Atomnaya_fizika_Lektsii_Milantyev_chast1 (846371), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Бибермана,Н. Сушкина и В. Фабриканта (1949) показали, что волновые свойства присущиотдельному электрону. В этих опытах средний промежуток времени, разделяющийпрохождение отдельных электронов через дифракционную систему, был примерно в 30тысяч раз больше времени движения электрона внутри всего прибора. В таких условияхкартина попадания отдельных электронов на регистрирующую фотопластинку никак независит от взаимодействия между ними.

При достаточно длительной экспозициивозникает дифракционная картина, которая оказывается такой же, как в опытах подифракции интенсивных электронных пучков. Аналогичные опыты провел венгерскийфизик Яноши (1957) с фотонами. Он показал, что отдельный фотон обладает волновымисвойствами. Эти опыты, собственно, можно считать подтверждением известного в оптикефакта, что характер дифракционной картины не зависит от интенсивности падающегоизлучения.Рассмотрим мысленный эксперимент Эйнштейна. Пусть электроны падают нанепрозрачный экран с двумя узкими параллельными щелями. Если расстояние междущелями порядка длины волны де Бройля, то за экраном на фотопластинке возникаетдифракционная картина.

Она состоит из ряда параллельных щели светлых и темныхполос. Такая картина образуется и при последовательном прохождении сквозь щелиотдельных электронов. Как частица, электрон может проходить только сквозь одну изщелей. Но на фотопластинке образуется дифракционная картина, характерная именно длядвух щелей. Тогда возникает вопрос: откуда электрон «знает» о существовании второйщели? Ответ был дан Н.

Бором: при взаимодействии с экраном электрон ведет себя какволна. Поэтому он проходит одновременно через обе щели, так что невозможно указать,через какую именно щель прошел электрон. Когда же электрон сталкивается сфотопластинкой, то он ведет себя как частица. В этом и проявляется корпускулярно–волновой дуализм микрочастиц.Характер дифракционной картины определяется дифракционной системой.Например, дифракция на двух щелях отличается от дифракции на одной щели. Однако влюбом случае дифракционная картина состоит из ряда темных и светлых полос.

Этозначит, что на фотопластинке имеются места, куда электроны в основном попадают, иесть места, в которые электроны не могут попасть никогда. Возьмем произвольную точкуна фотопластинке и зададим вопрос – попадет ли в эту точку электрон после прохождениядифракционной системы? Определенного ответа дать нельзя, так как мы знаем, что нафотопластинке должна возникнуть дифракционная картина. Мы можем лишь утверждать,что электрон либо попадет, либо не попадет в выбранную точку. Это значит, чтопредсказание о попадании дифрагировавшего электрона на фотопластинку носитвероятностный характер.

На этом основании говорят, что волна де Бройля являетсяволной вероятности. Она определяет вероятность того, что электрон находится внекоторой области пространства вблизи рассматриваемой точки. Функция, описывающаявероятное местоположение электрона, называется волновой, или  – функцией. Ееназывают также амплитудой вероятности. Идею о вероятностном толковании волновойфункции выдвинул Макс Борн (1926). Эта идея позволяет сочетать волновые свойстваэлектронов с их свойством неделимости.

Например, в опытах Бибермана, Сушкина иФабриканта вероятностный характер попадания электронов на фотопластинкупроявляется в том, что вначале фотопластинка напоминает мишень с хаотическираспределенными следами. Затем возникает упорядоченная дифракционная картина. Ичем больше электронов попадает на фотопластинку (чем больше экспозиция), тем болеечеткой является эта картина.Таким образом, волновая функция не описывает структуру электрона, т.е.

она недает ответа на вопрос – «как устроен электрон», а описывает возможные состояния егодвижения.Как отмечалось, дифракционная картина может наблюдаться в опытах сотдельными фотонами. Число фотонов, попадающих в некоторую точку регистрирующейфотопластинки, пропорционально интенсивности электромагнитной волны. Этаинтенсивность определяет вероятность нахождения фотонов вблизи выбранной точки.Точно так же вероятность найти электрон вблизи некоторой точки пропорциональнаинтенсивности волны де Бройля. Эта интенсивность пропорциональна квадрату модуля 2волновой функции.

Таким образом, можно считать, что величина  ( r ,t ) представляетсобой плотность вероятности того, что частица находится вблизи точки r в моментвремени t . Вероятность обнаружить частицу в элементе объема dV  dxdydz вблизи этойточки равна: 2(1.68)dW   (r , t ) dV   *dV ,где  * ( r ,t ) – комплексно–сопряженная волновая функция. Из соотношения (1.68)следует, что волновая функция определена с точностью до постоянного фазовогомножителя типа е i , где  – любое действительное число. Однако эта неоднозначностьникак не влияет на физические результаты. Согласно формуле полной вероятности: 2(1.69) dW    ( r ,t ) dV  1 .Эта означает, что электрон (частица) обязательно где-то находится.

В математическомотношении формула (1.69) представляет собой условие нормировки волновой функции.Для существования интеграла (1.69) волновая функция должна удовлетворятьнеобходимым условиям. Если в (1.69) интегрирование проводится по всему пространству,то волновая функция должна быть ограниченной и достаточно быстро убывать приудалении от начала координат: ( r ,t )   , ( r ,t )  0при r   .(1.70)Это – естественное граничное условие. Волновая функция описываетсяфундаментальным уравнением (уравнение Шредингера).

Ясно, что волновая функциядолжна быть однозначной, так как при обходе по любому замкнутому контурунахождение вероятного местоположения частицы в рассматриваемой точке пространствадолжно быть однозначным.Рассмотрим снова опыт по дифракции электронов на двух щелях. Состояниеэлектрона, пролетевшего через верхнюю щель (при закрытой нижней щели), описываетсяволновой функцией  1( r ,t ) , а состояние электрона, пролетевшего через нижнюю щель(при закрытой верхней), описывается функцией  2 ( r ,t ) . Если открыты обе щели, тосостояние электрона описывается волновой функцией   1  2 . Это отражаетпринцип суперпозиции состояний. Вероятность того, что электрон, прошедший черезверхнюю щель (при закрытой нижней), попадает в некоторую точку на экране (или2фотопластинке) за щелями (событие 1), определяется величиной  1 .

Аналогично,вероятность попадания в ту же точку электрона, прошедшего через нижнюю щель при2закрытой верхней щели (событие 2), определяется величиной  2 . Вероятностьпопадания электрона в эту точку на экране при обеих открытых щелях (событие 1+2)определяется величиной    1  2   1   2  1 2  1 2 . Отсюда видно, чтовероятность события 1+2 не равна сумме вероятностей событий 1 и 2, т.е. при попаданиина фотопластинку складываются не интенсивности волн де Бройля, а их амплитуды –волновые функции. Это и приводит к картине интерференции: в некоторых местах волныусиливают друг друга, а в других – гасят друг друга.

В общем, принцип суперпозициисостоит в следующем: если в данных условиях существуют квантовые состояния, которыеописываются волновыми функциями  1 , 2 , ... , то существует также состояние,описываемое волновой функцией    ск к .2222кРассмотрим две системы. Пусть вероятности одной из них описываются волновойфункцией 1 (r , t ) , а другой – функцией 2 (r , t ) . Если эти системы независимы, тораспределение вероятностей для всей системы в целом равно произведению вероятностейотдельных систем. Это значит, что в данном случае волновая функция системы в целом равна произведению волновых функций этих систем: 12 (r1, r2 , t )  1 (r1, t )2 (r2 , t ) .Итак, наличие у микрочастиц волновых свойств приводит к необходимостиописания их состояний с помощью волновой функции, имеющей вероятностный смысл.Вероятностный характер приобретают также предсказания квантовой теории. При этом вотличие от кинетической теории газов, где вероятностное описание обусловленоогромным количеством частиц, для которых начальные значения их динамическихпеременных не известны, в квантовой теории вероятностное описание объективно связанос тем, что отдельной микрочастице присущи волновые свойства.Если задана некоторая функция F ( x, y, z )  F ( r ) для микрочастицы, состояниякоторой описывается волновой функцией  (r ) , то среднее значение при условиинормировки (1.69) по общим правилам теории вероятностей определяется формулой: 2F (r )   F (r ) (r ) dV .(1.71)Например, среднее значение координаты частицы вдоль оси х вычисляется по формуле:x    * ( x )x ( x )dx .Аналогично можно определить дисперсию координаты( x  x )2   * ( x)(x  x )2 ( x)dx .(1.71а)(1.71б)Для явного вычисления средних величин нужно знать волновую функцию, уравнение длякоторой будет рассмотрено далее.Функция  (r ) называется волновой функцией в координатном представлении.

Сее помощью определяется вероятное местоположение частицы. Если известна функция ( r ) , то можно вычислить волновую функцию  ( р ) , определяющую вероятность значений импульса в интервале p , p  dp . Волновая функция  (r ) представляется в видеразложения Фурье по плоским волнам:  (r )   A(k x , k y , k z )eikr dkx dk y dkz . Фурье– амплитуда A(k ) определяется обращенной формулой: A(k )  (2 )3   (r )eikr dxdydz. Для волн де Бройля k  p /  . Поэтому для Фурье–амплитуды волновой функцииполучаем формулу:a( p )     ( r )e ipr /  dxdydz,(1.72)где  – постоянная. Выражение 2(1.72а)dW p  a( p ) dpx dp y dpzрассматривают как вероятность того, что проекции вектора импульса частицы находятся винтервале p x , p x  dpx ; p y , p y  dp y ; p z , p z  dpz .

Характеристики

Список файлов лекций