и еепроизводных) нулю за пределами Ω, интегралы слеваи справа можно заменить интегралами по Ω.Лемма доказана.7 / 25Эквивалентная норма в H10Стандартная норма в H10 определяется так:kukH1 := kuk2 + kux k2 .08 / 25Эквивалентная норма в H10Стандартная норма в H10 определяется так:kukH1 := kuk2 + kux k2 .0В силу неравенства Пуанкаре-Фридрихсаkuk2,Ω ≤ C (Ω)kux k2,Ωимеем, что стандартная норма эквивалентнанормеkuk∗H1 (Ω) = kux k2,Ω .08 / 25Неравенство Пуанкаре—ФридрихсаОсновные выводы на основании неравенстваПуанкаре – Фридрихса:Пусть область лежит в полосе,9 / 25Неравенство Пуанкаре—ФридрихсаОсновные выводы на основании неравенстваПуанкаре – Фридрихса:Пусть область лежит в полосе,функция равна 0 на границе (финитна).9 / 25Неравенство Пуанкаре—ФридрихсаОсновные выводы на основании неравенстваПуанкаре – Фридрихса:Пусть область лежит в полосе,функция равна 0 на границе (финитна).Тогда норма функции оценивается через нормуеё производной9 / 25Неравенство Пуанкаре—ФридрихсаОсновные выводы на основании неравенстваПуанкаре – Фридрихса:Пусть область лежит в полосе,функция равна 0 на границе (финитна).Тогда норма функции оценивается через норму еёпроизводнойи поэтому можно ввести эквивалентную норму вH10 .9 / 25Второе неравенство ПуанкареЛемма 1.3.Пусть область определения функции —параллелепипед:10 / 25Второе неравенство ПуанкареЛемма 1.3.Пусть область определения функции —параллелепипед:Π = {x : 0 ≤ xi ≤ li },10 / 25Второе неравенство ПуанкареЛемма 1.3.Пусть область определения функции —параллелепипед:Π = {x : 0 ≤ xi ≤ li },u ∈ H1 (Π).10 / 25Второе неравенство ПуанкареЛемма 1.3.Пусть область определения функции —параллелепипед:Π = {x : 0 ≤ xi ≤ li },u ∈ H1 (Π).ТогдаZΠ1u dx ≤|Π|2Z!2u dxΠnnX+2Zlk2 u2xk dx .k=1 Π10 / 25Второе неравенство ПуанкареДоказательство на семинаре (задача 1).11 / 25Первое неравенство ЛерэЛемма 1.4.Пусть Ω ⊂ R2 ,12 / 25Первое неравенство ЛерэЛемма 1.4.Пусть Ω ⊂ R2 ,u ∈ H10 (Ω).12 / 25Первое неравенство ЛерэЛемма 1.4.Пусть Ω ⊂ R2 ,u ∈ H10 (Ω).Тогда kuk44,Ω ≤ 2kux k22,Ω kuk22,Ω , то есть12 / 25Первое неравенство ЛерэЛемма 1.4.Пусть Ω ⊂ R2 ,u ∈ H10 (Ω).Тогда kuk44,Ω ≤ 2kux k22,Ω kuk22,Ω , то естьZΩ|u|4 dx ≤ 2ZΩ|ux |2 dxZ|u|2 dx .Ω12 / 25Первое неравенство ЛерэЛемма 1.4.Пусть Ω ⊂ R2 ,u ∈ H10 (Ω).Тогда kuk44,Ω ≤ 2kux k22,Ω kuk22,Ω , то естьZΩ|u|4 dx ≤ 2ZΩ|ux |2 dxZ|u|2 dx .Ω12 / 25Первое неравенство ЛерэЛемма 1.4.Пусть Ω ⊂ R2 ,u ∈ H10 (Ω).Тогда kuk44,Ω ≤ 2kux k22,Ω kuk22,Ω , то естьZΩ|u|4 dx ≤ 2ZΩ|ux |2 dxZ|u|2 dx .ΩДоказательство на семинаре (задача 2).12 / 25Второе неравенство ЛерэЛемма 1.5.Пусть Ω ⊂ R3 ,13 / 25Второе неравенство ЛерэЛемма 1.5.Пусть Ω ⊂ R3 ,u ∈ H10 (Ω).13 / 25Второе неравенство ЛерэЛемма 1.5.Пусть Ω ⊂ R3 ,u ∈ H10 (Ω).Тогда kuk44 ≤ 4kuk2 kux k32 .13 / 25Второе неравенство ЛерэЛемма 1.5.Пусть Ω ⊂ R3 ,u ∈ H10 (Ω).Тогда kuk44 ≤ 4kuk2 kux k32 .13 / 25Второе неравенство ЛерэЛемма 1.5.Пусть Ω ⊂ R3 ,u ∈ H10 (Ω).Тогда kuk44 ≤ 4kuk2 kux k32 .Доказательство на семинаре (задача 3).13 / 25Следствие неравенств Лерэ.

ТеоремаРеллихаЛемма 1.6.14 / 25Следствие неравенств Лерэ. ТеоремаРеллихаЛемма 1.6.Пусть Ω ⊂ R3 (R2 ) — ограниченная область.Тогда H10 (Ω) ,→,→ L4 (Ω).14 / 25Следствие неравенств Лерэ. ТеоремаРеллихаЛемма 1.6.Теорема 1.5.(ТеоремаРеллиха.)Пусть Ω ⊂ R3 (R2 ) — ограниченная область.Тогда H10 (Ω) ,→,→ L4 (Ω).Пусть Ω ⊂ Rn — ограниченная область. ТогдаH10 (Ω) ,→,→ L2 (Ω).14 / 25Следствие неравенств Лерэ. ТеоремаРеллихаЛемма 1.6.Теорема 1.5.(ТеоремаРеллиха.)Пусть Ω ⊂ R3 (R2 ) — ограниченная область.Тогда H10 (Ω) ,→,→ L4 (Ω).Пусть Ω ⊂ Rn — ограниченная область.

Характеристики

Список файлов лекций