Главная » Просмотр файлов » Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев

Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 2

Файл №845817 Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев) 2 страницаСпециальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817) страница 22021-08-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Òàêæå ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû â ýòîì ïðîñòðàíñòâå, áàçèñà áåñêîíå÷íîìåðíîãî ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà â çàâèñèìîñòè îò íàëè÷èÿ ïðåäåëà ó ëþáîé ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçäåëÿþòñÿ íàïîëíûå (áàíàõîâû) è íåïîëíûå. Ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ïîëíûõ è íåïîëíûõ ïðîñòðàíñòâ, ãëàâíûì îáðàçîì ôóíêöèîíàëüíûõ (òî åñòü ñîñòîÿùèõ èç ôóíêöèé).

 ÷àñòíîñòè, óñòàíàâëèâàåòñÿ ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå ôóíêöèé â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå. Ïîïóòíî ïðîèçâîäèòñÿñðàâíåíèå ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñõîäèìîñòè äëÿ ïðîñòðàíñòâ,ñîñòîÿùèõ èç îäíèõ è òåõ æå ôóíêöèé, íî ðàçëè÷àþùèõñÿ íîðìèðîâêîé èëè âèäîì ñõîäèìîñòè (ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü, ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü, ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì).1 Ââåäåíèåíîðìû èíîãäà íàçûâàþò ââåäåíèåììåòðèêè.10ÂâåäåíèåÄàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà, òî åñòüëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.

Ïîñêîëüêó â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ åñòåñòâåííûì îáðàçîìââîäèòñÿ íîðìà, òî âñå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõïðîñòðàíñòâ ïåðåíîñÿòñÿ íà åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà. Çàòåìââîäÿòñÿ îðòîãîíàëüíûå è îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû èðÿäû Ôóðüå ïî ýòèì ñèñòåìàì. Óñòàíàâëèâàåòñÿ ìèíèìàëüíîå ñâîéñòâî êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå è íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ.Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè áàçèñíîñòè îðòîíîðìèðîâàííîé (îðòîãîíàëüíîé) ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîñòü ýòîé ñèñòåìû ëèáî ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ. Âûâîäÿòñÿ òàêæå îáîáù¼ííîå ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿè ïîëíîòà îðòîíîðìèðîâàííîãî (îðòîãîíàëüíîãî) áàçèñà. ïîñëåäíåì ïàðàãðàôå òðåòüåé ÷àñòè èçó÷àþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå.

Âíà÷àëå óñòàíàâëèâàþòñÿ íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, ëåììàÐèìàíà äëÿ êóñî÷íî-ãëàäêèõ ôóíêöèé. ×àñòíàÿ ñóììà òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ÿäðî Äèðèõëå, è äîêàçûâàåòñÿ ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà Ôóðüåäëÿ ëþáîé êóñî÷íî-ãëàäêîé ôóíêöèè. Äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé äîêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà Ôóðüå èâîçìîæíîñòü åãî ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.

Íàõîäèòñÿ ïîðÿäîê óáûâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå â çàâèñèìîñòèîò íàëè÷èÿ ó íåïðåðûâíîé ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè íåïðåðûâíûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîèçâîäíûõ.Çàòåì ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèìåíåíèå ê òðèãîíîìåòðè÷åñêîìó ðÿäó ìåòîäà ñóììèðîâàíèÿ ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ(ìåòîä Ôåéåðà). Ñóììû Ôåéåðà òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäàÔóðüå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ÿäðî Ôåéåðà è äîêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ñóìì Ôåéåðà äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîéïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðåçóëüòàòà óñòà-Ââåäåíèå11íàâëèâàåòñÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà î çàìêíóòîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ðàâíîìåðíîé ìåòðèêîé.  çàêëþ÷åíèåóñòàíàâëèâàåòñÿ áàçèñíîñòü îáùåé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ îñðåäí¼ííûõôóíêöèé ñ êâàäðàòè÷íîé ìåòðèêîé.

Ýòîò ðåçóëüòàò ïåðåíîñèòñÿ íà íåïîëíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñèñòåìû (ñèñòåìàêîñèíóñîâ, ñèñòåìà ñèíóñîâ) è íà ñèñòåìó ìíèìûõ ýêñïîíåíò. Òàêæå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ðÿäîâ Ôóðüå íàòðàäèöèîííî ðàññìàòðèâàåìîì îòðåçêå [−π, π], ïåðåíîñÿòñÿíà ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê [a, b]. êîíöå êàæäîãî ïàðàãðàôà äàþòñÿ âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ èçëîæåííîãî ìàòåðèàëà è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. îòäåëüíîå ïðèëîæåíèå âûíåñåíû ïðèìåðû, êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå äîìàøíèõ çàäàíèé.Ðàçóìååòñÿ, äàííîå ïîñîáèå ñîâåðøåííî íå ïðåòåíäóåò íàïîëíîòó ñîäåðæàùèõñÿ â í¼ì ñâåäåíèé. Îäíàêî àâòîð íàäååòñÿ, ÷òî îíî îêàæåòñÿ ïîëåçíûì ñòóäåíòàì è ïðåïîäàâàòåëÿì âòîðîãî êóðñà, òàê êàê çäåñü äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî äàíòîò òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë, êîòîðûé èçëàãàåòñÿ íà ëåêöèÿõ ïðè èçó÷åíèè òåì ×èñëîâûå ðÿäû, Ôóíêöèîíàëüíûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû, Ðÿäû Ôóðüå â åâêëèäîâûõïðîñòðàíñòâàõ è Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå.Âñåõ æå, êòî çàèíòåðåñóåòñÿ èçëîæåíèåì âîïðîñîâ, êàñàþùèõñÿ êàê ÷èñëîâûõ ðÿäîâ, òàê è ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ (â òîì ÷èñëå ðÿäîâ Òåéëîðà è Ôóðüå), íî íå âîøåäøèõ â íàñòîÿùåå ïîñîáèå (íàïðèìåð, áåñêîíå÷íûå ïðîèçâåäåíèÿ, êâàçè-ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü, îáùèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû è äð.), ìîæíî îòîñëàòü êâóçîâñêèì ó÷åáíèêàì è îáøèðíîé ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå.Ïðèâåä¼ì ëèøü íåêîòîðûå èç ó÷åáíèêîâ è ìîíîãðàôèé.12Ââåäåíèå1.

Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.2. Èëüèí Â.À., Ïîçíÿê Ý.Ã. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.3. Êóäðÿâöåâ Ë.Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç.4. Øèëîâ Ã. Å. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ñïåöèàëüíûéêóðñ.5. Áàðè Í.Ê. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû.6. Çèãìóíä À. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû.×ÀÑÒÜ I×èñëîâûå ðÿäû14I. ×èñëîâûå ðÿäû1. Îáùèå ñâåäåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿê ÷èñëîâûì ðÿäàì1.1. Ïîíÿòèå ÷èñëîâîãî ðÿäà.

ÏðèìåðûÏóñòü çàäàíà íåêîòîðàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . } ≡ {an }∞n=1 .(1.1)Òîãäà áåñêîíå÷íàÿ ñóììà∞Xan = a1 + a2 + · · · + an + · · ·(1.2)n=1íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì . Ïðè ýòîì n-é ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1.1), òî åñòü ÷èñëî an , íàçûâàåòñÿ n-ì (îáùèì )÷ëåíîì ðÿäà, à ñóììàSn =nXak = a1 + a2 + · · · + an(1.3)k=1íàçûâàåòñÿ n-é ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà (1.2).Îòìåòèì, ÷òî åñëè â ðÿäå (1.2) è, ñîîòâåòñòâåííî, â ÷àñòè÷íîé ñóììå (1.3) ñóììèðîâàíèå íà÷èíàåòñÿ íå ñ åäèíèöû,à ñ íåêîòîðîãî öåëîãî íîìåðà n0 , áîëüøåãî èëè ìåíüøåãîåäèíèöû, òåì íå ìåíåå n-é îáùèé ÷ëåí ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåéíàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà n, à n-ÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà çàêàí÷èâàåòñÿ ÷ëåíîì ðÿäà an .Áåñêîíå÷íîé ôîðìàëüíîé ñóììå (1.2) ìîæíî ïðèäàòü íåôîðìàëüíûé ñìûñë ðàçíûìè ñïîñîáàìè.Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim Sn = S (êîíå÷íîå ÷èñëî), òîðÿä (1.2) íàçûâàåòñÿn→∞ñõîäÿùèìñÿ ,à ÷èñëî S åãî ñóììîé.151.

Îáùèå ñâåäåíèÿÒî, ÷òî ÷èñëîâîé ðÿä ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó S , çàïèñûâàåòñÿ òàê:∞Xan = S.n=1Åñëè lim Sn = ∞ (+∞, −∞), òî ðÿä (1.2) íàçûâàåòñÿn→∞õîäÿùèìñÿ ,ðàñ-íî ìîæíî ñîîòâåòñòâåííî çàïèñàòü∞Xan = ∞ (+∞, −∞).n=1Åñëè æå ÷àñòè÷íàÿ ñóììà Sn íå èìååò íèêàêîãî ïðåäåëà (íèêîíå÷íîãî, íè áåñêîíå÷íîãî), òî ðÿä (1.2) òàêæå íàçûâàåòñÿðàñõîäÿùèìñÿ , íî åìó íå ïðèïèñûâàþò íèêàêîé ñóììû.Çàìåòèì, ÷òî äîáàâëåíèå, îòáðàñûâàíèå, èçìåíåíèå íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ðÿäà íå âëèÿåò íà åãî ñõîäèìîñòü (ðàñõîäèìîñòü), íî, ðàçóìååòñÿ (â ñëó÷àå ñõîäèìîñòè),âëèÿåò íà âåëè÷èíó ñóììû ðÿäà. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ÷àñòè÷íûå ñóììû èñõîäíîãî è èçìåí¼ííîãî ðÿäîâ, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà, îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà îäíóè òó æå âåëè÷èíó.

Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì (åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå) áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñóììèðîâàíèå â (1.2)è (1.3), íà÷èíàÿ ñ åäèíèöû. Ýòèì çàìå÷àíèåì ìû íåîäíîêðàòíî áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ íèæå.Ï ð è ì å ð. Ðàññìîòðèì ðÿä∞Xqn = 1 + q + q2 + · · · + qn + · · · ,n=0òî åñòü ðÿä, îáùèé ÷ëåí êîòîðîãîan = q n ,n = 0, 1, 2, . . . ;(1.4)16I. ×èñëîâûå ðÿäûïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ q . Êàê õîðîøî èçâåñòíî, ÷àñòè÷íûå ñóììûn+11 − q, q=6 1,Sn = 1 + q + q 2 + · · · + q n =1−qn + 1,q = 1.(1.5)Ïîýòîìó ðàññìîòðåíèå ðÿäà (1.4) åñòåñòâåííî ðàçäåëÿåòñÿíà íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.1.

Ïóñòü |q| < 1. Òîãäà lim q n+1 = 0, è, ñîãëàñíî (1.5),n→∞1, òî åñòü â ýòîì ñëó÷àå ðÿä (1.4)ñóùåñòâóåò lim Sn =n→∞1−q∞X1ñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ìqn =.1−qn=02. Ïóñòü q > 1. Òîãäà lim q n+1 = +∞, è, ñîãëàñíî (1.5),n→∞ïðåäåë lim Sn = +∞, òî åñòü â ýòîì ñëó÷àå ðÿä (1.4) ðàñn→∞∞Põîäèòñÿ, ïðè÷¼ìq n = +∞.n=03. Ïóñòü q < −1. Òîãäà lim q n+1 = ∞, ïðè÷¼ì ýòîòn→∞ñèìâîë (∞) íåëüçÿ çàìåíèòü íè íà +∞, íè íà −∞, òàêêàê q n+1 , íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå,ñòàíîâèòñÿ ïîïåðåìåííî òî ïîëîæèòåëüíîé, òî îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ðÿä (1.4) ðàñ∞Põîäèòñÿ,q n = ∞, è çíà÷åíèå ñóììû (ñèìâîë ∞) íåëüçÿn=0çàìåíèòü íè ñèìâîëîì +∞, íè ñèìâîëîì −∞.4. Åñëè q = 1, òî òàê æå, êàê è ïðè q > 1, ðÿä (1.4)∞∞PPðàñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ìqn =1 = +∞.n=0n=0171.

Îáùèå ñâåäåíèÿ5. Åñëè q = −1, òî ðÿä (1.4) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä∞X(1.6)(−1)n = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · .n=0Ïîýòîìó åãî ÷àñòè÷íûå ñóììûS0 = 1, S1 = 0, S2 = 1, S3 = 0, S4 = 1, S5 = 0, . . .íå èìåþò ïðåäåëà ,òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn }∞n=0 ñîäåðæèò â ñåáå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ íîìåðàìè ðàçíîé÷¼òíîñòè, ñõîäÿùèåñÿ ê ðàçëè÷íûì ÷èñëàì lim S2m = 1,m→∞lim S2m+1 = 0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðÿä (1.6) (òî åñòü ðÿä (1.4)m→∞ïðè q = −1) ðàñõîäèòñÿ, íî åìó íåëüçÿ ïðèïèñàòü íèêàêîéñóììû.Èòàê, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ðÿä∞Xn=0qnïðè |q| < 1 ñõîäèòñÿ,ïðè |q| > 1 ðàñõîäèòñÿ.(1.7)1.2. Ëèíåéíûå ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ.Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîíÒàê êàê ñõîäèìîñòü (ðàñõîäèìîñòü) ÷èñëîâîãî ðÿäà îïðåäåëåíà êàê ñõîäèìîñòü (ðàñõîäèìîñòü) ïîñëåäîâàòåëüíîñòèåãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì, òî ïåðåôîðìóëèðîâêà òåîðåìû î ëèíåéíûõ ñâîéñòâàõ ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïðèâîäèò ê ñïðàâåäëèâîñòè íèæåñëåäóþùåé òåîðåìû îëèíåéíûõ ñâîéñòâàõ ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ.∞PÒ å î ð å ì à 1.1.

Äëÿ ëþáûõ äâóõ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâann=118èI. ×èñëîâûå ðÿäû∞Pbn , ñóììû êîòîðûõ ðàâíû A è B ñîîòâåòñòâåííî:n=1∞Xan = A,n=1à) ðÿäû∞P∞Xbn = B;n=1(an ± bn ) ñõîäÿòñÿ, ïðè÷¼ìn=1∞X(an ± bn ) = A ± B;n=1∞Pá) äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà c ðÿäcan ñõîäÿùèéñÿ, ïðè÷¼ìn=1∞Xcan = cA.n=1 ñõîäÿùåìñÿ ÷èñëîâîì ðÿäå∞Pan ìîæíî (íå ìåíÿÿ ïî-n=1ðÿäêà ñëàãàåìûõ) ðàññòàâëÿòü ñêîáêè.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее