Atomnaya_fizika_Lektsii_Milantyev_chast1 (846371), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Но это невозможно. Вместе с тем, существуетединственное состояние, в котором все три проекции вектора момента импульса имеютопределенное значение. Это состояние с  =0, в котором все три проекции одновременноравны нулю. Волновая функция этого состояния  00 , согласно (2.57), сводится кпостоянной, так что она является собственной функцией всех трех операторов ˆ x , ˆ y , ˆ z , ауглы  ,  при этом оказываются неопределенными.В классической механике ротатор - это вращающаяся система жестко связанныхдруг с другом частиц.

В квантовом случае такой образ лишен смысла, так как энергия приточном задании расстояния между частицами бесконечна. Само расстояние задается сопределенной вероятностью. Однако окончательные результаты об энергиивращательного движения оказываются совпадающими с точным решением уравненияШредингера в центрально–симметричном поле. Это связано с тем, что операторыпроекций момента импульса и его квадрата не зависят от радиуса. С такой оговоркой22рассмотрим кинетическую энергию ротатора E   / 2 I , где  – квадрат вектора2момента импульса, I – момент инерции. В квантовом случае величина квантуетсясогласно (2.55).

Таким образом, приходим к формуле, определяющей энергетическийспектр вращательного движения (ротатора): 2(  1)E .(2.60)2IСостояния ротатора описываются с помощью волновых функций (2.57). Эти функцииопределяются как азимутальным, так и магнитным квантовыми числами. Так как призаданном значении орбитального квантового числа  магнитное квантовое числопринимает 2  1 различных значений, то столько же имеется различных волновыхфункций.

Всем этим функциям отвечает одно и то же значение энергии (2.60). Состоянияс некоторым значением энергии, которому соответствуют различные собственныефункции, называются вырожденными состояниями. Число этих различных волновыхфункций называют кратностью вырождения состояний. Таким образом, каждоесостояние ротатора является 2  1 – кратно вырожденным.Энергетические состояния, отвечающие фиксированному значению числа  ,принято обозначать соответствующими буквами (таблица 2):Таблица 2Значения числа 012345Буквенное обозначениесостоянияspdfghНекоторые волновые функции состояний ротатора:1 00 ;s–состояние4p–состояние 10 3cos ,4 11  3sin  e  i ;8d–состояние 20 5(3 cos2   1),16 21  15sin  cose i ,8(2.61)152i 2 2 2 sin e .32Пространственную ориентацию квантового вектора момента импульса изображаютграфически (рис.2.17), при этом учитывается, что определенные значения имеют только и  z , а проекции  x ,  y являются принципиально неопределенными.

Такиеизображения называют пространственным квантованием.Рис.2.17Смысл пространственного квантования, которое связано с вырожденностью состояний, напримере р–состояния. Это состояние описывается тремя собственными функциями.Волновая функция состояния представляет собой, в общем, линейную комбинацию трехволновых функций:   а1  0  а2    а3   . Поскольку пространство изотропно, то ниодно направление в нем не выделено. Если мы хотим найти проекцию момента импульсана какую-то ось, например, на ось z, то необходимо сначала выделить это направление.Это можно сделать, например, если включить магнитное поле в этом направлении, и затемизмерить проекцию момента импульса на эту ось.

В результате измерения величинапроекции  z будет одной из трех, например,   . Тогда после измерения состояниеописывается функцией     . Это означает, что а2  1, а а1  а3  0 . Таким222образом, проекция  z имеет определенное значение, при этом о проекциях на другие осиничего сказать нельзя.Плотность вероятностей различных состояний ротатора определяется с помощьюволновых функций (2.57):2(2.62) m  N2m ( P m )2 .В отличие от классического ротатора, движение которого является плоским, движениеквантового ротатора характеризуется углами  ,  и, условно говоря, происходит поповерхности сферы с фиксированным радиусом, который можно принять за единицу.Тогда формула (2.62) описывает плотность вероятностей состояний ротатора наповерхности сферы.

Элемент этой поверхности:dS  r 2 d  d  sin d d .Формула (2.62) показывает, что плотность вероятностей не зависит от азимутального угла . Это позволяет использовать диаграммы с учетом формул (2.61). На такой диаграмме(рис.2.18) отрезок от начала координат до некоторой точки на кривой определяетплотность вероятности найти частицу на поверхности единичной сферы в направленииугла  при любом значении угла  .Рис.2.18Для получения пространственной картины нужно «прокрутить» диаграмму вокруг оси z.Из приведенных диаграмм видно, что в s–состоянии имеется одинаковая вероятностьнайти частицу в любом месте на поверхности сферы. Это как раз – то состояние, вкотором все три проекции момента импульса имеют определенное, нулевое значение.

Востальных случаях вероятность зависит от магнитного квантового числа. Например, дляp–состояния (р–электроны) при значении m  0 вероятность максимальна в направлениях  0,  , тогда как при m  1 максимум вероятности соответствует   , т.е. плоскости2x, y. Во всех случаях квантовая картина не имеет ничего общего с картиной классическогоротатора, который вращается в плоскости x, y вокруг оси z. Однако с возрастаниеммагнитного квантового числа плотность вероятностей для состояний с максимальнымзначением этого числа, характеризуется все меньшим отклонением от плоскости x, y.Действительно, как следует из формулы (2.58), при    угол между вектором  и осьюz стремится к нулю. В этом проявляется принцип соответствия.Магнитные свойства атомов.Согласно представлениям теории Бора электрон обращается вокруг ядра постационарной круговой (или эллиптической) орбите (рис.2.19).

Сорбитальным движением электрона можно связать кольцевой ток,характеризующийся силой тока J  e / T , где e – заряд электрона,T  2 /  – период обращения вокруг ядра. С кольцевым токомсвязан магнитный момент:11 e 2e(2.63)  JS r r me v ,cc 22me cS   r 2 – площадь орбиты электрона, v =  r – линейная скорость,me – масса электрона. Величина r me v представляет собой моментРис.2.19импульса орбитального движения электрона.

Если орбита находится в плоскости x, y, тоr me v есть z–я компонента вектора момента импульса –  z . Таким образом, величина в формуле (2.63) также должна иметь смысл z–ой компоненты вектора магнитногомомента:e(2.64a)z z,2me cВ векторной форме:e .2m e с(2.64)Магнитный момент и момент импульса орбитального движения пропорциональны другдругу. Коэффициент пропорциональностиe2me c- гиромагнитное отношение.безразмерную величинуГиромагнитнымge / 2me c.(2.65)отношениемназываюттакже(2.65a)В случае орбитального движения электрона величина g = 1.Взаимосвязь механического и магнитного моментов атомов приводит к рядуфизических эффектов, которые называются магнито-механическими.

Суть этихэффектов состоит в том, что если, например, изменить направление намагничиванияобразца, то образец, как целое, должен приобрести определенный момент импульса, инаоборот. Первые опыты по обнаружению магнитомеханических эффектов былипроведены Эйнштейном и де Гаазом, а также Барнеттом, которые ставили задачуопределения гиромагнитного отношения. Эксперименты показали, что вместо ожидаемогозначения g = 1 величина g = 2. Это было совершенно непонятно, пока не былообнаружено новое свойство электронов – спин.Согласно квантовой механике проекции вектора момента импульса орбитальногодвижения принимают значения  z  m . Поэтому проекции вектора магнитного моментатакже являются квантованными:e m B .(2.66)z = m2 me cОтсюда видно, что существует «квант магнитного момента»:e(2.66а)B  9,274 1021 эрг/Гс.2me cЭта величина, составленная из универсальных констант, называется магнетоном Бора.Опыт Штерна и Герлаха.Спин.

Принцип ПаулиСогласно (2.64) квантовые свойства вектора магнитного момента такие же, каксвойства вектора момента импульса, т.е. одновременно существуют лишь величинавектора магнитного момента и одна из его проекций на выделенную ось. Другимисловами, для магнитного момента справедлива та же картина пространственногоквантования, что и для момента импульса.

Эти представления о пространственномквантовании проверялись в эксперименте Штерном и Герлахом в 1921–1922 гг. Идея ихопыта: чтобы выявить пространственную ориентацию магнитного момента атома,необходимо использовать внешнее магнитное поле. Оно не должно быть однородным, таккак в этом случае результирующая сила, действующаяна магнитный момент, равна нулю.В неоднородном магнитном поле с индукцией B на магнитный момент действует сила:BBBF  (   ) B   x y z.(2.67)xyzВеличина этой силы зависит от угла между магнитным моментом и градиентоммагнитного поля. Следовательно, при прохождении сквозь такое поле пучок атомов будетотклоняться.

Если выбрать направление магнитного поля за ось z, то в этом направлениина магнитный момент действует сила:BBBFz   x y z.(2.67a)xyzМагнитный момент прецессирует вокруг направления магнитного поля, описывая конус сосью вдоль оси z. В этом случае проекции  x ,  y периодически изменяются со временемс частотой прецессии, так что их средние значения по времени обращаются в нуль.Поэтому при движении пучка атомов перпендикулярно магнитному полю на них будетдействовать в направлении поля усредненная сила:BFz   z.(2.67б)zОтсюда видно, что величина и характер отклонения атомов, определяемые усредненнойсилой, зависят от возможных значений проекции магнитного момента z . По классическим представлениям эти значения непрерывнораспределены в интервале от   до   . В этом случае пучокатомов после прохождения неоднородного магнитного поля долженоказаться размытым (рис.2.21,а).

Характеристики

Список файлов лекций