Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ÒàêèìP∞îáðàçîì, â ýòîì ïðèìåðå Tan = S è ìåòîä ñóììèn=1ðîâàíèÿ T , åñòåñòâåííî, ñîâïàäàåò ñ îáû÷íîé ñõîäèìîñòüþ.Îäíàêî íàäî èìåòü â âèäó, ÷òî åñòü è äðóãèå ìåòîäû ñóììèðîâàíèÿ, à ñõîäèìîñòü âñåãî ëèøü îäèí èç íèõ.2. Ëþáîìó ðÿäó ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî 0, òî åñòüP∞â ýòîì ïðèìåðå Tan = 0 è ìåòîä ñóììèðîâàíèÿ ïðèn=1ìåíèì ê ëþáîìó ðÿäó.3. Ëþáîìó ðÿäó ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî 1, òî åñòüP∞â ýòîì ïðèìåðå Tan = 1 è ìåòîä ñóììèðîâàíèÿ òàêæån=1ïðèìåíèì ê ëþáîìó ðÿäó.4. Ìåòîä ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ . Äëÿ ðÿäàäÿòñÿ ÷àñòè÷íûå ñóììû Sn =nP∞Pan ââî-n=1ak , èõ ñðåäíèå àðèôìå-k=1òè÷åñêèå σn =S1 + S2 + · · · + Snè ðåçóëüòàòîì ïðèìåíån734. Ñóììèðîâàíèå ðÿäîâíèÿ ìåòîäà T íàçûâàåòñÿ ïðåäåë σ = lim σn (÷èñëî èëèn→∞êàêîé-ëèáî èç áåñêîíå÷íûõ ñèìâîëîâ), åñëè ýòîò ïðåäåë èìåP∞åò ñìûñë. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ïðèìåðå Tan = σ .n=1Îïðåäåëåíèå ìåòîäà ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ, íàçûâàåìîãî òàêæå ìåòîäîì (H, 1), äà¼ò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü íàåãî îñíîâå äðóãèå ìåòîäû ñóììèðîâàíèÿ.
Íàïðèìåð, ìîæíî íàéòè ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõσ1 + σ2 + · · · + σnè íàéòè ïðåäåë τ = lim τn (ýòîτn =n→∞nóæå áóäåò ìåòîä (H, 2)), ïîëó÷èòü ìåòîä (H, 3) è òàê äàëåå.Îáû÷íóþ ñõîäèìîñòü òîãäà ìîæíî íàçâàòü ìåòîäîì (H, 0)1 .Ìîæíî ââîäèòü â ðàññìîòðåíèå è êàêèå-òî èíûå ìåòîäûñóììèðîâàíèÿ2 . Ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ áóäåòñäåëàíî îòñòóïëåíèå (ñì. íèæå, ñ.
106), ïîêàçûâàþùåå, êàêèì îáðàçîì ìîæíî ïðèïèñàòü ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (÷èñëîâîìó ðÿäó) îáîáù¼ííóþ âåëè÷èíó ïðåäåëà (îáîáù¼ííóþ ñóììó ðÿäà).Ìåòîä ñóììèðîâàíèÿ T íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì , åñëè èç∞∞PPïðèìåíèìîñòè åãî ê äâóì ðÿäàìan èbn , îáîáù¼ín=1n=1PP∞∞íûå ñóììû êîòîðûõ Tan = A è Tbn = B êîn=1n=1íå÷íûå ÷èñëà, ñëåäóåò ïðèìåíèìîñòü ýòîãî ìåòîäà ê ðÿäàì∞∞PP(αan +βbn ) äëÿ ëþáûõ α è β , ïðè÷¼ì T(αan +βbn ) =n=1= αA + βB .1 Ìîæíîn=1îáîáùèòü ïîíÿòèå ìåòîäîâ (H, α) íà ñëó÷àé íå îáÿçàòåëüíîçíà÷åíèé α.2  ÷àñòíîñòè, îäèí èç ìåòîäîâ ñóììèðîâàíèÿ áóäåò ïðåäëîæåí äëÿðàññìîòðåíèÿ ñðåäè âîïðîñîâ äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.íàòóðàëüíûõ74I.
×èñëîâûå ðÿäûÌåòîä ñóììèðîâàíèÿ T íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì , åñëè îíïðèìåíèì ê ëþáîìó ñõîäÿùåìóñÿ (ê êîíå÷íîé ñóììå) ðÿ∞Päóan , ïðè÷¼ì îáîáù¼ííàÿ ñóììà ðÿäà ñîâïàäàåò ñ îáû÷n=1P∞∞Píîé, òî åñòü åñëèan = S , òî Tan = S .n=1n=1Ðåãóëÿðíûé ìåòîä ñóììèðîâàíèÿ T íàçûâàåòñÿ âïîëíååñëè îí ïðèìåíèì ê ëþáîìó ðàñõîäÿùåìóñÿ∞Pê +∞ èëè ê −∞ ðÿäóan , ïðè÷¼ì îáîáù¼ííàÿ ñóììàðåãóëÿðíûì ,n=1ðÿäà ñîâïàäàåò ñ îáû÷íîé, òî åñòü åñëèP∞òî Tan = +∞ (−∞).∞Pan = +∞ (−∞),n=1n=14.2. Ðåãóëÿðíîñòü è ïîëíàÿ ðåãóëÿðíîñòü ìåòîäà ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõÏðèìåíèì ýòè ïîíÿòèÿ (ëèíåéíîñòü, ðåãóëÿðíîñòü, ïîëíàÿ ðåãóëÿðíîñòü) ê ìåòîäàì ñóììèðîâàíèÿ, êîòîðûå ââåäåíû â ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðàõ.1.
Î÷åâèäíî, ÷òî ñõîäèìîñòü ëèíåéíûé âïîëíå ðåãóëÿðíûé ìåòîä.2. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò ìåòîä ëèíåéíûé, íî íåðåãóëÿðíûé.3. Çäåñü î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò ìåòîä íå ÿâëÿåòñÿ íè ëèíåéíûì, íè ðåãóëÿðíûì.4. Ìåòîä ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿëèíåéíûì. Îí òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì è äàæå âïîëíåðåãóëÿðíûì. ×òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, äîêàæåì äâå òåîðåìû.Ò å î ð å ì à 4.1.
Ìåòîä ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ ðåãóëÿðåí.754. Ñóììèðîâàíèå ðÿäîâÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.ëó S :∞PÏóñòü ðÿä∞Pan ñõîäèòñÿ ê ÷èñ-n=1an = S . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäåë ÷àñòè÷íûõ ñóììn=1lim Sn = S , òî åñòü äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N1 ,n→∞òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N1 àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |Sn − S| <ε< . Îáîçíà÷èì M = max |Sk − S| è âûáåðåì íîìåð N216k6N12M N1εòàê, ÷òî< . Íî òîãäà äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N =N22= max(N1 , N2 ) èìååì S1 + · · · + SN1 + SN1 +1 + · · · + Sn− S =|σn − S| = n S1 − S + · · · + SN1 − S + SN1 +1 − S + · · · + Sn − S 6= n|S1 − S| + · · · + |SN1 − S| |SN1 +1 − S| + · · · + |Sn − S|+<nnε(n − N1 )M N1+ 2.<nnε ïîñëåäíåé ñóììå ïåðâîå ñëàãàåìîå ìåíüøå , òàê êàê2εíîìåð n > N2 , à âòîðîå ñëàãàåìîå íå ïðåâîñõîäèò , ïî2n − N1ñêîëüêó6 1.
Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿníîìåð N , òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N àáñîëþòíàÿ âåëè÷èεíà |σn − S| < , òî åñòü lim σn = S . Òåîðåìà äîêàçàíà.n→∞2Ò å î ð å ì à 4.2. Ìåòîä ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ âïîëíåðåãóëÿðåí.676I. ×èñëîâûå ðÿäûÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Êàê óæå îòìå÷àëîñü ðàíåå, ìåòîäñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ ëèíååí, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî óñòà∞Píîâèòü, ÷òî åñëè ðÿäan ðàñõîäèòñÿ ê +∞, òî îí è ñóììèn=1ðóåòñÿ ê +∞. Èòàê, ïóñòü ïðåäåë ÷àñòè÷íûõ ñóìì lim Sn =n→∞= +∞, òî åñòü äëÿ ëþáîãî M > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N1 , òàêîé,÷òî äëÿ âñåõ n > N1 ÷àñòè÷íàÿ ñóììà Sn > 2M .
Îáîçíà÷èì m = max |Sk | è âûáåðåì íîìåð N2 òàê, ÷òî îòíîøå16k6N1N1 (m + 2M )< M . Íî òîãäà äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N =N2= max(N1 , N2 ) èìååìíèåσn =S1 + · · · + SN1 + SN1 +1 + · · · + Sn>n2M (n − N1 ) mN1SN1 +1 + · · · + Sn mN1−>−=nmnn(M + 2m)N1(M + 2m)N1= 2M −> 2M −= 2M − M = M,nn>òî åñòü äëÿ ëþáîãî M > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , òàêîé, ÷òîäëÿ âñåõ n > N âåëè÷èíà σn > M , òî åñòü lim σn = +∞.Òåîðåìà äîêàçàíà.n→∞Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ ñóììèðóåò ëþáîé ðÿä, ñóììà S êîòîðîãî ëèáî êîíå÷íîå ÷èñëî, ëèáî +∞ èëè −∞, ê òîé æå ñàìîé ñóììå.
Íî íåêîòîðûå ðàñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ýòîò ìåòîä òàêæå ñóììèðóåò. Ðàññìîòðèìðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä (ýòî ïåðåîáîçíà÷åííûé ðÿä (1.6)):∞X(−1)n−1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · .n=1(4.1)774. Ñóììèðîâàíèå ðÿäîâÒàê êàê åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû Sn =1, n = 2m − 1, m ∈ N,0, n = 2m,m ∈ N,m, n = 2m − 1, m ∈ N,S1 + S2 + · · · + Sn2m − 1=òî σn =n 1,n = 2m,m ∈ N,21à òàê êàê lim σn = , òî ðÿä (4.1) ñóììèðóåòñÿ ìåòîäîìn→∞21ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ ê îáîáù¼ííîé ñóììå σ = . Ðàçó2ìååòñÿ, èìåþòñÿ è ðÿäû, íå ñóììèðóåìûå ìåòîäîì ñðåäíèõàðèôìåòè÷åñêèõ. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ðÿä∞X(−1)n−1 n = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · .(4.2)n=1m, n = 2m − 1, m ∈ N,Òà−m, n = 2m,m ∈ N.êèì îáðàçîì, ðÿä (4.2) ðàñõîäèòñÿ ê ∞, ïðè÷¼ì ýòó áåñêîíå÷íîñòü áåç çíàêà íåëüçÿ îòîæäåñòâèòü íè ñ +∞, íè m , n = 2m − 1, m ∈ N,ñ −∞.
Çäåñü σn = 2m − 1ïîýòîìó 0,n = 2m,m ∈ N,Åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû Sn =ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {σn } íå èìååò ïðåäåëà ( lim σ2m−1 =m→∞1= , lim σ2m = 0), òî åñòü ðÿä (4.2) íå ñóììèðóåòñÿ ìåòî2 m→∞äîì ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ (ìåòîäîì (H, 1)). Ìîæíî ïî1êàçàòü, ÷òî ýòîò ðÿä ñóììèðóåòñÿ ìåòîäîì (H, 2) ê , íî4ìû íå áóäåì íà ýòîì îñòàíàâëèâàòüñÿ. Îòìåòèì ëèøü, ÷òîðÿä (4.2) ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì òîãî, ÷òî íå âñÿêèé ëèíåéíûéâïîëíå ðåãóëÿðíûé ìåòîä ñóììèðóåò ê ∞ ðÿäû, ðàñõîäÿùèåñÿ ê ∞ (ìåòîäîì (H, 1) îí âîîáùå íå ñóììèðóåòñÿ, àìåòîäîì (H, 2) ñóììèðóåòñÿ ê êîíå÷íîìó ÷èñëó).78I. ×èñëîâûå ðÿäûÍå âñå ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ ïåðåíîñÿòñÿ íà ìåòîäû ñóììèðîâàíèÿ (äàæå åñëè îãðàíè÷èòüñÿ, åñòåñòâåííî,ëèíåéíûìè âïîëíå ðåãóëÿðíûìè ìåòîäàìè). Òàê, åñëè â ñõîäÿùèéñÿ ðÿä äîáàâèòü íóëè, òî ðÿä îñòàíåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ,ïðèòîì ê òîé æå ñóììå.
Èíà÷å ìîæåò îáñòîÿòü äåëî äëÿðàñõîäÿùèõñÿ, ïóñòü è ñóììèðóåìûõ ðÿäîâ. Äåéñòâèòåëüíî,äîáàâèì â ðÿä (4.1) íóëè, ïîñòàâèâ èõ ïîñëå êàæäîé ïàðûñëàãàåìûõ +1 − 1:1 − 1 + 0 + 1 − 1 + 0 + 1 − 1 + 0 + 1 − 1 + 0 + ··· .(4.3)Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ýòîãî ðÿäà ñðåäíèå àðèôìåòè m, n = 3m − 2, m ∈ N,3m − 2 m, n = 3m − 1, m ∈ N, òî åñòü lim σn =÷åñêèå σn =3m − 1n→∞ 1,n = 3m,m ∈ N,31= , ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (4.3) ñóììèðóåòñÿ ìåòîäîì (H, 1)311ê îáîáù¼ííîé ñóììå σ = 6= .32Òàêæå îòìåòèì, ÷òî â ðÿä (4.1) ìîæíî òàê äîáàâèòü íóëè, ÷òî ïîëó÷åííûé ðÿä âîîáùå ïåðåñòàíåò ñóììèðîâàòüñÿìåòîäîì ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ.4.3.
Îáîáù¼ííàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûõèíòåãðàëîâÇàêàí÷èâàÿ ýòîò ïàðàãðàô, îòìåòèì, ÷òî ïî àíàëîãèè ññóììèðîâàíèåì ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ìîæíî ââåñòè îáîáù¼ííóþñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ è äëÿ íå¼ îïðåäåëèòü794. Ñóììèðîâàíèå ðÿäîâëèíåéíîñòü, ðåãóëÿðíîñòü, ïîëíóþ ðåãóëÿðíîñòü. Ìû íå áóäåì äàâàòü èõ òî÷íûõ îïðåäåëåíèé, à ëèøü âûïèøåì ôîðìóëû, ñîîòâåòñòâóþùèå ìåòîäó ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ+∞Rf (x) dx, ó êîòîðîãî +∞ åäèíñòâåííàÿäëÿ èíòåãðàëàaîñîáàÿ òî÷êà. Èòàê, ïóñòü èìååòñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë+∞R(4.4)f (x) dx.aÐàññìîòðèì ôóíêöèþ F (x) =Rxf (t) dt. Âåëè÷èíó ïðåäåëàa1 RxF (t) dt, åñëè ýòî èëè êîíå÷íîå ÷èñëî, èëè +∞,x→+∞ x − a aèëè −∞, íàçîâ¼ì îáîáù¼ííûì çíà÷åíèåì íåñîáñòâåííîãîèíòåãðàëà (4.4). Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå ñõîäèìîñòèlimíåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà (4.4) èëè â ñëó÷àå åãî ðàñõîäèìîñòè ê +∞ (ê −∞) åãî îáîáù¼ííîå çíà÷åíèå ñîâïàäàåò ñ ïðåäåëîì lim F (x), òî åñòü îáû÷íûì çíà÷åíèåì ýòîãî íåñîáx→+∞ñòâåííîãî èíòåãðàëà.
Îäíàêî îáîáù¼ííîå çíà÷åíèå ìîæåòñóùåñòâîâàòü è â òîì ñëó÷àå, êîãäà èíòåãðàë (4.4) ðàñõî+∞Räèòñÿ . Íàïðèìåð, äëÿ ðàñõîäÿùåãîñÿ èíòåãðàëàsin x dxèìååì, ÷òî F (x) =Rx0sin t dt = 1 − cos x, è ïîýòîìó âåëè-0÷èíà ïðåäåëàlimx→+∞1 RxF (t) dt =x0limx→+∞1 Rx(1 − cos t) dt =x0x − sin x= 1. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî îáîáù¼íx+∞Ríîå çíà÷åíèå ðàñõîäÿùåãîñÿ èíòåãðàëàsin x dx ðàâíî 1.=limx→+∞080I. ×èñëîâûå ðÿäûÑîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî îáîáù¼ííîå+∞Rcos x dx ðàâíî 0.çíà÷åíèå ðàñõîäÿùåãîñÿ èíòåãðàëà04.4. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû1. Ïðîñóììèðîâàòü ðÿä (4.2) ìåòîäîì (H, 2).2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
