Atomnaya_fizika_Lektsii_Milantyev_chast1 (846371), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Если же магнитные моменты атомовимеют определенные направления в пространстве, то пучок долженрасщепиться на несколько частей.Рис.2.21Трудности эксперимента: надо было иметь сильно неоднородное магнитное поле.Его характерный масштаб неоднородности должен быть сравним с атомными размерами(рис.2.22). Вблизи нижнего лезвиеобразного полюса и сразу над ним магнитное поле Bимеет наибольшуювеличину, а направлениеградиентаBzсовпадаетснаправлениемвектора B .

Атом с массой m a , движущийсяпараллельно лезвию непосредственно над ним,под действием средней силы (2.67б) приобретает ускорение a  Fz / ma в направленииградиента B / z , который перпендикулярен направлению движения атома. Если атомпроходит область магнитного поля за время t, то он отклоняется от первоначальногонаправления на величину z  at 2 / 2 .

Время прохождения атомом равно t  b / v , где b –длина магнитных полюсов, v – средняя скорость движения атома. Таким образом,величина отклонения атома в неоднородном магнитном поле: z 2 B.(2.67в)zb2ma v 2 zПо оценкам отклонение атомов должно быть около 0,01мм. Измеряя на опыте этоотклонение и зная другие величины, из (2.67в) можно определить величину  z . Еечисленное значение оказалось равным магнетону Бора.В качестве рабочего вещества Штерн и Герлах использовали серебро, котороеиспарялось в электрически нагреваемой печке (рис.2.23).

Кинетическая энергия атомовсеребра определялась температурой около 1000 К. При такой энергии энергетическоесостояние атомов не изменялось. Пучок атомов выходил сквозь круглое отверстие Аплощадью 1 мм 2 . С помощью диафрагм D1 , D2 выделялся пучок, сечение которого непревышало предполагаемую величину отклонения. Система отверстий юстироваласьтаким образом, чтобы пучок шел параллельно острию лезвия.

Длина полюсов была 3,5 см.Использовалось магнитное поле B  103 Э, при градиенте B / z  104 Э/см. Опытпроводился в вакууме, чтобы избежать рассеяния пучка на молекулах остаточного газа.Пучок атомов после прохождения между полюсами магнита осаждался на стекляннойпластинке Р в течение 8 часов.Результаты опыта Штерна и Герлаха показали, что пучок атомов серебрарасщепляется на две компоненты (рис.2.21,б. На рис.2.24 показанрезультат расщепления атомов лития).

В этом авторы видели«прямое экспериментальное доказательство квантования вмагнитном поле». Они основывались на существовавшей в тоРис.2.24время теории Бора, которую обобщил Зоммерфельд. По этой теориивеличина вектора момента импульса  должна быть целой кратнойпостоянной  , причем нулевое значение исключалось. Считалось, что в основномсостоянии атома серебра величина    , а число проекций момента импульса навыделенную ось, по Зоммерфельду, равно двум:  z    . Это, казалось, и подтверждаетсяопытом Штерна и Герлаха.

Между тем этот вывод является неправильным, так какнеправильными были теоретические представления Зоммерфельда. На это впервыеуказали Эйнштейн и Эренфест (1922). Основным состоянием атома серебра, как и атомовлития, является s–состояние, для которого орбитальное квантовое число   0 . Такжеосновным является s–состояние для атома водорода и атомов щелочных металлов.

Опытыс пучками этих атомов тоже приводят к расщеплению на две компоненты. Но в s–состоянии магнитный момент атомов, связанный с орбитальным движением электронов,отсутствует. Следовательно, никакого расщепления пучка указанных атомов не должнобыло бы происходить. Наблюдающееся на опыте расщепление означает, что онообусловлено не орбитальным движением электронов, а какими-то другими причинами.Правильное истолкование результатов опыта Штерна и Герлаха связано с важнейшимсвойством электрона – с его спином.Для объяснения опытов Штерна и Герлаха Уленбек и Гаудсмит в 1925 г.выдвинули гипотезу о том, что электрон обладает собственным механическиммоментом импульса s , который называется спином (Spin – кружение, верчение).

Спин,как и всякий механический вектор момента импульса, обладает теми же общимисвойствами, что и вектор момента импульса орбитального движения:2(2.68)s   2 s(s  1), sz  ms .Здесь s – спиновое квантовое число, m s – магнитное спиновое квантовое число,которое принимает 2s+1 значений. С собственным механическим моментом импульсаэлектрона связан магнитный момент  sz . Согласно опытам Штерна и Герлаха, числопроекций магнитного спи-нового момента  sz равно двум, т.е.2s + 1 = 2.(2.68a)Отсюда следует, что спиновое квантовое число имеет полуцелое значение:11s  , ms   .(2.68б)22Часто спиновое квантовое число s также называют спином.Из опытов Штерна и Герлаха следует, что величина спинового магнитного моментаравна магнетону Бора sz   B .(2.69)Отсюда гиромагнитное отношение sz  Be.(2.69а)2szms 2mecТаким образом, отношение магнитного спинового момента к спину в два раза большегиромагнитного отношения (2.65).Спин, наряду с зарядом и массой, относится к числу фундаментальныххарактеристик электрона.

Но спин не является исключительным свойством электрона.Спином характеризуются все частицы микромира, при этом спиновое квантовое числоможет быть различным. Существуют частицы, для которых спиновое квантовое числоявляется полуцелым. Это – электрон, протон, нейтрон и др. - фермионы. Есть частицы сцелым спином, включая нуль - бозоны. Например, спин фотона равен единице, спинальфа–частицы равен нулю и т.д.Все однотипные частицы, например, электроны одинаковы. Они характеризуютсяодной и той же величиной заряда, массы и спина. Однако классические и квантовыепредставления об одинаковых частицах существенное различаются.

В классическоймеханике одинаковые частицы можно отличить друг от друга по начальным значениям ихдинамических переменных – координат и импульсов. Поэтому каждую частицу можно,образно говоря, пронумеровать, т.е. приписать ей индивидуальное свойство. По законаммеханики можно, в принципе, далее проследить за каждой отдельной частицей иопределить ее динамические переменные в любой момент времени. По квантовымпредставлениям это принципиально невозможно.

Если в начальный момент времениточно задать координаты каждой частицы и пронумеровать их, то импульсы частицявляются неопределенными. Поэтому в следующий момент времени невозможно указать,где частицы будут находиться и, значит, невозможно отличить их друг от друга. Если вначальный момент точно задать импульсы частиц, то их местоположение являетсясовершенно неопределенным, так что им нельзя приписать каких-либо индивидуальныхсвойств.

Все это связано с тем, что не существует понятия траектории квантовых частиц.Рассмотрим систему двух одинаковых частиц. Пусть  (1,2) – волновая функция,описывающая состояние этой системы. Индекс 1 означает совокупность координат испиновой переменной первой частицы, 2 – то же для второй частицы, при этомпеременная спина указывает значение проекции спина на выбранное направление в2пространстве. Величина  ( 1,2 ) имеет смысл плотности вероятности того, что перваячастица характеризуется переменными 1, а вторая – переменными 2. Очевидно, плотностьвероятности не изменится, если частицы поменять местами, т.е. первой частице приписатьпеременные 2, а второй частице – переменные 1:22 ( 1,2 )   ( 2,1 ) .(2.70)Результат взаимного обмена переменными двух микрочастиц нельзя обнаружить вэксперименте, одинаковые микрочастицы нельзя отличить друг от друга.

Они являютсятождественными, совершенно неотличимыми друг от друга.Взаимный обмен переменными частиц означает, что волновая функция подверженапреобразованию под действием некоторого оператора - оператор перестановок(обменный оператор): P̂ik . В случае двух частиц: Pˆ12 (1,2)   (2,1) . При повторномдействии этого оператора восстанавливается первоначальная волновая функция:Pˆ12 Pˆ12 (1,2)  Pˆ12 (2,1)   (1,2) .По общим правилам: Pˆ12 (1,2)  P12 (1,2) .

Действуя еще раз оператором P̂12 , получаем:P122  (1,2)   (1,2) , т.е. P12  1 . Это значит, что существуют симметричные иантисимметричные волновые функции относительно перестановки их аргументов.Волновые функции симметричны, если(2.71) (1,2)   (2,1) .Волновые функции антисимметричны, если(2.72) (1,2)   (2,1) .Аналогично записываются волновые функции в случае многих частиц. Свойствасимметрии волновой функции сохраняются со временем, т.е.

система все время находитсялибо в симметричном, либо в антисимметричном состоянии. Это вытекает из того, чтооператор Гамильтона не изменяется при перестановке частиц и обменный операторкоммутирует с оператором Гамильтона (см. задачу). Сохранение свойства симметриисистемы частиц позволяет считать, что симметрия определяется свойствами самих частиц,которые составляют эту систему. Свойство симметрии системы, состоящей изтождественных сложных частиц, определяется полным спином сложной частицы.Паули показал, что свойства симметрии волновых функций тесно связаны соспином частиц и с типом статистики, описывающей термодинамически равновесныесистемы частиц.

Симметричные волновые функции описывают состояния частиц с целымспином – бозонов. Эти частицы подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна (1924).Антисимметричные волновые функции описывают состояния частиц с полуцелым спином– фермионов. Они подчиняются статистике Ферми – Дирака (1926).Допустим, что частицы не взаимодействуют друг с другом. Тогда уравнениеШредингера для волновой функции системы двух частиц распадается на два одинаковыхуравнения для волновой функции каждой из частиц:  i1 ( 1 ) и  i2 ( 2 ) .

Нижние индексыобозначают набор квантовых чисел состояний, в которых могут находиться частицы. Попредположению, частицы независимы друг от друга: i1 i2 ( 1 )( 1,2 )   i1 ( 1 )  i2 ( 2 ) .(2.73а)По принципу тождественности микрочастиц другую волновую функцию: i1 i2 ( 2 ) ( 1,2 )   i1 ( 2 ) i2 ( 1 ) .(2.73б)Функции  i1 i2 ( 1 ) и  i1 i2 ( 2 ) решения уравнения Шредингера.

В силу его линейности: i1 i2 ( 1,2 )    ( 1 ) ( 1,2 )    2 ) ( 1,2 ) .(2.73) ,  – постоянные нормировки. Если    , то функция (2.73) симметрична: S ( 1,2 )    i1 ( 1 )  i2 ( 2 )  i1 ( 2 ) i2 ( 1 ) .(2.74)Если    , то функция (2.73) – антисимметрична: A ( 1,2 )    i1 ( 1 )  i2 ( 2 )  i1 ( 2 ) i2 ( 1 ) .(2.75)Антисимметричную волновую функцию (2.75) можно представить в виде: i ( 1 )  i1 ( 2 ). А ( 1,2 )   1 i2 ( 1 )  i2 ( 2 )(2.75a)В случае системы N фермионов волновая функция представляется в виде аналогичногоопределителя. Система N невзаимодействующих бозонов описывается волновой функцией S    i1 ( 1 ) i2 ( 2 ) i N ( N ) , где суммирование ведется по всем возможнымpперестановкам частиц.Частицы с полуцелым спином, в частности, электрон, описываютсяантисимметричной волновой функцией.

Характеристики

Список файлов лекций