Atomnaya_fizika_Lektsii_Milantyev_chast1 (846371), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Это - общая формулировка принципа запрета,или принципа исключения Паули. Частные формулировки этого принципа открылПаули в 1925 году при изучении эмпирических закономерностей в атомных спектрах ещедо введения в теорию представлений о спине и до построения волновой механикиШредингера. Согласно принципу Паули – два электрона в атоме никогда не могутобладать одинаковым набором четырех квантовых чисел.Принцип Паули является одним из фундаментальных законов природы, но онотносится только к фермионам. Бозоны, например, фотоны,  –мезоны или альфа–частицы принципу Паули не подчиняются.Спонтанные и вынужденные переходы.

Коэффициенты Эйнштейна.Правила отбораВозбужденный атом по истечении некоторого времени освобождается от излишкаэнергии с помощью испускания фотона. Это излучательные переходы. Существуюттакже безызлучательные переходы. Излучение отдельным возбужденным атомомпроисходит независимо от других атомов в разные моменты времени. Поэтому можноговорить о среднем времени жизни атома в возбужденном состоянии. Переходывозбужденных атомов с излучением происходят «сами собой». Это спонтанные, илисамопроизвольные переходы.

Излучение атомов при спонтанных переходах являетсянекогерентным. Характерное время жизни атома в возбужденном состоянии 107  109 с. Ватомных масштабах это довольно большое время. Оно на много порядков больше периодаколебаний излучения атома. Например, в оптическом диапазоне частота излучения 1014 Гц(период – 10 14 с). Поэтому возбужденные состояния можно рассматривать какстационарные.Существуют также вынужденные переходы, которые происходят под действиемвнешнего поля.

В этом случае атомы поглощают энергию поля, переходя в возбужденноесостояние, или вынужденно излучают, переходя в состояние с меньшей энергией. Еслиточно известно, что в начальный момент времени атом находится в некотором состоянии2с энергией E n , то вероятность этого события равна 1, т.е. величина an ( 0 )  1 . Подвлиянием внешнего поля атом совершит переход в другое состояние с энергией E m .Вероятность того, что в момент времени t атом будет находиться в этом состоянии,2определяется величиной am ( t ) , которая таким образом характеризует вероятностьперехода из состояния n в состояние m. С такими вероятностями связаны коэффициентыЭйнштейна, играющие важную роль в теории излучения.

Последовательное вычислениевероятностей перехода (и коэффициентов Эйнштейна) проводится с помощью решенияуравнения Шредингера по теории возмущений. Ограничимся нестрогим подходом.Рассмотрим два состояния атома с энергиями Em и En (при Em  En ) (рис.2.27).Вводится вероятность спонтанного перехода в единицу времени Amn из состояния m всостояние n . Величина Amn имеет смысл среднего числа актовизлучения в единицу времени, приходящихся на один атом.Допустим, что в момент времени t в состоянии E m находитсяN m (t ) атомов, образующих разреженный газ. За время dtРис.2.27произойдет dzmn  Amn N m dt переходов в состояние En . Величинаdz m n определяет уменьшение числа атомов, находившихся в момент времени t всостоянии E m :  dNm  Amn N m dt .

Решение этого уравнения:(2.76)N m ( t )  N m ( 0 )e  Amnt .Величина dNm / N m (0) есть мера вероятности спонтанного перехода атомов за время dt.Среднее время такого перехода (среднее время жизни атома в возбужденном состоянииm):dNm1m  t Amn  te  Amnt dt .(2.77)N m (0)Amn00Таким образом, Amn  1 /  m . Интенсивность излучения согласно (2.76) уменьшается современем по закону:J m (t )  J m (0) exp(t /  m ) .(2.77а)Если атом, находящийся в состоянии E n , помещен во внешнее электромагнитноеполе с частотой  , то он поглощает энергию поля при совпадении этой частоты счастотой mn  ( Em  En ) /  и переходит в возбужденное состояние E m . Пусть   –спектральная плотность энергии электромагнитного излучения. Вводят величинуW nm Bnm  .(2.78)Это - вероятность поглощения излучения атомом в единицу времени.Наряду с процессом поглощения, в результате которого происходит переходn  m , существует обратный процесс – вынужденное, стимулированное, илииндуцированное испускание при переходе m  n под воздействием внешнегоэлектромагнитного поля, частота которого равна частоте перехода.

Такой процессхарактеризуется величинойWmn  Bmn  .(2.78а)Это - вероятность индуцированного излучения в единицу времени. Amn , Bmn , Bnm коэффициенты Эйнштейна. Коэффициенты Эйнштейна связаны соотношениями:g n Bnm  g m Bmn ,(2.79)3mngn(2.79а)B .2 3 c g m nmКоэффициент g n (или g m ) - статистический вес, или кратность вырождения n -го (илиm -го) состояния.Вычисление вероятностей перехода (коэффициентов Эйнштейна) проводитсяпоследовательно по правилам квантовой механики. Однако окончательные результатыможно получить с помощью простых полуклассических рассуждений.

Электроны иположительное ядро представляют собой электрически нейтральную систему зарядов.Согласно классической электродинамике поле ограниченной электрически нейтральнойсистемы движущихся зарядов можно представить в виде суммы полей мультиполей:–Amn поле электрического диполя, поле электрического квадруполя и магнитного диполя и т.д.Разложение поля излучающей системы зарядов по мультиполям возможно, если линейныйразмер этой системы r0 мал по сравнению с длиной волны излучения  :r0 r0 1 .(2.80)cПоля электрического квадруполя и магнитного диполя в r0 /  раз меньше поляэлектрического диполя. В случае излучающего атома величина r0 определяется размерамиатома: r0  108 см.

В оптическом диапазоне длина волны   104 105 см. Такимобразом, для оптического диапазона r0 /   104  103  1. Основной тип излучениявозбужденного атома - электрическое дипольное излучение. Мощность излученияэлектрического диполя (энергия, излучаемая диполем в единицу времени),колеблющегося с частотой  , описывается формулой:4 4  2I  3 (d ) ,(2.81)3cгде d  er – электрический дипольный момент.

При спонтанном переходе за среднеевремя жизни атома  высвечивается фотон с энергией  . Следовательно, мощностьизлучения равна:I.(2.81а)Из сравнения (2.81) и (2.81а):1 4 3 (er ) 2.(2.82)3c 3К такому же результату можно прийти с помощью строгого квантово–механическогорасчета. При этом под  надо понимать  m , а под er – матричный элемент дипольногомомента:(er )mn  ixexmn  iy eymn  iz ezmn ,  где ix , iy , iz – единичные векторы декартовой системы координат.

Таким образом,вероятность спонтанного излучения в единицу времени:321 4mne2 rmn.(2.83)Amn m3c3Здесь2222.(2.83а)rmn xmn ymn zmnМатричный элемент xmn - среднее значение величины x при переходе из состояния m всостояние n :(2.84)xnm   n0 x m0 dV ,0где  m, n0 – собственные волновые функции атома в стационарных состояниях n, m .Если n  m , то xnn - среднее значение величины x (аналогично для переменных y, z ) всобственном состоянии  n .Оценим среднюю величину дипольного момента в случае оптического излучения(   108 с, частота   1014 Гц).

Тогда d 2  2 1030 СГС. Если такой же порядок (илименьше) дипольного момента сохраняется и в радиочастотном диапазоне (   1010 Гц), тосреднее время жизни атома оказывается очень большим:   104 с, а вероятностьспонтанного перехода Amn  104 c-1. Это значит, что в радиочастотном диапазонеспонтанное излучение не имеет большого значения.Согласно (2.83) вероятности излучательных переходов определяются значениямиматричных элементов. Если эти элементы равны нулю, то равна нулю вероятностьпереходов - такие переходы не осуществляются. Они называются запрещенными.Матричные элементы отличны от нуля лишь при определенных ограничениях наизменение квантовых чисел при переходах из одного состояния в другое.

Этиограничения называют правилами отбора.Матричныеэлементыдипольныхпереходов вычисляются по формуле (2.84), если известны собственные волновыефункции. Для линейного гармонического осциллятора собственные функцииописываются формулой (2.44). Вычисления приводят к следующему результату:квантовое число n , определяющее состояния осциллятора, при переходах можетизменяться лишь на ±1:(2.85)n  n  n  1 .По формуле (2.43) частота перехода равна частоте классического осциллятора:E  En nn   n ( n  n )   ,(2.85а)Для ротатора собственные функции определяются формулой (2.57). Состоянияквантового ротатора описываются квантовыми числами  , m . При переходах из состояния , m в состояние , m правила отбора: для изменения орбитального квантовогочисла:(2.86)      1,для изменения магнитного квантового числа:m  m  m  0,  1 .(2.87)Эти правила определяют также поляризацию излучения.Возможные изменения состояний ротатора связаны с законом сохранениячетности.

Инверсии r  r в сферической системе координат ( r , , ) соответствуетпреобразование:r  r,      ,     .(2.89)При таком преобразовании в волновых функциях состояний ротатора (2.57) происходятизменения: e im  ( 1 ) m e im , cos   cos . Согласно (2.56а): P (  )  ( 1 ) P (  ) ,так что Pm (  )  ( 1 )  m Pm (  ) . Таким образом, волновая функция при инверсиипреобразуется по закону: m (    ,   )  ( 1 ) m (  , ) .Отсюда следует, что четность состояний ротатора определяется значением орбитальногоквантового числа  . Если  – четное число, то состояние четно.

Если  – нечетное число,то состояние – нечетно.Матричные элементы определяются интегралами вида  F ( x, y, z )dxdydz всимметричных пределах от   до   . Интеграл отличен от нуля, если функцияF ( x, y, z ) – четная. Если она нечетная, то интеграл обращается в нуль. При дипольныхпереходах матричные элементы вычисляются по формуле (2.84). Подынтегральная0функция x n0* mдолжна быть четной.

Величина x меняет свой знак при инверсии.0* 0Произведение  n  m также должно быть нечетной функцией. Таким образом, возможныпереходы m  n лишь между состояниями с различной четностью. Это – правилоЛапорта. Так как четность определяется значениями орбитального квантового числа, тоотсюда следует правило (2.86). Дипольные переходы при   0 или   2 являютсязапрещенными.Вероятность квадрупольных переходов определяется матричными элементами:(2.90)(Q ) mn   Q n0* m0 dV ,r2  ) – квадрупольный электрический момент - четная функция3координат.

В этом случае осуществляются переходы между состояниями с одинаковойчетностью. Правило отбора при квадрупольных переходах:   0,2 . При этомпереходы с   1 запрещены.Указанные правила отбора не всегда строго выполняются: наблюдаютсяспектральные линии, связанные с запрещенными переходами.где Q  e( x x Ширина и форма спектральных линий.Вспомним соотношение неопределенностей между энергией и временем:tE   / 2 .

Характеристики

Список файлов лекций