Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Âîçüåò ìåñòî äâîéíîå íåðàâåíñòâî k − ε <bnkì¼ì ε = > 0. Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî2k3kbn < an <bn äëÿ âñåõ n > n0 ,(2.7)22èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,22an < bn < an äëÿ âñåõ n > n0 .(2.8)3kk272. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäûÏóñòü ðÿäðÿä∞X3kn=12∞Pbn ñõîäèòñÿ. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 1.1n=1bn òàêæå ñõîäèòñÿ è ñ èñïîëüçîâàíèåì âòîðîãîèç íåðàâåíñòâ (2.7), ïî òåîðåìå 2.2 ðÿä∞Pan ÿâëÿåòñÿ ñõî-n=1äÿùèìñÿ. Åñëè ðÿä∞Pbn ðàñõîäèòñÿ, òî ðÿä∞Xkbn òàêæå2n=1(ïî òåîðåìå 1.1) ðàñõîäèòñÿ è, ñîãëàñíî ïåðâîìó èç íåðà∞Pâåíñòâ (2.7), ïî òåîðåìå 2.2 ðÿäan ÿâëÿåòñÿ ðàñõîäÿùèìn=1ñÿ.
Åñëè æå ðÿä∞Pn=1an ñõîäèòñÿ (ðàñõîäèòñÿ), òî èñïîëüçóÿn=1âòîðîå (ïåðâîå) èç íåðàâåíñòâ (2.8), òåîðåìó 1.1 è òåîðå∞Pìó 2.2, ïîëó÷àåì, ÷òî ðÿäbn òàêæå ñõîäèòñÿ (ðàñõîäèòñÿ). Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.n=1Ò å î ð å ì à 2.3 (èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê ÊîøèÌàêëîðåíà). Åñëè ïðè x > 1 ôóíêöèÿ f (x) > 0 è íå âîçðàñòàåò,òîZ+∞∞Xf (n) èf (x) dx(2.9)n=11ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sn ÷àñòè÷íûåñóììû ðÿäà â (2.9).
Ïî óñëîâèþf (k) > f (x) > f (k + 1),x ∈ [k, k + 1],k = 1, 2, 3, . . . .Èíòåãðèðóÿ ýòî äâîéíîå íåðàâåíñòâî ïî ïåðåìåííîé x îò k28I. ×èñëîâûå ðÿäûäî k + 1 è èñïîëüçóÿ î÷åâèäíîå ðàâåíñòâîk+1Rdx = 1, èìååìkZk+1f (k) >f (x) dx > f (k + 1),k = 1, 2, 3, . . . .kÑóììèðóÿ ïîëó÷åííîå äâîéíîå íåðàâåíñòâî ïî k îò 1 äî n,ïîëó÷àåìnXk+1n ZnXXf (k) >f (x) dx >f (k + 1),k=1òî åñòük=1 kk=1n+1ZSn >f (x) dx > Sn+1 − f (1).(2.10)1Ïóñòü ðÿä∞Pf (n) ñõîäèòñÿ. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.1, ïîñëå-n=1äîâàòåëüíîñòü {Sn } îãðàíè÷åíà ñâåðõó. Ïîýòîìó ïî ïåðâîìóèç íåðàâåíñòâ(2.10) ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëü n+1Ríîñòüf (x) dx òàêæå îãðàíè÷åíà ñâåðõó.
Íî ïî óñëî1âèþ f (x) > 0, ñëåäîâàòåëüíî, íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ F (T ) =292. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäû=RTf (x) dx ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñâåðõó, è ïîýòîìó ñóùå-1ñòâóåò lim F (T ), òî åñòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàëT →+∞ñõîäèòñÿ .Åñëè ðÿä∞P+∞Rf (x) dx1f (n) ðàñõîäèòñÿ, òî ñîãëàñíî òåîðå-n=1ìå 2.1, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn }, à çíà÷èò è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn+1 } è {Sn+1 − f (1)} íå îãðàíè÷åíû ñâåðõó. Ïîýòîìó ïî âòîðîìó èç íåðàâåíñòâ (2.10) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäî n+1Râàòåëüíîñòüf (x) dx òàêæå íå îãðàíè÷åíà ñâåðõó, òî1åñòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë+∞Rf (x) dxðàñõîäèòñÿ .Åñëè1æå èíòåãðàë+∞Rf (x) dx ñõîäèòñÿ (ðàñõîäèòñÿ), òî èñïîëü-1çóÿ íåðàâåíñòâî (2.10), íåîòðèöàòåëüíîñòü è ìîíîòîííîñòü∞Pôóíêöèè f (x) è òåîðåìó 2.1, ïîëó÷àåì, ÷òî è ðÿäf (n)ñõîäèòñÿ (ðàñõîäèòñÿ).
Òåîðåìà äîêàçàíà.n=1Ïðîèëëþñòðèðóåì òîëüêî ÷òî äîêàçàííûé èíòåãðàëüíûéïðèçíàê ñëåäóþùèìè ï ð è ì å ð à ì è.Ï ð è ì å ð 1. Ðàññìîòðèì ðÿä∞X1111=1+++···++ ···ppppn23nn=1(2.11)1òî åñòü ðÿä ñ îáùèì ÷ëåíîì an = p ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åníèÿõ p.  ÷àñòíîñòè, ïðè p = 1 ïîëó÷àåòñÿ ðàññìîòðåííûéðàíåå ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä (1.11). Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.1.
Ïóñòü p 6 0. Òîãäà lim an 6= 0 (ýòîò ïðåäåë ðàâåín→∞30I. ×èñëîâûå ðÿäûëèáî 1 ïðè p = 0, ëèáî +∞ ïðè p < 0), ïîýòîìó ðÿä (2.11)ðàñõîäèòñÿ ïî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó (ñì. òåîðåìó 1.4).12. Ïóñòü p > 0. Ôóíêöèÿ f (x) = p ïðè ýòèõ p (äàæåxïðè p > 0) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 2.3, à èíòåZ+∞dx, êàê èçâåñòíî, ñõîäèòñÿ ïðè p > 1 è ðàñõîäèòñÿãðàëxp1ïðè p 6 1. Ñëåäîâàòåëüíî â ýòîì ñëó÷àå ðÿä (2.11) ñõîäèòñÿïðè p > 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè 0 < p 6 1.Îáúåäèíÿÿ ýòè äâà ñëó÷àÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ðÿä∞X1npn=1ïðè p > 1 ñõîäèòñÿ,ïðè p 6 1 ðàñõîäèòñÿ.(2.12)Ï ð è ì å ð 2. Ðàññìîòðèì ðÿä∞Xn=21111=++ ··· ++ ···pppn ln n2 ln 2 3 ln 3n lnp n(2.13)1ïðè ðàçëè÷íûõn lnp nçíà÷åíèÿõ p.
Çäåñü, â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, äëÿâñåõ p ∈ (−∞, +∞) îáùèé ÷ëåí ñòðåìèòñÿ ê íóëþ (ïðè p > 0ýòî ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, à ïðè p < 0 â ýòîì ëåãêî óáåäèòüln−p z, ïðåäñòàâëÿþùèé èç ñåáÿñÿ, âû÷èñëÿÿ ïðåäåë limz→+∞z∞íåîïðåäåë¼ííîñòü âèäà, ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ). Ðàññìîò∞ðèì òå æå ñàìûå äâà ñëó÷àÿ, ÷òî è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå.∞X111. Ïóñòü p 6 0. Òîãäà an > (ïðè n > 3), à ðÿännn=2ðàñõîäÿùèéñÿ ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä (1.11) áåç ïåðâîãî ñëàãàåòî åñòü ðÿä ñ îáùèì ÷ëåíîì an =312. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäûìîãî. Ïîýòîìó ðÿä (2.13) ðàñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ(ñì. òåîðåìó 2.2).1ïðè ýòèõ p2.
Ïóñòü p > 0. Ôóíêöèÿ f (x) =x lnp x(äàæå ïðè p > 0) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 2.3, àZ+∞dx, ïåðåõîäÿùèé ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííîèíòåãðàëx lnp x2ãî ln x = t â èíòåãðàëZ+∞dt, ñõîäèòñÿ ïðè p > 1 è ðàñtpln 2õîäèòñÿ ïðè p 6 1, òî îòñþäà ïî èíòåãðàëüíîìó ïðèçíàêóâûòåêàåò, ÷òî ðÿä (2.13) ñõîäèòñÿ ïðè p > 1 è ðàñõîäèòñÿïðè 0 < p 6 1.Îáúåäèíÿÿ ýòè äâà ñëó÷àÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ðÿä∞Xn=21n lnp nïðè p > 1 ñõîäèòñÿ,ïðè p 6 1 ðàñõîäèòñÿ.(2.14)2.3. Ïðèçíàê Äàëàìáåðà.
Ðàäèêàëüíûéïðèçíàê ÊîøèÐÿäû âèäà (1.4) (ïðè q > 0), (2.11) è (2.13) äàþò äîñòàòî÷íî ìíîãî òåñòîâûõ ðÿäîâ äëÿ ïðèìåíåíèÿ ïðèçíàêîâñðàâíåíèÿ (â äîïðåäåëüíîé è ïðåäåëüíîé ôîðìàõ) ïðè èññëåäîâàíèè íà ñõîäèìîñòü äàííîãî çíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà (ñì. (1.7), (2.12) è (2.14)). Îäíàêî ìîæíî îñóùåñòâèòüñðàâíåíèå ñ òàêîãî ðîäà ðÿäàìè è â íåêîòîðîé îðãàíèçîâàííîé ôîðìå.∞PÒ å î ð å ì à 2.4 (ïðèçíàê Äàëàìáåðà). Äëÿ ðÿäàan , ân=1êîòîðîì an > 0, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.32I. ×èñëîâûå ðÿäû1. Åñëè íàéäóòñÿ ÷èñëî q ∈ (0, 1) è íîìåð n0 òàêèå, ÷òî∞Pan+16 q äëÿ âñåõ n > n0 , òî ðÿäan ñõîäèòñÿ.îòíîøåíèåann=1an+12. Åñëè íàéä¼òñÿ íîìåð n0 òàêîé, ÷òî îòíîøåíèå>1an∞Päëÿ âñåõ n > n0 , òî ðÿäan ðàñõîäèòñÿ.n=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Èìååì, ÷òîak+1 6 qak ,Óñòàíîâèì ïåðâîå óòâåðæäåíèå.k = n0 , n0 + 1, n0 + 2, .
. . .(2.15)Âîçüì¼ì ëþáîå n > n0 è íàïèøåì íåðàâåíñòâî (2.15) äëÿ k == n0 , n0 + 1, n0 + 2, . . . , n − 1:an0 +1 6 qan0 ,an0 +2 6 qan0 +1 ,...............an 6 qan−1 .Ïåðåìíîæàÿ âñå ýòè íåðàâåíñòâà è ñîêðàùàÿ íà îòëè÷íîåîò íóëÿ ïðîèçâåäåíèå an0 +1 · an0 +2 · . . . · an−1 , èìååìan 6an0 n·q ,q n0n > n0 .(2.16)(Ýòî íåðàâåíñòâî, âîîáùå ãîâîðÿ, âûâåäåíî ëèøü äëÿ çíà÷åíèé n > n0 , íî îíî òàêæå âåðíî è äëÿ n = n0 .) Òàê êàê∞Xan0 nðÿä·q ñõîäèòñÿ (ñì. (1.7) è òåîðåìó 1.1), òî ïî ïðèn0qn=1∞Pçíàêó ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 2.2) ðÿäan òàêæå ñõîäèòñÿ.n=1Óñòàíîâèì òåïåðü âòîðîå óòâåðæäåíèå. Ïî óñëîâèþak+1 > ak ,k = n0 , n0 + 1, n0 + 2, .
. . .332. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäûÑëåäîâàòåëüíî, ïðè n > n0 èìååò ìåñòî öåïî÷êà íåðàâåíñòâan > an−1 > · · · > an0 +1 > an0 .Îòñþäà âèäíî, ÷òî äëÿ âñåõ ÷ëåíîâ ðÿäà, íà÷èíàÿ ñ íîìåðà n0 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîan > an0 > 0,n > n0 .Ïîýòîìó lim an 6= 0 è, ñîãëàñíî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêón→∞∞P(òåîðåìà 1.4), ðÿäan ðàñõîäèòñÿ. Òåîðåìà äîêàçàíà.n=1Ñ ë å ä ñ ò â è å (ïðèçíàê Äàëàìáåðà â ïðåäåëüíîé ôîðìå).Åñëè an > 0 èan+1= q,(2.17)limn→∞ an∞Pòî ïðè q < 1 ðÿäan ñõîäèòñÿ, à ïðè q > 1 ýòîò ðÿän=1ðàñõîäèòñÿ.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Òàê êàê an > 0, òî q > 0.
Åñëè q êîíå÷íîå ÷èñëî, òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > n0 an+1− q < ε, òî åñòü èìååò ìåñòîàáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà anäâîéíîå íåðàâåíñòâîq−ε<an+1< q + ε,ann > n0 .(2.18)1−q> 0. Òîãäà íàéä¼òñÿ2íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî ñîãëàñíî âòîðîìó èç íåðàâåíñòâ (2.18)äëÿ âñåõ n > n0 îòíîøåíèåÏóñòü q < 1. Âîçüì¼ì ε =an+11−q1+q<q+== q1 ∈ (0, 1).an2234I.
×èñëîâûå ðÿäûÑëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.4, ðÿä∞Pan ñõîäèòñÿ.n=1Ïóñòü q > 1. Åñëè q êîíå÷íîå ÷èñëî, òî âîçüì¼ì ε == q − 1 > 0. Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî ñîãëàñíîïåðâîìó èç íåðàâåíñòâ (2.18) äëÿ âñåõ n > n0 îòíîøåíèåan+1> q − (q − 1) = 1.anÑëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.4 ðÿäÅñëè æå q = +∞, òî ðÿä∞P∞Pan ðàñõîäèòñÿ.n=1an òàêæå ðàñõîäèòñÿ. Äåéñòâè-n=1òåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî äëÿâñåõ n > n0 îòíîøåíèåan+1>1anè ïîýòîìó òàê æå, êàê è â ñëó÷àå êîíå÷íîãî q > 1, ðÿä∞Pann=1ðàñõîäèòñÿ ïî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó.
Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.an+1Îòìåòèì, ÷òî åñëè q = 1 èëè ïðåäåë îòíîøåíèÿ limn→∞ aníå ñóùåñòâóåò, òî äàííûé ïðèçíàê íå äà¼ò îòâåòà íà âî∞Pïðîñ î òîì, ñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ èññëåäóåìûé ðÿäan .n=1 ÷àñòíîñòè, êàê äëÿ ñõîäÿùèõñÿ, òàê è äëÿ ðàñõîäÿùèõñÿðÿäîâ âèäà (2.11) (òî åñòü äëÿ ëþáîãî p ∈ (−∞, +∞) ïðåan+1= 1.äåë îòíîøåíèÿ limn→∞ anÒ å î ð å ì à 2.5 (ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè). Äëÿ ðÿäà∞Pan , â êîòîðîì an > 0, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäån=1íèÿ.352. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäû1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
