Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Òàêæå ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû â ýòîì ïðîñòðàíñòâå, áàçèñà áåñêîíå÷íîìåðíîãî ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà â çàâèñèìîñòè îò íàëè÷èÿ ïðåäåëà ó ëþáîé ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçäåëÿþòñÿ íàïîëíûå (áàíàõîâû) è íåïîëíûå. Ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ïîëíûõ è íåïîëíûõ ïðîñòðàíñòâ, ãëàâíûì îáðàçîì ôóíêöèîíàëüíûõ (òî åñòü ñîñòîÿùèõ èç ôóíêöèé).
 ÷àñòíîñòè, óñòàíàâëèâàåòñÿ ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå ôóíêöèé â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå. Ïîïóòíî ïðîèçâîäèòñÿñðàâíåíèå ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñõîäèìîñòè äëÿ ïðîñòðàíñòâ,ñîñòîÿùèõ èç îäíèõ è òåõ æå ôóíêöèé, íî ðàçëè÷àþùèõñÿ íîðìèðîâêîé èëè âèäîì ñõîäèìîñòè (ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü, ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü, ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì).1 Ââåäåíèåíîðìû èíîãäà íàçûâàþò ââåäåíèåììåòðèêè.10ÂâåäåíèåÄàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà, òî åñòüëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.
Ïîñêîëüêó â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ åñòåñòâåííûì îáðàçîìââîäèòñÿ íîðìà, òî âñå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõïðîñòðàíñòâ ïåðåíîñÿòñÿ íà åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà. Çàòåìââîäÿòñÿ îðòîãîíàëüíûå è îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû èðÿäû Ôóðüå ïî ýòèì ñèñòåìàì. Óñòàíàâëèâàåòñÿ ìèíèìàëüíîå ñâîéñòâî êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå è íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ.Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè áàçèñíîñòè îðòîíîðìèðîâàííîé (îðòîãîíàëüíîé) ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîñòü ýòîé ñèñòåìû ëèáî ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ. Âûâîäÿòñÿ òàêæå îáîáù¼ííîå ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿè ïîëíîòà îðòîíîðìèðîâàííîãî (îðòîãîíàëüíîãî) áàçèñà. ïîñëåäíåì ïàðàãðàôå òðåòüåé ÷àñòè èçó÷àþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå.
Âíà÷àëå óñòàíàâëèâàþòñÿ íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, ëåììàÐèìàíà äëÿ êóñî÷íî-ãëàäêèõ ôóíêöèé. ×àñòíàÿ ñóììà òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ÿäðî Äèðèõëå, è äîêàçûâàåòñÿ ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà Ôóðüåäëÿ ëþáîé êóñî÷íî-ãëàäêîé ôóíêöèè. Äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé äîêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà Ôóðüå èâîçìîæíîñòü åãî ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Íàõîäèòñÿ ïîðÿäîê óáûâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå â çàâèñèìîñòèîò íàëè÷èÿ ó íåïðåðûâíîé ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè íåïðåðûâíûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîèçâîäíûõ.Çàòåì ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèìåíåíèå ê òðèãîíîìåòðè÷åñêîìó ðÿäó ìåòîäà ñóììèðîâàíèÿ ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ(ìåòîä Ôåéåðà). Ñóììû Ôåéåðà òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäàÔóðüå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ÿäðî Ôåéåðà è äîêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ñóìì Ôåéåðà äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîéïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðåçóëüòàòà óñòà-Ââåäåíèå11íàâëèâàåòñÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà î çàìêíóòîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ðàâíîìåðíîé ìåòðèêîé.  çàêëþ÷åíèåóñòàíàâëèâàåòñÿ áàçèñíîñòü îáùåé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ îñðåäí¼ííûõôóíêöèé ñ êâàäðàòè÷íîé ìåòðèêîé.
Ýòîò ðåçóëüòàò ïåðåíîñèòñÿ íà íåïîëíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñèñòåìû (ñèñòåìàêîñèíóñîâ, ñèñòåìà ñèíóñîâ) è íà ñèñòåìó ìíèìûõ ýêñïîíåíò. Òàêæå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ðÿäîâ Ôóðüå íàòðàäèöèîííî ðàññìàòðèâàåìîì îòðåçêå [−π, π], ïåðåíîñÿòñÿíà ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê [a, b]. êîíöå êàæäîãî ïàðàãðàôà äàþòñÿ âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ èçëîæåííîãî ìàòåðèàëà è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. îòäåëüíîå ïðèëîæåíèå âûíåñåíû ïðèìåðû, êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå äîìàøíèõ çàäàíèé.Ðàçóìååòñÿ, äàííîå ïîñîáèå ñîâåðøåííî íå ïðåòåíäóåò íàïîëíîòó ñîäåðæàùèõñÿ â í¼ì ñâåäåíèé. Îäíàêî àâòîð íàäååòñÿ, ÷òî îíî îêàæåòñÿ ïîëåçíûì ñòóäåíòàì è ïðåïîäàâàòåëÿì âòîðîãî êóðñà, òàê êàê çäåñü äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî äàíòîò òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë, êîòîðûé èçëàãàåòñÿ íà ëåêöèÿõ ïðè èçó÷åíèè òåì ×èñëîâûå ðÿäû, Ôóíêöèîíàëüíûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû, Ðÿäû Ôóðüå â åâêëèäîâûõïðîñòðàíñòâàõ è Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå.Âñåõ æå, êòî çàèíòåðåñóåòñÿ èçëîæåíèåì âîïðîñîâ, êàñàþùèõñÿ êàê ÷èñëîâûõ ðÿäîâ, òàê è ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ (â òîì ÷èñëå ðÿäîâ Òåéëîðà è Ôóðüå), íî íå âîøåäøèõ â íàñòîÿùåå ïîñîáèå (íàïðèìåð, áåñêîíå÷íûå ïðîèçâåäåíèÿ, êâàçè-ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü, îáùèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû è äð.), ìîæíî îòîñëàòü êâóçîâñêèì ó÷åáíèêàì è îáøèðíîé ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå.Ïðèâåä¼ì ëèøü íåêîòîðûå èç ó÷åáíèêîâ è ìîíîãðàôèé.12Ââåäåíèå1.
Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.2. Èëüèí Â.À., Ïîçíÿê Ý.Ã. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.3. Êóäðÿâöåâ Ë.Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç.4. Øèëîâ Ã. Å. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ñïåöèàëüíûéêóðñ.5. Áàðè Í.Ê. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû.6. Çèãìóíä À. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû.×ÀÑÒÜ I×èñëîâûå ðÿäû14I. ×èñëîâûå ðÿäû1. Îáùèå ñâåäåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿê ÷èñëîâûì ðÿäàì1.1. Ïîíÿòèå ÷èñëîâîãî ðÿäà.
ÏðèìåðûÏóñòü çàäàíà íåêîòîðàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . } ≡ {an }∞n=1 .(1.1)Òîãäà áåñêîíå÷íàÿ ñóììà∞Xan = a1 + a2 + · · · + an + · · ·(1.2)n=1íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì . Ïðè ýòîì n-é ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1.1), òî åñòü ÷èñëî an , íàçûâàåòñÿ n-ì (îáùèì )÷ëåíîì ðÿäà, à ñóììàSn =nXak = a1 + a2 + · · · + an(1.3)k=1íàçûâàåòñÿ n-é ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà (1.2).Îòìåòèì, ÷òî åñëè â ðÿäå (1.2) è, ñîîòâåòñòâåííî, â ÷àñòè÷íîé ñóììå (1.3) ñóììèðîâàíèå íà÷èíàåòñÿ íå ñ åäèíèöû,à ñ íåêîòîðîãî öåëîãî íîìåðà n0 , áîëüøåãî èëè ìåíüøåãîåäèíèöû, òåì íå ìåíåå n-é îáùèé ÷ëåí ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåéíàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà n, à n-ÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà çàêàí÷èâàåòñÿ ÷ëåíîì ðÿäà an .Áåñêîíå÷íîé ôîðìàëüíîé ñóììå (1.2) ìîæíî ïðèäàòü íåôîðìàëüíûé ñìûñë ðàçíûìè ñïîñîáàìè.Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim Sn = S (êîíå÷íîå ÷èñëî), òîðÿä (1.2) íàçûâàåòñÿn→∞ñõîäÿùèìñÿ ,à ÷èñëî S åãî ñóììîé.151.
Îáùèå ñâåäåíèÿÒî, ÷òî ÷èñëîâîé ðÿä ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó S , çàïèñûâàåòñÿ òàê:∞Xan = S.n=1Åñëè lim Sn = ∞ (+∞, −∞), òî ðÿä (1.2) íàçûâàåòñÿn→∞õîäÿùèìñÿ ,ðàñ-íî ìîæíî ñîîòâåòñòâåííî çàïèñàòü∞Xan = ∞ (+∞, −∞).n=1Åñëè æå ÷àñòè÷íàÿ ñóììà Sn íå èìååò íèêàêîãî ïðåäåëà (íèêîíå÷íîãî, íè áåñêîíå÷íîãî), òî ðÿä (1.2) òàêæå íàçûâàåòñÿðàñõîäÿùèìñÿ , íî åìó íå ïðèïèñûâàþò íèêàêîé ñóììû.Çàìåòèì, ÷òî äîáàâëåíèå, îòáðàñûâàíèå, èçìåíåíèå íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ðÿäà íå âëèÿåò íà åãî ñõîäèìîñòü (ðàñõîäèìîñòü), íî, ðàçóìååòñÿ (â ñëó÷àå ñõîäèìîñòè),âëèÿåò íà âåëè÷èíó ñóììû ðÿäà. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ÷àñòè÷íûå ñóììû èñõîäíîãî è èçìåí¼ííîãî ðÿäîâ, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà, îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà îäíóè òó æå âåëè÷èíó.
Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì (åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå) áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñóììèðîâàíèå â (1.2)è (1.3), íà÷èíàÿ ñ åäèíèöû. Ýòèì çàìå÷àíèåì ìû íåîäíîêðàòíî áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ íèæå.Ï ð è ì å ð. Ðàññìîòðèì ðÿä∞Xqn = 1 + q + q2 + · · · + qn + · · · ,n=0òî åñòü ðÿä, îáùèé ÷ëåí êîòîðîãîan = q n ,n = 0, 1, 2, . . . ;(1.4)16I. ×èñëîâûå ðÿäûïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ q . Êàê õîðîøî èçâåñòíî, ÷àñòè÷íûå ñóììûn+11 − q, q=6 1,Sn = 1 + q + q 2 + · · · + q n =1−qn + 1,q = 1.(1.5)Ïîýòîìó ðàññìîòðåíèå ðÿäà (1.4) åñòåñòâåííî ðàçäåëÿåòñÿíà íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.1.
Ïóñòü |q| < 1. Òîãäà lim q n+1 = 0, è, ñîãëàñíî (1.5),n→∞1, òî åñòü â ýòîì ñëó÷àå ðÿä (1.4)ñóùåñòâóåò lim Sn =n→∞1−q∞X1ñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ìqn =.1−qn=02. Ïóñòü q > 1. Òîãäà lim q n+1 = +∞, è, ñîãëàñíî (1.5),n→∞ïðåäåë lim Sn = +∞, òî åñòü â ýòîì ñëó÷àå ðÿä (1.4) ðàñn→∞∞Põîäèòñÿ, ïðè÷¼ìq n = +∞.n=03. Ïóñòü q < −1. Òîãäà lim q n+1 = ∞, ïðè÷¼ì ýòîòn→∞ñèìâîë (∞) íåëüçÿ çàìåíèòü íè íà +∞, íè íà −∞, òàêêàê q n+1 , íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå,ñòàíîâèòñÿ ïîïåðåìåííî òî ïîëîæèòåëüíîé, òî îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ðÿä (1.4) ðàñ∞Põîäèòñÿ,q n = ∞, è çíà÷åíèå ñóììû (ñèìâîë ∞) íåëüçÿn=0çàìåíèòü íè ñèìâîëîì +∞, íè ñèìâîëîì −∞.4. Åñëè q = 1, òî òàê æå, êàê è ïðè q > 1, ðÿä (1.4)∞∞PPðàñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ìqn =1 = +∞.n=0n=0171.
Îáùèå ñâåäåíèÿ5. Åñëè q = −1, òî ðÿä (1.4) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä∞X(1.6)(−1)n = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · .n=0Ïîýòîìó åãî ÷àñòè÷íûå ñóììûS0 = 1, S1 = 0, S2 = 1, S3 = 0, S4 = 1, S5 = 0, . . .íå èìåþò ïðåäåëà ,òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn }∞n=0 ñîäåðæèò â ñåáå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ íîìåðàìè ðàçíîé÷¼òíîñòè, ñõîäÿùèåñÿ ê ðàçëè÷íûì ÷èñëàì lim S2m = 1,m→∞lim S2m+1 = 0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðÿä (1.6) (òî åñòü ðÿä (1.4)m→∞ïðè q = −1) ðàñõîäèòñÿ, íî åìó íåëüçÿ ïðèïèñàòü íèêàêîéñóììû.Èòàê, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ðÿä∞Xn=0qnïðè |q| < 1 ñõîäèòñÿ,ïðè |q| > 1 ðàñõîäèòñÿ.(1.7)1.2. Ëèíåéíûå ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ.Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîíÒàê êàê ñõîäèìîñòü (ðàñõîäèìîñòü) ÷èñëîâîãî ðÿäà îïðåäåëåíà êàê ñõîäèìîñòü (ðàñõîäèìîñòü) ïîñëåäîâàòåëüíîñòèåãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì, òî ïåðåôîðìóëèðîâêà òåîðåìû î ëèíåéíûõ ñâîéñòâàõ ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïðèâîäèò ê ñïðàâåäëèâîñòè íèæåñëåäóþùåé òåîðåìû îëèíåéíûõ ñâîéñòâàõ ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ.∞PÒ å î ð å ì à 1.1.
Äëÿ ëþáûõ äâóõ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâann=118èI. ×èñëîâûå ðÿäû∞Pbn , ñóììû êîòîðûõ ðàâíû A è B ñîîòâåòñòâåííî:n=1∞Xan = A,n=1à) ðÿäû∞P∞Xbn = B;n=1(an ± bn ) ñõîäÿòñÿ, ïðè÷¼ìn=1∞X(an ± bn ) = A ± B;n=1∞Pá) äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà c ðÿäcan ñõîäÿùèéñÿ, ïðè÷¼ìn=1∞Xcan = cA.n=1 ñõîäÿùåìñÿ ÷èñëîâîì ðÿäå∞Pan ìîæíî (íå ìåíÿÿ ïî-n=1ðÿäêà ñëàãàåìûõ) ðàññòàâëÿòü ñêîáêè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
