Главная » Просмотр файлов » Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев

Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 4

Файл №845817 Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев) 4 страницаСпециальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817) страница 42021-08-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Âîçüåò ìåñòî äâîéíîå íåðàâåíñòâî k − ε <bnkì¼ì ε = > 0. Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî2k3kbn < an <bn äëÿ âñåõ n > n0 ,(2.7)22èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,22an < bn < an äëÿ âñåõ n > n0 .(2.8)3kk272. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäûÏóñòü ðÿäðÿä∞X3kn=12∞Pbn ñõîäèòñÿ. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 1.1n=1bn òàêæå ñõîäèòñÿ è ñ èñïîëüçîâàíèåì âòîðîãîèç íåðàâåíñòâ (2.7), ïî òåîðåìå 2.2 ðÿä∞Pan ÿâëÿåòñÿ ñõî-n=1äÿùèìñÿ. Åñëè ðÿä∞Pbn ðàñõîäèòñÿ, òî ðÿä∞Xkbn òàêæå2n=1(ïî òåîðåìå 1.1) ðàñõîäèòñÿ è, ñîãëàñíî ïåðâîìó èç íåðà∞Pâåíñòâ (2.7), ïî òåîðåìå 2.2 ðÿäan ÿâëÿåòñÿ ðàñõîäÿùèìn=1ñÿ.

Åñëè æå ðÿä∞Pn=1an ñõîäèòñÿ (ðàñõîäèòñÿ), òî èñïîëüçóÿn=1âòîðîå (ïåðâîå) èç íåðàâåíñòâ (2.8), òåîðåìó 1.1 è òåîðå∞Pìó 2.2, ïîëó÷àåì, ÷òî ðÿäbn òàêæå ñõîäèòñÿ (ðàñõîäèòñÿ). Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.n=1Ò å î ð å ì à 2.3 (èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê ÊîøèÌàêëîðåíà). Åñëè ïðè x > 1 ôóíêöèÿ f (x) > 0 è íå âîçðàñòàåò,òîZ+∞∞Xf (n) èf (x) dx(2.9)n=11ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sn ÷àñòè÷íûåñóììû ðÿäà â (2.9).

Ïî óñëîâèþf (k) > f (x) > f (k + 1),x ∈ [k, k + 1],k = 1, 2, 3, . . . .Èíòåãðèðóÿ ýòî äâîéíîå íåðàâåíñòâî ïî ïåðåìåííîé x îò k28I. ×èñëîâûå ðÿäûäî k + 1 è èñïîëüçóÿ î÷åâèäíîå ðàâåíñòâîk+1Rdx = 1, èìååìkZk+1f (k) >f (x) dx > f (k + 1),k = 1, 2, 3, . . . .kÑóììèðóÿ ïîëó÷åííîå äâîéíîå íåðàâåíñòâî ïî k îò 1 äî n,ïîëó÷àåìnXk+1n ZnXXf (k) >f (x) dx >f (k + 1),k=1òî åñòük=1 kk=1n+1ZSn >f (x) dx > Sn+1 − f (1).(2.10)1Ïóñòü ðÿä∞Pf (n) ñõîäèòñÿ. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.1, ïîñëå-n=1äîâàòåëüíîñòü {Sn } îãðàíè÷åíà ñâåðõó. Ïîýòîìó ïî ïåðâîìóèç íåðàâåíñòâ(2.10) ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëü n+1Ríîñòüf (x) dx òàêæå îãðàíè÷åíà ñâåðõó.

Íî ïî óñëî1âèþ f (x) > 0, ñëåäîâàòåëüíî, íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ F (T ) =292. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäû=RTf (x) dx ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñâåðõó, è ïîýòîìó ñóùå-1ñòâóåò lim F (T ), òî åñòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàëT →+∞ñõîäèòñÿ .Åñëè ðÿä∞P+∞Rf (x) dx1f (n) ðàñõîäèòñÿ, òî ñîãëàñíî òåîðå-n=1ìå 2.1, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn }, à çíà÷èò è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn+1 } è {Sn+1 − f (1)} íå îãðàíè÷åíû ñâåðõó. Ïîýòîìó ïî âòîðîìó èç íåðàâåíñòâ (2.10) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäî n+1Râàòåëüíîñòüf (x) dx òàêæå íå îãðàíè÷åíà ñâåðõó, òî1åñòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë+∞Rf (x) dxðàñõîäèòñÿ .Åñëè1æå èíòåãðàë+∞Rf (x) dx ñõîäèòñÿ (ðàñõîäèòñÿ), òî èñïîëü-1çóÿ íåðàâåíñòâî (2.10), íåîòðèöàòåëüíîñòü è ìîíîòîííîñòü∞Pôóíêöèè f (x) è òåîðåìó 2.1, ïîëó÷àåì, ÷òî è ðÿäf (n)ñõîäèòñÿ (ðàñõîäèòñÿ).

Òåîðåìà äîêàçàíà.n=1Ïðîèëëþñòðèðóåì òîëüêî ÷òî äîêàçàííûé èíòåãðàëüíûéïðèçíàê ñëåäóþùèìè ï ð è ì å ð à ì è.Ï ð è ì å ð 1. Ðàññìîòðèì ðÿä∞X1111=1+++···++ ···ppppn23nn=1(2.11)1òî åñòü ðÿä ñ îáùèì ÷ëåíîì an = p ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åníèÿõ p.  ÷àñòíîñòè, ïðè p = 1 ïîëó÷àåòñÿ ðàññìîòðåííûéðàíåå ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä (1.11). Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.1.

Ïóñòü p 6 0. Òîãäà lim an 6= 0 (ýòîò ïðåäåë ðàâåín→∞30I. ×èñëîâûå ðÿäûëèáî 1 ïðè p = 0, ëèáî +∞ ïðè p < 0), ïîýòîìó ðÿä (2.11)ðàñõîäèòñÿ ïî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó (ñì. òåîðåìó 1.4).12. Ïóñòü p > 0. Ôóíêöèÿ f (x) = p ïðè ýòèõ p (äàæåxïðè p > 0) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 2.3, à èíòåZ+∞dx, êàê èçâåñòíî, ñõîäèòñÿ ïðè p > 1 è ðàñõîäèòñÿãðàëxp1ïðè p 6 1. Ñëåäîâàòåëüíî â ýòîì ñëó÷àå ðÿä (2.11) ñõîäèòñÿïðè p > 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè 0 < p 6 1.Îáúåäèíÿÿ ýòè äâà ñëó÷àÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ðÿä∞X1npn=1ïðè p > 1 ñõîäèòñÿ,ïðè p 6 1 ðàñõîäèòñÿ.(2.12)Ï ð è ì å ð 2. Ðàññìîòðèì ðÿä∞Xn=21111=++ ··· ++ ···pppn ln n2 ln 2 3 ln 3n lnp n(2.13)1ïðè ðàçëè÷íûõn lnp nçíà÷åíèÿõ p.

Çäåñü, â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, äëÿâñåõ p ∈ (−∞, +∞) îáùèé ÷ëåí ñòðåìèòñÿ ê íóëþ (ïðè p > 0ýòî ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, à ïðè p < 0 â ýòîì ëåãêî óáåäèòüln−p z, ïðåäñòàâëÿþùèé èç ñåáÿñÿ, âû÷èñëÿÿ ïðåäåë limz→+∞z∞íåîïðåäåë¼ííîñòü âèäà, ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ). Ðàññìîò∞ðèì òå æå ñàìûå äâà ñëó÷àÿ, ÷òî è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå.∞X111. Ïóñòü p 6 0. Òîãäà an > (ïðè n > 3), à ðÿännn=2ðàñõîäÿùèéñÿ ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä (1.11) áåç ïåðâîãî ñëàãàåòî åñòü ðÿä ñ îáùèì ÷ëåíîì an =312. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäûìîãî. Ïîýòîìó ðÿä (2.13) ðàñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ(ñì. òåîðåìó 2.2).1ïðè ýòèõ p2.

Ïóñòü p > 0. Ôóíêöèÿ f (x) =x lnp x(äàæå ïðè p > 0) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 2.3, àZ+∞dx, ïåðåõîäÿùèé ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííîèíòåãðàëx lnp x2ãî ln x = t â èíòåãðàëZ+∞dt, ñõîäèòñÿ ïðè p > 1 è ðàñtpln 2õîäèòñÿ ïðè p 6 1, òî îòñþäà ïî èíòåãðàëüíîìó ïðèçíàêóâûòåêàåò, ÷òî ðÿä (2.13) ñõîäèòñÿ ïðè p > 1 è ðàñõîäèòñÿïðè 0 < p 6 1.Îáúåäèíÿÿ ýòè äâà ñëó÷àÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ðÿä∞Xn=21n lnp nïðè p > 1 ñõîäèòñÿ,ïðè p 6 1 ðàñõîäèòñÿ.(2.14)2.3. Ïðèçíàê Äàëàìáåðà.

Ðàäèêàëüíûéïðèçíàê ÊîøèÐÿäû âèäà (1.4) (ïðè q > 0), (2.11) è (2.13) äàþò äîñòàòî÷íî ìíîãî òåñòîâûõ ðÿäîâ äëÿ ïðèìåíåíèÿ ïðèçíàêîâñðàâíåíèÿ (â äîïðåäåëüíîé è ïðåäåëüíîé ôîðìàõ) ïðè èññëåäîâàíèè íà ñõîäèìîñòü äàííîãî çíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà (ñì. (1.7), (2.12) è (2.14)). Îäíàêî ìîæíî îñóùåñòâèòüñðàâíåíèå ñ òàêîãî ðîäà ðÿäàìè è â íåêîòîðîé îðãàíèçîâàííîé ôîðìå.∞PÒ å î ð å ì à 2.4 (ïðèçíàê Äàëàìáåðà). Äëÿ ðÿäàan , ân=1êîòîðîì an > 0, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.32I. ×èñëîâûå ðÿäû1. Åñëè íàéäóòñÿ ÷èñëî q ∈ (0, 1) è íîìåð n0 òàêèå, ÷òî∞Pan+16 q äëÿ âñåõ n > n0 , òî ðÿäan ñõîäèòñÿ.îòíîøåíèåann=1an+12. Åñëè íàéä¼òñÿ íîìåð n0 òàêîé, ÷òî îòíîøåíèå>1an∞Päëÿ âñåõ n > n0 , òî ðÿäan ðàñõîäèòñÿ.n=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Èìååì, ÷òîak+1 6 qak ,Óñòàíîâèì ïåðâîå óòâåðæäåíèå.k = n0 , n0 + 1, n0 + 2, .

. . .(2.15)Âîçüì¼ì ëþáîå n > n0 è íàïèøåì íåðàâåíñòâî (2.15) äëÿ k == n0 , n0 + 1, n0 + 2, . . . , n − 1:an0 +1 6 qan0 ,an0 +2 6 qan0 +1 ,...............an 6 qan−1 .Ïåðåìíîæàÿ âñå ýòè íåðàâåíñòâà è ñîêðàùàÿ íà îòëè÷íîåîò íóëÿ ïðîèçâåäåíèå an0 +1 · an0 +2 · . . . · an−1 , èìååìan 6an0 n·q ,q n0n > n0 .(2.16)(Ýòî íåðàâåíñòâî, âîîáùå ãîâîðÿ, âûâåäåíî ëèøü äëÿ çíà÷åíèé n > n0 , íî îíî òàêæå âåðíî è äëÿ n = n0 .) Òàê êàê∞Xan0 nðÿä·q ñõîäèòñÿ (ñì. (1.7) è òåîðåìó 1.1), òî ïî ïðèn0qn=1∞Pçíàêó ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 2.2) ðÿäan òàêæå ñõîäèòñÿ.n=1Óñòàíîâèì òåïåðü âòîðîå óòâåðæäåíèå. Ïî óñëîâèþak+1 > ak ,k = n0 , n0 + 1, n0 + 2, .

. . .332. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäûÑëåäîâàòåëüíî, ïðè n > n0 èìååò ìåñòî öåïî÷êà íåðàâåíñòâan > an−1 > · · · > an0 +1 > an0 .Îòñþäà âèäíî, ÷òî äëÿ âñåõ ÷ëåíîâ ðÿäà, íà÷èíàÿ ñ íîìåðà n0 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîan > an0 > 0,n > n0 .Ïîýòîìó lim an 6= 0 è, ñîãëàñíî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêón→∞∞P(òåîðåìà 1.4), ðÿäan ðàñõîäèòñÿ. Òåîðåìà äîêàçàíà.n=1Ñ ë å ä ñ ò â è å (ïðèçíàê Äàëàìáåðà â ïðåäåëüíîé ôîðìå).Åñëè an > 0 èan+1= q,(2.17)limn→∞ an∞Pòî ïðè q < 1 ðÿäan ñõîäèòñÿ, à ïðè q > 1 ýòîò ðÿän=1ðàñõîäèòñÿ.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Òàê êàê an > 0, òî q > 0.

Åñëè q êîíå÷íîå ÷èñëî, òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > n0 an+1− q < ε, òî åñòü èìååò ìåñòîàáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà anäâîéíîå íåðàâåíñòâîq−ε<an+1< q + ε,ann > n0 .(2.18)1−q> 0. Òîãäà íàéä¼òñÿ2íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî ñîãëàñíî âòîðîìó èç íåðàâåíñòâ (2.18)äëÿ âñåõ n > n0 îòíîøåíèåÏóñòü q < 1. Âîçüì¼ì ε =an+11−q1+q<q+== q1 ∈ (0, 1).an2234I.

×èñëîâûå ðÿäûÑëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.4, ðÿä∞Pan ñõîäèòñÿ.n=1Ïóñòü q > 1. Åñëè q êîíå÷íîå ÷èñëî, òî âîçüì¼ì ε == q − 1 > 0. Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî ñîãëàñíîïåðâîìó èç íåðàâåíñòâ (2.18) äëÿ âñåõ n > n0 îòíîøåíèåan+1> q − (q − 1) = 1.anÑëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.4 ðÿäÅñëè æå q = +∞, òî ðÿä∞P∞Pan ðàñõîäèòñÿ.n=1an òàêæå ðàñõîäèòñÿ. Äåéñòâè-n=1òåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî äëÿâñåõ n > n0 îòíîøåíèåan+1>1anè ïîýòîìó òàê æå, êàê è â ñëó÷àå êîíå÷íîãî q > 1, ðÿä∞Pann=1ðàñõîäèòñÿ ïî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó.

Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.an+1Îòìåòèì, ÷òî åñëè q = 1 èëè ïðåäåë îòíîøåíèÿ limn→∞ aníå ñóùåñòâóåò, òî äàííûé ïðèçíàê íå äà¼ò îòâåòà íà âî∞Pïðîñ î òîì, ñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ èññëåäóåìûé ðÿäan .n=1 ÷àñòíîñòè, êàê äëÿ ñõîäÿùèõñÿ, òàê è äëÿ ðàñõîäÿùèõñÿðÿäîâ âèäà (2.11) (òî åñòü äëÿ ëþáîãî p ∈ (−∞, +∞) ïðåan+1= 1.äåë îòíîøåíèÿ limn→∞ anÒ å î ð å ì à 2.5 (ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè). Äëÿ ðÿäà∞Pan , â êîòîðîì an > 0, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäån=1íèÿ.352. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäû1.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее