Atomnaya_fizika_Lektsii_Milantyev_chast1 (846371), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Однако в этомслучае положение электрона нельзя характеризовать шириной щели, так как онаперемещается вместе с экраном в момент прохождения электрона и не может служитьсистемой отсчета. Это находится в полном соответствии с соотношениемнеопределенностей.Соотношение неопределенностей типа (1.73) справедливо для любой парыканонически сопряженных переменных.

Такой парой помимо координаты и импульсаявляются, например, азимутальный угол  и проекция вектора момента импульса  z наось z, и др. Поэтому существует соотношение неопределенности(1.75)  z   / 2 .Одновременное существование величин, не являющихся канонически сопряженнымипеременными, возможно.Особую роль играет соотношение неопределенностей для энергии и времени(1.76)tE   / 2 .Соотношения неопределенностей отражают важные свойства микромира:а) микрочастицы не имеют определенной траектории своего движения.

Но прибольших энергиях частицы (малых длинах волн де Бройля) возможно приближенноеописание ее движения на языке классических траекторий. Применение понятиятраектории к микрочастице, как и к волне, возможно при пренебрежении дифракцией.При распространении света в неоднородной среде это соответствует приближениюгеометрической оптики (длина волны намного меньше характерного масштабанеоднородности L):(1.77)  L .В случае волн де Бройля это означает:pL  h .(1.77a)Вполне справедливым оказывается, например, расчет траекторий альфа–частиц в опытахРезерфорда по классической теории. Можно также говорить о приближенной траекториибыстро движущейся частицы в камере Вильсона.б) микрочастицы не могут находиться в состоянии полного покоя. Делениеполной энергии частицы на кинетическую и потенциальную не имеет смысла.

Энергиямикрочастицы определяется и измеряется лишь как полная энергия;в) свойства атомного объекта неотделимы от средств наблюдения. Объектынаблюдения – это микрочастицы (электроны, фотоны и пр.). Они описываютсяквантовыми законами. Средства наблюдения макроскопические (экспериментальныеустановки, например, экран со щелями, кристалл, фотопластинка и т.д.). Ониописываются с помощью законов классической физики. В классической физике приизмерении состояние измеряемого объекта не изменяется (или практически неизменяется).

Например, никак не изменяется состояние Земли при измерении ееположения на траектории вращения вокруг Солнца. При измерении же или наблюдениимикрообъекта происходит не только изменение, но и разрушение его прежнего состояния.Например, прежнее состояние дифрагировавшего электрона при регистрации его спомощью фотопластинки полностью разрушается.Классические понятия «частица» и «волна» взаимно исключают друг друга. Однакореальный микрообъект, который называют электроном, обладает и свойствами частицы, исвойствами волны.

Поэтому Бор считал, что корпускулярные и волновые свойстваматерии не исключают, а дополняют друг друга. Это принцип дополнительностиБора.В классической физике - принцип причинности - задание состояния системы вначальный момент времени полностью определяет ее состояние во все последующиемоменты времени.

В микромире детерминизма в классическом понимании не существует.Поясним это на простом примере. Допустим, что пучок света падает на прозрачнуюпластинку. Тогда часть света отражается, а часть – проходит сквозь пластинку. Что приэтом происходит с отдельным фотоном? При попадании на пластинку фотон сохраняетсвою индивидуальность, т.е. не расщепляется на два фотона. Поэтому отдельный фотонможет либо отразиться, либо пройти сквозь пластинку.

Так что прохождение и отражениефотонов светового пучка носит случайный характер: часть фотонов с вероятностью w1отражается, а часть фотонов с вероятностью w2 проходит, причем w1 + w2 =1. Такимобразом, поведение фотона при попадании на пластинку не предсказуемо однозначно.Состояние квантовой системы определяется с помощью волновой функции. Ее изменениесо временем описывается детерминированным уравнением Шредингера, так что заданиемволновой функции в начальный момент времени она определяется в последующиемоменты. Это можно рассматривать, как проявление принципа причинности в квантовоймеханике. Вместе с тем физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат еемодуля. Это связано с тем, что волновая функция описывает не осуществленное состояниемикрообъекта, а потенциально возможные его состояния.Уравнение Шредингера.Операторы физических величин.

Средние значения.Чтобы записать уравнение Шредингера (1926), рассмотрим сначала схему выводадисперсионного уравнения для плоской монохроматической волны:исходное волновое уравнение:u решение – плоская волна:действие операторов  и2t 21  2uv 2ph t 2 0,(2.1)u( r ,t )  aei( k r  t ) ,(2.1a): u    u  ik  ik u  k 2u , 2u u  i  ( i )u   2u ,2t ttподстановка (2.1б) в исходное уравнение:1 2k 2u  u  0.v 2ph(2.1б)(2.1в)Отсюда следует дисперсионное уравнение, связывающее частоту и волновое числоплоской волны (2.1а):Из (2.1б) видно, что:тогда какСправедливо также обратное: 2  k 2 v 2ph .(2.2)u  ik u ,(2.3)u  i  u .t(2.4)k  i , i .t(2.3а)(2.4а)Чтобы записать уравнение Шредингера для волновой функции, воспользуемся схемой(2.1-2.2), идя «снизу вверх» – от (2.2) к (2.1).

«Дисперсионным уравнением»,связывающим частоту и волновой вектор волн де Бройля, является формула для полнойэнергии частицы: p2 U ( r ,t )  H ( p ,r ,t ) ,(2.5)2mгде U – потенциальная энергия частицы, H – функция Гамильтона. Действительно,пользуясь соотношениями (1.49), (1.50), из (2.5) получаем:E 2k 2U .(2.5а)2mУмножим формально обе части (2.5а) на волновую функцию:  2k 2(2.5б)   U  .2mЗаменяем затем  и k на операторы согласно (2.3а), (2.4а). Тогда приходим к искомомууравнению Шредингера: ( r ,t )2i  U  H ( r ,t ) ,(2.6)t2mгде величина2p2H   U ( r ,t )  U ( r ,t )(2.7)2m2mоператор Гамильтона, или гамильтониан. Шляпка над буквой означаетсоответствующий оператор. В формуле (2.7) на основе соотношений (1.49), (2.5) и (2.3а),введен оператор импульса:(2.8)p  i .Уравнение (2.6) - нестационарное уравнение Шредингера.Если потенциальная энергия U не зависит от времени, то оператор Гамильтона(2.7) зависит только от координат.

В этом случае состояния квантовой системыназываются стационарными. Для таких состояний пространственная и временнаязависимости в волновой функции могут быть разделены:  ( r ,t )   ( r ) ( t ) . Тогда изi 1(2.6) получаем: H ( r )  E , где Е – постоянная разделения. Отсюда следует, t  ( r )что временная зависимость волновой функции является вполне определенной: ( t )  eiEt .ПространственнаязависимостьволновойфункцииописываетсяH ( r )  E ( r ) .Таким образом, для стационарных состояний волновая функция имеет вид:(2.9)уравнением:E i t ( r ,t )   ( r )e  .(2.10) 2 2Плотность вероятностей таких состояний не зависит от времени:  ( r ,t )   ( r ) .Поэтому они называются стационарными.

Уравнение (2.9) - стационарное уравнениеШредингера, которое часто записывают в эквивалентной форме:2m  2 ( E  U ( r ))  0 .(2.11)Уравнение Шредингера линейно относительно волновой функции. Поэтомусправедлив принцип суперпозиции решений. Линейная комбинация нестационарныхрешений уравнения Шредингера также является нестационарным решением.Суперпозиция стационарных решений с разными значениями энергии, в общем, может небыть стационарным решением. Например,EE12 i  t i  t ( r ,t )   1( r )e  2 ( r )e.В этом случае плотность вероятности зависит от времени:i(2.12)i ( E1  E 2 )t( E1  E 2 )t 2 2 2. (2.12a) ( r ,t )   1( r )   2 ( r )   1 2e   1 2 e Плотность вероятности периодически изменяется с частотой 12  ( E1  E2 ) /  , котораясовпадает с боровской частотой перехода между стационарными состояниями.

Еслисистема находится в одном из стационарных состояний, то плотность вероятностей в этомсостоянии не зависит от времени – ее энергия имеет некоторое определенное значение,так что система не излучает и не поглощает энергию. Таким образом, квантовая механикаатома не противоречит законам электродинамики.Условие нормировки волновой функции вытекает из уравнения Шредингера:умножая уравнение (2.8) слева на функцию   ( r ,t ) , а комплексно–сопряженноеуравнение – на  ( r ,t ) , и затем, вычитая полученные выражения, приходим к уравнению:i22    (    )  div(    ) .t2m2mВеличина    2определяет плотность вероятности.

Векторj(         )2miвектор плотности потока вероятности. Уравнение сохранения вероятности:tПосле интегрирования:t 22 div j  0 .(2.13)(2.13a) dV  0 , так как  div j dV   ds  j  0 , где ds – элемент2поверхности Таким образом,   dxdydz const . По смыслу волновой функции этапостоянная равна единице.Физически приемлемые решения уравнения Шредингера требуют выполненияопределенных условий. Волновая функция должна быть однозначной, непрерывной иограниченной вместе со своими первыми производными.Уравнение Шредингера является нерелятивистским и не учитывает важногосвойства микрочастиц – их спина. В этом его недостаток.

Кроме того, уравнениеШредингера является феноменологическим, поскольку внешние воздействия на частицу(поля) задаются классически с помощью выражения для потенциальной энергии. Такойподход аналогичен описанию распространения электромагнитных волн в среде, свойствакоторой задаются с помощью феноменологического показателя преломления.Уравнение Шредингера в форме (2.9) показывает, что в результате воздействияоператора Гамильтона (2.7) на волновую функцию получается та же волновая функция,помноженная на постоянное значение энергии. Тогда говорят, что поставлена задача насобственные значения оператора, в данном случае, оператора Гамильтона.

Присоблюдении физических требований на волновую функцию и при соответствующихграничных условиях решение этой задачи существует не при любых значенияхпостоянной Е, а лишь при строго определенных значениях, образующих энергетическийспектр рассматриваемой системы: E1 , E2 ,... Эти значения называются собственнымизначениями энергии, а соответствующие им волновые функции  1 , 2 ,...

Характеристики

Список файлов лекций