Atomnaya_fizika_Lektsii_Milantyev_chast1 (846371), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Рассмотрим задачу на собственные значенияоператора инверсии: Iˆ (r )  I (r ) , где I – собственное значение. Подействуем еще разоператором Iˆ и учтем, что при двукратном применении этого оператора координатыволновой функции не изменяются: Iˆ 2 (r )  I Iˆ (r )  I 2 (r )   (r ) .

Отсюда следует, чтоI 2  1 , т.е. оператор инверсии имеет два собственных значения: I  1 . Это значит, чтосуществуют волновые функции, которые не изменяют своего знака при инверсиикоординат:  (r )   (r ) , есть также волновые функции, изменяющие свой знак: (r )   (r ) . Первые функции называются четными, а вторые – нечетными. Говоряттакже о функциях, соответственно, с положительной и отрицательной четностью.Потенциальные «ямы» и «барьеры»Стационарное уравнение Шредингера (2.11) в одномерном случае:d 2 2m( E  U ( x))  0 .(2.20)dx2  2Состояния движущейся частицы зависят от характера ее потенциальной энергии U (x) .

Нарис.2.1 потенциальная яма. На рис.2.2 потенциальный барьер,Рис.2.1Рис.2.2Точно решаемые задачи с прямоугольной ямой (рис.2.3) и прямоугольным барьером(рис.2.4а, б). Такие задачи являются модельными, но они позволяют получитькачественные, а иногда и количественные оценки состояний частицы в более реальныхслучаях. С этой целью гладкие потенциальные кривые аппроксимируют ломаными изгоризонтальных и вертикальных отрезков. Таким образом, кривые, например, на рисунках2.1 и 2.2 можно представить в виде суммы прямоугольных ям (или барьеров).

Знаярезультат для каждой такой области, можно, просуммировав, получить приближенныйрезультат для гладких зависимостей U (x) .В каждой из областей оси x, где потенциальная энергия постоянна, можно найтиточное решение уравнения (2.20). Характер решения зависит от знака величины2mk 2  2 ( E  U ) . Например, в случае свободной частицы, потенциальная энергия которойравна нулю, волновая функция (решение уравнения (2.20)), описывает волны типаexp( ikx) , бегущие в положительном (знак плюс) или отрицательном (знак минус)направлении оси х, где волновое число k р2mE  х . При этом надо помнить о2временном множителе e iEt /  . Если потенциальная энергия не равна нулю, то при k 2  0(полная энергия частицы превышает потенциальную энергию) решение также - волны,бегущие в противоположных направлениях.

В случае k 2  0 (E<U) общее решение2mсодержит комбинации решений вида e   x , где  2  2 (U  E )  0 .По представлениям классической механики частица не может находиться в областиE  U . По квантовым представлениям имеется определенная вероятность нахождениячастицы и в этой «запрещенной» области. Почему?Модель прямоугольной ямы. Частица в потенциальном ящике.0U( x )  0 xl.x  0,lГраничные условия для волновой функции.

Обозначая(2.21)d 2   , из (2.20)dx 2получим: 2m( E U ).2При x  0 , l правая часть в (2.21а) обращается в бесконечность. ( 0 )  ( l )  0 .На всем участке кроме его концов волновая функция удовлетворяет уравнению:  2mE  0 .2(2.21a)(2.22)(2.23)Это уравнение с граничными условиями (2.22) - задача на собственные значения. Общеерешение2mE2mE B cos x,(2.24)22где A,B – постоянные, определяемые граничными условиями и условием нормировки.

Из2mE0.граничных условий (2.22): B  0, sin l2 ( x)  A sin x2mE(2.24a) n ,2где число n  1,2,3,... Значение n = 0 исключается. Из (2.24a) - решение уравнения (2.23)возможно не при любых значениях энергии, а лишь при определенных дискретныхзначениях: 2 2En  n 2.(2.25)2ml 2Эта дискретность состояний для электрона существенна в случае ящика атомныхмасштабов: разность между соседними уровнями энергии: 2 23 1015En  En1  En  (2n  1)(2n1)эВ.(2.26)2ml 2l2Если l=1 см, то(2.26а)En  (2n  1)3 1015 эВ.Этот интервал настолько мал, что практически энергетический спектр электрона в такомloящике является квазинепрерывным. Если же l  1 A , тоEn  30  (2n  1) эВ.(2.26б)Этот интервал уже сравним с самими значениями энергии электрона в атоме, и дажепревосходит их.Нахождение собственных значений - лишь частью общей задачи (2.22), (2.23).Необходимо найти собственные функции.

Согласно (2.24), (2.24а) собственные функции ccобственными значениями энергии (2.25) определяются формулойn n ( x)  An sin x .(2.27)lЭти функции образуют ортонормированную систему, удовлетворяют условию (2.14):l dxn( x) m ( x)   nm ,(2.28)0Постоянная An определяется из условия нормировки:lAn2  dx sin 20nlx  1.(2.28a)An  2 / l . Ортонормированная система собственных функций частицы в потенциальномящике:2n n( x ) sin x .(2.29)llСобственные функции с энергией E n n ( x, t )   n ( x) exp(iEnt / ) .

Выражение2n22 n   n  sin2x(2.30)llплотность вероятности того, что частица находится в интервале от x до x + dx. На рис.2.6изображена плотность вероятности для разных состояний. Эти зависимости не имеютничего общего с результатом аналогичной классической задачи, в которой плотностьвероятности постоянна и равна 1/l. С увеличением номера n число максимумов возрастает,и они располагаются все ближе друг к другу. Придостаточно больших значениях энергии максимумысближаютсянастолько,чтообразуютпочтинепрерывную прямую, близкую к прямой дляплотности вероятности в классическом случае.

В этомсостоит принцип соответствия в рассматриваемойзадаче.Некоторые особенности «барьерных» задач.Допустим, что частица падает на барьер слева направорис.2.6с энергией E  U 0 (рис.2.7). При достижении точки x0(точки поворота) классическая частица полностью отразилась бы от барьера. Для нееобласть x  x0 «запрещена». Для квантовой частицывероятность обнаружить ее в этой области не равнанулю. Этот эффект аналогичен явлению полноговнутреннего отражения света на границе разделадвух разных сред.

С увеличением высотыпотенциального барьера область «просачивания»частицы уменьшается и при U 0   стремится кнулю. В этом случае волновая функция при x  x0 обращается в нуль.Если E  U 0 , то классическая частица проходит такой барьер без всякогоотражения.

В квантовом же случае наряду с проходящей волной де Бройля имеется такжеотраженная от барьера волна, и можно вычислить коэффициент отражения. Если ширинабарьера конечна (рис.2.4б) и энергия падающей слева частицы меньше высоты барьера, товозникает чисто квантовый эффект просачивания частицы сквозь барьер – туннельныйэффект.

Этот эффект объясняет многие физические явления, такие как контактнаяразность потенциалов, холодная эмиссия электронов из металлов, альфа–распад и др.Коэффициент отражения от барьера и коэффициент прозрачности барьера.Коэффициент отражения: отношение плотности потока отраженной волны к плотностипотока падающей волны:(2.32)R  jотр / jпад .Коэффициент прозрачности барьера: отношение плотности потока волны, прошедшейчерез барьер, к плотности потока падающей волны:(2.32а)D  jпрош / jпад .R  D  1.Плотность потока частиц определяется общей формулой (2.13).(2.33)Линейный гармонический осциллятор.При малых отклонениях x от положения равновесия x  0 потенциальная энергияколебаний:m 2 x 2.(2.38)2Значения x могут быть бесконечно большими, для волновойфункции необходимо выбирать естественное граничное условие: ( x)  0 при x   .(2.39)U( x ) Обозначая   2m2d 2dx 2E,и вводя обозначения:m,(2.39a)уравнение Шредингера (2.11) с потенциальной энергией (2.38):   (    2 x 2 )  0 .(2.40)Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (2.39), ищут в виде: ( x)  f ( x) exp(x 2 / 2) ,(2.41)где функцию f (x ) необходимо найти.

Подставляя (2.41) в (2.40), получаем уравнениеf   2xf   (   ) f  0 .(2.42)Решение уравнений такого типа ищут в виде рядаf ( x)   as x s ,(2.42a)s 0где as – постоянные коэффициенты. После дифференцирования (2.42а) и подстановки в(2.42) необходимо далее приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x .

Такможно получить рекуррентное соотношение между коэффициентами a s :2 s    .(2.42б)as  2  as( s  1)(s  2)Бесконечный ряд (2.42а) с коэффициентами (2.42б) расходится, растет быстрее, чемexp( x 2 / 2) . Это значит, что волновая функция (2.41) также расходится. Этопротиворечит естественному граничному условию. Необходимо потребовать, чтобыфункция f (x) в (2.42а) представляла собой не бесконечный ряд, а полином степени n .Тогда функция (2.41) будет убывать при x   .

Характеристики

Список файлов лекций