Atomnaya_fizika_Lektsii_Milantyev_chast1 (846371), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

называютсясобственными функциями. Квадрат модуля собственной волновой функции  nопределяет плотность вероятности того, что квантовая система находится в элементеобъема dV вблизи точки r в состоянии со значением энергии E n . По формуле полнойвероятности:  n2dV  1 .(2.14а)Рассмотрим уравнение Шредингера (2.9) для собственной функции  n1 с собственнымзначением энергии En1 и для собственной функции  *n с собственным значением E n Пофизическому смыслу собственные значения энергии должны быть действительнымивеличинами.

Будем считать, что эти значения энергии различны:2 n1  U ( r ) n1  En1 n1 ;2m2 *n  U ( r ) *n  En *n .2mУмножим первое из этих уравнений на  *n , а второе – на  n1 , и затем вычтем одно издругого:2div( *n  n1   n1  *n ) . Интегрируя2mиспользованием теоремы Гаусса–Остроградского,( E n1  E n ) n1 *n  пространствус( En1  En )  *n n1 dV 0 . Так как, по условию,повсемуполучаем:E n1  E n , то отсюда следуетсоотношение:   *n n1 dV  0 . Это соотношение показывает, что собственные волновыефункции, отвечающие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.Вместе с формулой (2.14а) полученное соотношение может быть записано единымобразом как условие ортонормировки собственных волновых функций: n n dV(2.14)  nn ,1 n  nгде  nn  – символ Кронекера:  nn  .0 n  nВ квантовой механике принимается, что измеряемые на опыте значенияфизических величин, так же как значения энергии, являются собственными значениямисоответствующих операторов.

Для определения этих собственных значений необходимоданной физической величине сопоставить соответствующий оператор (Борн, 1926). Такимобразом, если F – некоторая физическая величина, то ей сопоставляется оператор F̂ , длякоторого аналогично (2.9) ставится задача на собственные значения. Эти собственныезначения образуют спектр величины F. В общем, спектр может быть дискретным,составленным из дискретных значений F1 , F2 ,...

, и может быть непрерывным,простирающимся по всей области задания величины F. Для удовлетворения принципусуперпозиции квантовые операторы должны быть линейными. Такие операторыопределяются условиями: F̂ ( 1 + 2 ) = F̂  1 + F̂  2 , F̂ (а )=а F̂  , где  1 , 2 –произвольные функции, а – произвольная постоянная.В случае дискретного спектра задача на собственные значения ставитсяаналогично (2.9):Fˆ n  Fn n .(2.15)Собственные функции удовлетворяют условию ортонормировки (2.14). Если квантоваясистема описывается произвольной волновой функцией  , то в результате измерениявеличины F должно получиться одно из собственных значений Fn , которомусоответствует собственная функция  n .

Отсюда следует, согласно принципусуперпозиции, что волновая функция  , в общем, должна быть представлена в виделинейной комбинации собственных функций  n оператора F̂ :   an n ,(215а)nгде a n – некоторые коэффициенты. Используем условие нормировки волновой функции иусловие ортонормировки собственных функций (2.14).

В результате получаем: **   (r ) (r )dxdydz n n an an  n (r ) n (r )dV (2.16)2  anan nn   an  1.nnОтсюда следует, что величину ann2можно интерпретировать как вероятность того, чтовеличина F имеет значение Fn . Умножая (2.15а) на  *m и используя условие (2.14),находим, что коэффициенты разложения (2.15а) определяются формулой(2.16а)am   m* (r )(r )dV .Среднее значение величины F определяется по общим правилам теориивероятностей как сумма собственных значений, умноженных на соответствующую имвероятность:2(2.17)F   Fn an   Fn an an* .nnПреобразуем это выражение, используя соотношения (2.16а), (2.15), (2.15а):F   Fn an  n  * dV  an   * Fˆ n dV    * FˆdV .nn(2.17а)Отсюда следует, что среднее значение любой физической величины можно вычислить вкоординатном представлении волновой функции, если известен соответствующийоператор в этом представлении.

Например, среднее значение импульса равно:p   * (r )(i(r ))dV . Когда система находится в состоянии, описываемомсобственной волновой функцией, то среднее значение величины F совпадает с егособственным значением:F   n* Fˆ n dV   n* Fn n dV  Fn  n* n dV  Fn .В этом случае коэффициент an  1 (при фиксированном n), а остальные коэффициентыобращаются в нуль.Собственные значения физических величин, а также их средние значения являютсядействительными величинами. Это накладывает ограничения на свойства квантово–механических операторов.

Вещественность среднего значения оператора означает, чтодолжно выполняться интегральное соотношение:F    * FˆdV   Fˆ * *dV  F * .В этом случае говорят, что оператор F̂ – эрмитов оператор. Более общее условиеэрмитовости оператора определяется соотношением:  1 Fˆ 2 dV   2 Fˆ  1 dV ,где  1 , 2 – произвольные функции. Таким образом, операторы физических величин вквантовой механике должны быть линейными и эрмитовыми.В стационарных состояниях собственные волновые функции являются функциямивида:  n (r , t )   n (r )e iEnt /  . В этом случае состояние, описываемое функцией сразложением (2.15а), не является стационарным. Подставляя такую функцию в (2.17а),получаем:F    dVan* an n* (r , t ) Fˆ n (r , t )   an* (t )an (t ) Fnn .nВеличинаn(2.17б)n ,nFnn   dV n* (r ) Fˆ n (r )(2.17в)называется матричным элементом оператора F̂ , соответствующим переходу изсостояния n в состояние n .

Коэффициенты an (t )  an e iEnt /  . Временная зависимость в(2.17б) определяется множителем exp(inn t ) , где  nn   ( En  En  ) /  – частотаперехода. Совокупность всех матричных элементов образует матрицу оператора F̂ .Диагональные элементы этой матрицы(2.17г)Fnn   dV n* (r ) Fˆ n (r )  Fnявляются собственными (средними) значениями величины F в состоянии с волновойфункцией  n .Примерами величины F с непрерывным спектром могут служить координата иимпульс частицы. Если F, например, координата x, или функция координат F(x,y,z), то посмыслу волновой функции и согласно определениям (1.71) и (2.17а), операторомкоординаты (или функции координат) является операция умножения на эту координату(или функцию координат).

Если величина F – импульс, то для нахождения среднегозначения импульса, а также дисперсии необходимо учитывать определение оператора импульса (2.8). Если F – функция координат и импульса вида F (r , p) , то этой функции в координатном представлении сопоставляется оператор Fˆ  F (r , pˆ ) . В импульсном, или р–представлении, оператор импульса сводится к умножению на этот импульс, а координатеотвечает оператор: rˆ  i  .pЕсли две физические величины F и G имеют определенные значения, то имсоответствуют состояния, описываемые собственными функциями операторов F̂ и Ĝ .Очевидно, что величины F и G будут иметь одновременно определенные значения, еслиэтим значениям отвечает одна и та же, общая собственная функция.

Таким образом, если n – общая собственная функция операторов F̂ и Ĝ , то Fˆ n  Fn n , Gˆ  n  Gn n .Подействуем теперь на первое их этих соотношений оператором Ĝ , а на второесоотношение – оператором F̂ . В результате полу-чаем:Gˆ Fˆ n  Fn Gˆ  n  Fn G n n ,FˆGˆ  n  G n Fˆ n  G n Fn n .Отсюда следует: Gˆ Fˆ n  FˆGˆ  n . Так как произвольная волновая функция являетсялинейной комбинацией функций  n , то такое же соотношение выполняется и в случаелюбой волновой функции  .

Это соотношение записывается в виде символическогоравенства:Gˆ Fˆ  FˆGˆ  0 .О таких двух операторах говорят, что они коммутируют друг с другом, т.е. результатдействия двух таких операторов на некоторую функцию не зависит от последовательностидействия этих операторов. Таким образом, если операторы имеют общие собственныефункции, то они коммутируют друг с другом. Справедливо также обратноеутверждение: если операторы коммутируют, то они имеют общие собственныефункции. Физически это означает, что соответствующие физические величины могутодновременно иметь определенные измеряемые значения.

Например, волновая функция p ( r )  A exp(ipr /  ) является общей для операторов pˆ x , pˆ y , pˆ z . Это значит, чтопроекции вектора импульса на все три декартовы оси координат могут иметьодновременно определенные значения. Вместе с тем, координата и соответствующий ейоператор проекции импульса не коммутируют. Например, ( pˆ x x  xpˆ x )  i , или всимволической форме pˆ x x  xpˆ x  i  0 . Это отражает уже известный факт,устанавливаемый соотношениями неопределенностей, что координата и соответствующаяпроекция импульса не могут одновременно иметь определенные значения.Разность Gˆ Fˆ  FˆGˆ называют коммутатором операторов Ĝ и F̂ . Для коммутатораиспользуют обозначение: Gˆ Fˆ  FˆGˆ  [ Fˆ , Gˆ ] .Волновые функции системы, находящейся, например, в центральном поле сил,обладают важным свойством, называемым четностью.

Это свойство связано спреобразованием инверсии - изменение знаков всех декартовых координат на обратные:r  r . Такое преобразование, эквивалентное замене правой системы координат налевую, не нарушает вероятностного смысла волновой функции, при этом операторГамильтона не должен менять свой знак: Hˆ (r )  Hˆ (r ) . Очевидно, это возможно впотенциальном поле, для которого U ( r )  U (  r ) . В соответствии с преобразованиеминверсии вводят оператор инверсии Iˆ , который изменяет знаки координат волновойфункции на обратные: Iˆ (r )   (r ) .

Характеристики

Список файлов лекций