Atomnaya_fizika_Lektsii_Milantyev_chast1 (846371), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Допустим, что ряд (2.42а) являетсяполиномом степени n . В этом случае отличны от нуля коэффициенты a 0 , a1 ,... a n , а вседругие коэффициенты a n 1 , a n 2 ,... должны обращаться в нуль. Для этого согласно (2.42б)необходимо, чтобы выполнялось условие 2 n      0 . Отсюда, учитывая обозначения(2.39а), получаем формулу для энергетического спектра гармонического осциллятора1(2.43)En   n   .2Квантование энергии возникает автоматически.

По Планку энергия осциллятора восновном состоянии ( n  0) равна нулю. Согласно же (2.43) в основном состоянииэнергия E0   / 2 . Это энергия нулевых колебаний.Значениям энергии (2.43) отвечают собственные функции(2.44) n ( x)  f n ( x) exp(x 2 / 2) .Полиномы f n (x) , удовлетворяющие уравнению (2.42), называются полиномамиЧебышева–Эрмита.

Их обозначают как H n ( x  ) :f n ( x)  N n H n ( x  ) .(2.44a)Здесь N n – постоянная нормировки. Полиномы Чебышева–Эрмита определяютсяформулой:n2 d2H n ( )  (1) n ee  .(2.44б)nd1 .n!2n Плотность вероятности найти квантовый осциллятор в n -ом состоянии в интервале от xдо x  dx :1 x 2 2wквn   n2 e Hn (x  ) .(2.45)nn!2 Из условия нормировки dx2n 1 следует N n Классический осциллятор - математический маятник. Вероятность пребыванияматериальной точки вблизи положения определяется относительным временемпребывания к периоду колебаний: dW  dt / T  dx / vT , где v – cкорость точки. Плотностьвероятностей для классического осциллятора обратно пропорциональна его скорости:111.(2.45а)wкл  vE  m 2 x 2 / 22( 2n  1   )2Здесь   x  . Сопоставим классическую и квантовую плотности вероятностей,wклизображаяпунктирнойкривой(рис.2.12–2.15).Основноесостояние:0wкв  02   21e, wкл .1 2Рис.2.12Рис.2.13Как видно из рис.2.12, квантовая и классическая вероятности не имеют между собойничего общего.

Для классического осциллятора движение происходит в ограниченнойобласти  1    1 . Квантовый осциллятор может находиться и в «запрещенной»области. Для классического осциллятора наиболее вероятно найти его на концахдопустимой области, тогда как для квантового осциллятора максимум вероятностиприходится на середину области. Характер зависимости вероятностей в возбужденныхсостояниях изображен на рис.2.13 – 2.15.Рис.2.14n 1w1кв  2n2wкв2  2 exp(  2 ),1 (2 2  1) 2 exp(  2 ),2 wкл wкл 132152В возбужденных состояниях квантовые и классическиевероятности отличаются друг от друга.

Однако сувеличением квантового числа n количество максимумовквантовых вероятностей возрастает, в пределе оченьбольших чисел n огибающая максимумов повторяетхарактер классической кривой вероятности (рис.2.15).Рис.2.15В этом проявляется принцип соответствия.Наличие энергии нулевых колебаний означает неуничтожимостьдвижения. Это принципиально отражается в соотношении неопределенностейГейзенберга. Если бы в основном состоянии осциллятора его энергия была бы равнанулю, то это означало бы, что частица покоится, т.е.

ее импульс равен нулю. Но тогдаодновременно можно было бы точно определить также положение частицы, чтопротиворечит соотношению неопределенностей.Момент импульса. Квантовый ротатор.В классической механике вектор момента импульса (момента количества движения) частицы относительно начала координат определяется формулой   r p. Вквантовой механике в координатном представлении вектору импульса соответствуетоператор импульса p  i . Поэтому можно ввести оператор момента импульса: (2.46)  rp .Декартовы компоненты этого оператора:   x  yp z  zp y  i y  z ,y  z   y  xp z  zp x  i x  z ,(2.46a)x  z   z  xp y  yp x  i x  y .x  yУдобнее рассматривать проекции оператора момента импульса не в декартовых, а всферических координатах, которые связаны друг с другом соотношениями:x  r sin  cos ,y  r sin  sin  ,z  r cos ,yz .r  x2  y2  z 2 ,  arс tg ,  arc cos .xrВ сферических координатах операторы: 1 1 sin  sin cos  cos cos,xr r r sin  1 1 1 cos  cos  sin. sin sin   cos sin ,zr ryr r r sin Выражения для проекций оператора момента импульса в сферических координатах: x  i(sin ctg cos ) ,(2.47a) y  i(cos ctg sin  ) ,(2.47б)  z  i.(2.47в)Проекции оператора  определяются только угловыми переменными и не содержатзависимости от r .

Оператор квадрата момента импульса:        2   2x   2y   2z   x  x   y  y   z  z (2.48) 1 1 2 2  2 (sin ) . sin2   2  sin Оператор  оператор Лежандра.Собственные функции и собственные значения операторов  z и  2 . По общим правилам: z ( )   z ( ) .(2.49)Собственные значения  z определяют возможные проекции вектора момента импульса наось z . Они являются наблюдаемыми величинами. Учитывая выражение (2.47в), имеемуравнение: i   z .(2.49a)Решение:( )  Cei z /  ,(2.49б)С – постоянная, определяемая условием нормировки.

Функция ( ) периодическая спериодом 2и ограниченная. Условие однозначности волновой функции:iiexp(i z /  )  exp{ z (  2 )} . Отсюда: exp{ z 2 }  1 . Это приводит к квантованнымзначениям проекции вектора момента импульса на ось z :(2.50) z  m .Целое число m  0,  1,  2,... магнитное квантовое число (Зоммерфельд, 1916).Собственные функции оператора проекции момента импульса на ось z согласно(2.49б),(2.50):(2.51)m ( )  Ceim .Эти функции образуют полную систему ортонормированных функций:222i ( m  m )d  2C 2 mm   m m ,  m ( ) m ( )d  C  e0(2.51a)0где  mm – символ Кронекера, C  1 / 2 .Задача на собственные значения оператора  2 :2 2Y ( ,  )   Y ( ,  ) ,(2.52)2где  – наблюдаемые значения квадрата модуля вектора момента импульса.

Согласно(2.48) задача (2.52) совпадает с задачей на собственные значения оператора Лежандра:Y ( ,  )  Y ( ,  ) ,(2.53)2   2 .(2.53a)Собственные значения оператора Лежандра: рассмотрим уравнение Лапласа u  0 дляфункции u ( r ,  ,  ) в сферических координатах: 2 u(r)  u  0 ,(2.54)rrгде  – оператор Лежандра (2.48).

Решение, не обращающееся в бесконечность при r  0 ,ищется в виде:u  r Y ( , ) ,(2.54a)где положительное целое число  = 0, 1, 2, …Тогда из (2.54):(  1)Y  Y .(2.54б)Таким образом,   (  1) . Следовательно,(2.55)   (  1) ,т.е. величина (длина) вектора момента импульса принимает дискретный набор значений взависимости от значений числа  - азимутальное, или орбитальное квантовое число.Собственные функции оператора квадрата момента импульса - шаровые функции:mYm ( , )  P (cos )eim ,(2.56)mP – присоединенные полиномы Лежандра, определяемые формулой:P ( )  (1   )mгде P ( ) 2m /2ddmmP ( ) ,1 d( 2  1)  – полиномы Лежандра.2  ! d (2.56а)В (2.56) число m - магнитное квантовое число.

При фиксированном значении квантовогочисла  число m принимает 2  1 значений:m  0,  1,  2,...,   .(2.56б)imВ (2.56) множитель e- собственная функция (2.51) оператора  z . Это значит, чтособственные функции оператора квадрата момента импульса являются одновременнособственными функциями оператора проекции момента импульса на ось z.

Такимобразом, модуль (длина) вектора момента импульса и его проекция на ось z являютсяодновременно измеряемыми величинами.Ортонормированные волновые функции оператора квадрата момента импульса: m ( , )  N m P m (cos )eim ,(2.57)1/ 2 (2  1)(  m)!постоянные нормировки N m   . 4 (  m)! Существуют ли все три проекции вектора момента импульсаодновременно? Проекция вектора момента импульса на ось z иазимутальный угол  являются парой канонически сопряженныхпеременных,длякоторыхсправедливосоотношениенеопределенностей (1.75).

Задание точного значения проекции  zозначает, что угол  при этом является неопределенным. Так какмодуль (длина) вектора момента импульса также задана точно, товектор момента импульса оказывается расположенным наповерхности конуса (рис.2.16). Угол при вершине этого конусаопределяется соотношением: mcos( , z )  z Рис.2.16.(2.58)(  1)Так как азимутальный угол не имеет определенного значения, то проекции  x ,  yявляются неопределенными. Это значит, что операторы проекций вектора моментаимпульса не коммутируют друг с другом, но каждый из этих операторов коммутирует соператором квадрата момента импульса.

Действительно, можно убедиться, что       y  z   z  y  iˆ x ; ˆ z ˆ x  ˆ x ˆ z  iˆ y ; x  y   y  x  iˆ z ;(2.59)  2  2   2  2   2  2  x     x  0; y     y  0; z     z  0.Таким образом, можно говорить одновременно только о длине вектора момента импульсаи одной из его проекций на некоторую выделенную ось. В качестве такой оси обычновыбирается ось z. Она может быть выделена, например, с помощью внешнего магнитногополя. Проекции вектора момента импульса на другие оси при этом остаютсянеопределенными.Как видно из полученных соотношений, длина (модуль) вектора момента импульса   (  1) всегда больше максимального значения проекции момента  . Если бы этивеличины были равны друг другу, то две другие проекции в этом состоянии имели бывполне определенное, нулевое значение.

Характеристики

Список файлов лекций