Atomnaya_fizika_Lektsii_Milantyev_chast1 (846371), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Функцию a( р ) называют волновойфункцией в импульсном представлении, или в р–представлении. Постоянная  вформуле (1.72) определяется из условия нормировки: 2(1.72б) a( p ) dpx dp y dpz  1 .С помощью (1.72а) аналогично (1.71) можно определить среднее значение функции G( p ),зависящей от импульса: 2(1.72в)G( p )   G( p ) a( p ) dpx dp y dpz .22Например, p x   p x a( p x ) dpx ; ( p x  p x )2   ( p x  p x )2 a( p x ) dp x .Соотношения неопределенностей.Допустим, что микрочастица находится в некотором интервале х оси х.

Этозначит, что волновая функция отлична от нуля только в данном интервале. Такая волноваяфункция представляет собой волновой пакет шириной х . Согласно соотношениям (1.45)ширина волнового пакета неразрывно связана с интервалом волновых чисел k x плоскихволн, из которых составлен этот волновой пакет. Так как импульс частицы и волновойвектор волны де Бройля пропорциональны друг другу, то из (1.45) получаем:xp x  2 .(1.73)Справедливы аналогичные неравенства:yp y  2.(1.73a)zp z  2Такие неравенства - соотношения неопределенностей - впервые получил Гейзенберг(1927).

Они играют принципиальную роль в квантовой физике.Приведенный вывод является грубым. Более точный и последовательный выводэтих соотношений дается в курсе квантовой механики, где величины x , p xрассматриваются как среднеквадратичные отклонения от средних значений иопределяются общими статистическими соотношениями:x  ( x  x )2 , p x  ( p x  p x )2 .Черта сверху обозначает средние величины типа (1.71), (1.72в). При строгом квантово–механическом расчете следует неравенство:x p x   / 2 .(1.74)Величина х определяет погрешность в измерении положения частицы на оси x, а p x –погрешность в измерении проекции импульса.

Из (1.74) следует, что невозможноодновременно сколь угодно точно измерить координату и соответствующий импульсмикрочастицы. Действительно, допустим, что положение частицы на оси x известноточно, т.е. х  0 . Тогда согласно (1.74) проекция импульса частицы неопределенна:p x   . Наоборот, если известен точно импульс, то местоположение частицы являетсянеопределенным. Например, в случае свободной частицы волновая функция имеет вид2(1.55).

Тогда плотность вероятности  А2 =const, т.е. частица с одинаковойвероятностью может быть обнаружена в любой точке пространства.Чтобы понять значение соотношений Гейзенберга, приведем оценки. Рассмотриммакроскопическую частицу с массой 1 г. Погрешность в определении центра тяжестичастицы примем за х  104 см . Тогда погрешность в определении скорости равнаv x  h / mx  1023 см/c .

Эта погрешность ничтожно мала. Она лежит далеко запределами экспериментальных возможностей. Таким образом, для макроскопическойчастицы ее положение и импульс могут быть одновременно определены с достаточновысокой степенью точности. Поэтому для таких частиц вполне справедлив классическийметод динамического описания с помощью координаты и импульса. В этом случаесоотношениенеопределенностейнеимеетпрактическогозначения.Длямикроскопической частицы, например, электрона, находящегося в атоме, me  1027 г ,x  109 см . Тогда погрешность в определении скорости равна v x  109 см/с . Такаяпогрешность уже сравнима с самим значением скорости электрона и даже превосходитего.

Действительно, характерной энергии электрона в атоме порядка 10 эВ соответствуетскорость порядка v  108 см/с . Таким образом, при достаточно точном задании положенияэлектрона в атоме его скорость нельзя считать вполне определенной.Соотношения неопределенностей позволяют объяснить факт существованияатомов и их определенного объема, а также устойчивость атома при воздействиивнешнего давления. Действительно, электроны в атоме испытывают электростатическоепритяжение ядром.

Несмотря на это электроны не «падают» на ядро, а остаются вограниченном объеме атома. Это можно понимать так, что в атоме существуют как бы«силы отталкивания», которые удерживают электроны в состоянии равновесия. Условиеравновесия определяет некоторое среднее расстояние электрона от ядра, т.е. размерыатома.

С уменьшением этого расстояния, в соответствии с соотношениемнеопределенностей, возрастает импульс электрона, т.е. его кинетическая энергия. Этоприводит к возрастанию средней «силы отталкивания» электрона от ядра. Вместе с темуказанная картина имеет чисто квантовое происхождение и не связана с возникновениемкаких-то сил.Если частица находится в ящике размером l, то этим размером определяетсяместоположение частицы, т.е. x  l . По соотношению неопределенности p   / l , такчто энергия частицы E  ( p )2 / 2m   2 / 2ml 2 . Отсюда видно, что более точноеопределение местоположения частицы требует затрат энергии, которые возрастают суменьшением l.

Таким образом, чем в меньшей области локализована частица, тембольшей энергией она обладает. Например, электроны в атомах (размеры порядка 108 см)обладают энергией около 10 эВ, а нуклоны в ядрах (размеры порядка 1013 см) имеютэнергию порядка нескольких МэВ.Соотношения неопределенностей вызвали в свое время множество дискуссий иразличных толкований. Популярным было высказывание: электрон (и другиемикрочастицы) характеризуются определенными координатами и импульсами. Однакозаконы микромира, выражающиеся в соотношениях неопределенностей, запрещаютодновременно знать положение частицы и ее импульс сколь угодно точно. Такоесуждение приводит фактически к утверждению, что существует предел человеческогопознания (агностицизм), и оно совершенно не соответствует природе микрочастиц. Дляправильного понимания этих соотношений необходимо иметь в виду, что введениединамических характеристик частицы (материальной точки) – координаты и импульса – вклассической механике основано на многочисленных экспериментальных данных, и этихарактеристики являются понятиями макроскопическими.

С точки зрения физики нельзятребовать, чтобы эти понятия автоматически переносились в область микроскопическихмасштабов. Это следует из того, что микрочастицы обладают и корпускулярными, иволновыми свойствами. Поэтому нельзя говорить, например, что «импульс частицы вточке x равен р», потому что длина волны по своему определению не может бытьфункцией координаты, так что согласно соотношению (1.49) импульс тоже не можетзависеть от координат. Так же нельзя ответить на вопрос – какова частота колебаниймаятника в данный момент времени, поскольку по определению частоты надо проследитьза многими колебаниями маятника. Таким образом, макроскопические понятияклассической механики не могут дать адекватного описания микроскопических явлений.Поэтому соотношения неопределенностей выступают как объективная закономерность,которая устанавливает не предел нашего познания, а ограничения на применимостьклассических понятий координаты и импульса к описанию состояния микрочастицы.Количественно граница применимости классических представлений определяетсяпостоянной Планка.Различные проблемы, связанные с толкованием соотношения неопределенностей ис теорией познания в атомной физике, были предметом острых дискуссий Эйнштейна сБором.

В этих дискуссиях, в частности, обсуждались многочисленные мысленныеэксперименты, связанные с проверкой соотношения неопределенностей. Допустим, чтоможно указать эксперимент, который, может быть, не осуществим по техническимпричинам, но который позволял бы в принципеодновременноизмеритьположениеиимпульсмикрочастицы с любой точностью. Это означало бы тогда,что соотношения неопределенностей принципиальноошибочны, и что сама квантовая механика ошибочна.Однако самые хитроумные мысленные экспериментыпривели к подтверждению этих соотношений, и,следовательно,кподтверждениюлогическойнепротиворечивости квантовой механики.Рис.1.33Из множества таких экспериментов рассмотрим простейший:дифракция электронов на одной щели (рис.1.33).Факт возникновения дифракционной картины, которая изображена справа, означает, чтоэлектрон, падающий на щель слева, проходит сквозь эту щель. Если экран со щельюжестко закреплен, то ширина щели может служить мерой неопределенности положенияэлектрона в момент прохождения им щели.

Уменьшая ширину до сколь угодно малойвеличины, можно определить положение электрона в этот момент, в принципе, с любойстепенью точности. А каков импульс электрона в тот же момент времени? Возникновениедифракционной картины возможно лишь вследствие изменения направления движенияэлектрона при прохождении щели. Другими словами, вдоль оси х импульс электронаменяется на величину p x . Какова эта величина - точно сказать нельзя, так как электрон сопределенной вероятностью может попасть в любую точку на экране. Изменениеhимпульса можно оценить по формуле p x  p sin  sin , где  – длина волны деБройля.

Будем учитывать попадание электронов на регистрирующий экран только впределах главного дифракционного максимума. Тогда угол  характеризует направлениек первому дифракционному минимуму. Для этого необходимо, чтобы разность хода двухволн, дифрагированных от верхнего и нижнего краев щели, удовлетворяла условию:x sin   . Комбинируя последние две формулы, приходим к соотношению (1.73).Если мы хотим измерить с высокой точностью импульс электрона, то вместожестко закрепленного экрана со щелью необходимо взять очень легкий подвижный экрансо щелью. В этом случае в момент прохождения электроном щели по импульсу отдачиможно, в принципе, определить сколь угодно точно импульс электрона.

Характеристики

Список файлов лекций