Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ïðè ýòîì ñóììà ðÿäàíå èçìåíèòñÿ:a1 + a2 + · · · + an + · · · = (a1 + a2 + · · · + ak1 )++(ak1 +1 + ak1 +2 + · · · + ak2 ) + · · · ++(akp−1 +1 + akp−1 +2 + · · · + akp ) + · · · .(1.8)Ýòî óòâåðæäåíèå ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì â âèäå ñëåäóþùåé òåîðåìû.∞PÒ å î ð å ì à 1.2. Ïóñòü ðÿäan ñõîäèòñÿ ê ñóììå S ,òî åñòü∞Pn=1an = S . Òîãäà äëÿ ëþáîé ñòðîãî âîçðàñòàþùåén=1ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {kp }∞p=0 öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë0 = k0 < k1 < k2 < k3 < · · · < kp < · · ·191. Îáùèå ñâåäåíèÿ÷èñëîâîé ðÿä∞Pbp , îáùèé ÷ëåí êîòîðîãî ðàâåí ñóììåp=1bp = akp−1 +1 + akp−1 +2 + · · · + akp ,ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, ïðè÷¼ì∞Pp = 1, 2, . .
.bp = S .p=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Îáîçíà÷èì n-þ ÷àñòè÷íóþ ñóììó∞∞PP(a)ðÿäàan ÷åðåç Sn , à m-þ ÷àñòè÷íóþ ñóììó ðÿäàbm n=1m=1(b)÷åðåç Sm . Òîãäà äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ p ÷àñòè÷íàÿ ñóììà(b)Sp = b1 + b2 + · · · + bp = (a1 + a2 + · · · + ak1 )++(ak1 +1 + ak1 +2 + · · · + ak2 ) + · · · ++(akp−1 +1 + akp−1 +2 + · · · + akp ) = a1 + a2 + · · · + ak1 ++ak1 +1 + ak1 +2 + · · · + ak2 + · · · +(a)+akp−1 +1 + akp−1 +2 + · · · + akp = Skp ,(b)òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sp } ÿâëÿåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñõîäÿùåéñÿ (ïî óñëîâèþ) ê ÷èñëó S ïîñëåäîâà(a)(b)òåëüíîñòè {Sn }. Ïîýòîìó lim Sp = S .
Òåîðåìà äîêàçàíà.p→∞Î÷åâèäíî, ÷òî â ñõîäÿùåìñÿ ðÿäå (ñì. (1.8)) ðàññòàâèòüñêîáêè ìîæíî òàê, ÷òî â ïîñëåäíþþ ñêîáêó âîéäóò âñå ÷ëåíû ýòîãî ðÿäà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà:a1 + a2 + · · · + an + · · · = (a1 + a2 + · · · + ak1 )++(ak1 +1 + ak1 +2 + · · · + ak2 ) + · · · +(1.9)+(akp−1 +1 + akp−1 +2 + · · · + akp )+(akp +1 + akp +2 + · · · ).Äåéñòâèòåëüíî, âíóòðè ïîñëåäíèõ ñêîáîê çàïèñàí ñõîäÿùèéñÿ ðÿä (ñì. çàìå÷àíèå íà ñ. 15), ñóììà êîòîðîãî îòëè÷àåòñÿkp∞PPan íà âåëè÷èíóan .îò ñóììû èñõîäíîãî ðÿäàn=1n=120I.
×èñëîâûå ðÿäû ðàñõîäÿùåìñÿ ðÿäå ðàññòàíîâêà ñêîáîê âèäà (1.8) è (1.9)íåäîïóñòèìà , òàê êàê ìîæåò ïðèâåñòè ê íåâåðíûì âûâîäàì. ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä (1.6). Âçÿâ âñêîáêè êàæäóþ ïàðó ñëàãàåìûõ, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ñóììà S ðÿäà ðàâíàS = (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0 + 0 + · · · = 0.Ñ äðóãîé ñòîðîíû,S = 1 − (1 − 1) − (1 − 1) − · · · = 1 − 0 − 0 − · · · = 1.À åñëè ðàññòàâèòü ñêîáêè òàê, ÷òî âíóòðè ñêîáîê îêàæóòñÿâñå ñëàãàåìûå ðÿäà (1.6), êðîìå íà÷àëüíîãî (íóëåâîãî):S = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1 − (1 − 1 + 1 − · · · ) = 1 − S,1. Íåâåðíûé âûâîä î òîì, ÷òî ðÿä ìî21æåò èìåòü òðè ðàçëè÷íûå ñóììû èëè 0 = 1 = , áûë ñäåëàí2èç-çà íåÿâíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä (1.6)ñõîäèòñÿ, òàê êàê îïåðèðîâàëè ñ ÷èñëîì S ñóììîé ðÿäà.òî ïîëó÷èì, ÷òî S =1.3. Ñâÿçü ðÿäîâ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.Êðèòåðèé Êîøè.
Íåîáõîäèìûé ïðèçíàêÂñÿêèé ÷èñëîâîé ðÿä (1.2) ïîðîæäàåò ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñâîèõ ÷àñòè÷íûõ ñóìì {Sn }∞n=1 (ñì. (1.3)). Íîñâÿçü ìåæäó ðÿäàìè è ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè íà ñàìîì äåëå äâóñòîðîííÿÿ: ïî âñÿêîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèìîæíî ïîñòðîèòü ðÿä, ÷àñòè÷íûìè ñóììàìè êîòîðîãî áóäóò ýëåìåíòû äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî,211. Îáùèå ñâåäåíèÿïóñòü èìååòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü∞P{un }∞.Ðàññìîòðèìðÿäan , ó êîòîðîãîn=1n=1a1 = u 1 ,an = un − un−1 , n = 2, 3, . . .
,(1.10)è íàéä¼ì åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû. Ìû èìååì, ÷òîS1 = a1 = u1 , S2 = a1 + a2 = u1 + (u2 − u1 ) = u2 ,S n = a1 + a2 + · · · + an == u1 + (u2 − u1 ) + · · · + (un − un−1 ) = un ,òî åñòü Sn = un ïðè n = 1, 2, . . .. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî íåòîëüêî ïðèìåíÿòü ñâîéñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïðè èçó÷åíèè ðÿäîâ (÷òî óæå äåëàåòñÿ), íî è íàîáîðîò, ñâîéñòâà ðÿäîâïðèìåíÿòü äëÿ èçó÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.Ïðè èññëåäîâàíèè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èñïîëüçóåòñÿ êðèòåðèé Êîøè . Ñôîðìóëèðóåì åãîäëÿ ðÿäîâ, èìåÿ â âèäó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn } ÷àñòè÷íûõñóìì ÷èñëîâîãî ðÿäà (1.2).Ò å î ð å ì à 1.3 (êðèòåðèé Êîøè äëÿ ðÿäîâ). ×èñëîâîé∞Pðÿäan ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãîn=1ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n è m òàêèõ,÷òî m > n > N , èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîm Xak < ε.k=n+1Îòìåòèì, ÷òî â ñïåöèàëüíîì äîêàçàòåëüñòâå ýòà òåîðåìàòàê êàê îíà ðàíåå áûëà äîêàçàíà äëÿ ëþáûõ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé â òîì ÷èñëå è äëÿ ïîñëåäî∞Pâàòåëüíîñòè {Sn } ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäàan .íå íóæäàåòñÿ ,n=122I.
×èñëîâûå ðÿäûÒ å î ð å ì à 1.4 (íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè). Åñëè∞P÷èñëîâîé ðÿäan ñõîäèòñÿ, òîn=1lim an = 0.n→∞Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ïóñòü∞Pan = S , òî åñòü lim Sn =n→∞n=1= S . Íî òîãäà è lim Sn−1 = S , ñëåäîâàòåëüíî,n→∞lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0.n→∞n→∞n→∞n→∞Òåîðåìà äîêàçàíà.Îòìåòèì, ÷òî ýòó òåîðåìó ìîæíî âûâåñòè èç êðèòåðèÿÊîøè äëÿ ðÿäîâ (èç òåîðåìû 1.3). Òàêæå îòìåòèì, ÷òî ïðèðåøåíèè ïðèìåðîâ ýòîò ïðèçíàê, ÿâëÿÿñü íåîáõîäèìûì , èñïîëüçóåòñÿ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàñõîäèìîñòè èññëåäóåìîãîðÿäà. Òàê, ïðè èññëåäîâàíèè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ (1.4), ìû âèäèì, ÷òî ïðè |q| > 1 (ñëó÷àè 25) ïðåäåë åãî îáùåãî ÷ëåíà lim an , òî åñòü lim q n ëèáî âîîáùå íå ñóùåñòâóåò, ëèáîn→∞n→∞∞Pîòëè÷åí îò íóëÿ, è ïîýòîìó ðÿäq n â ýòèõ ñëó÷àÿõ ðàñõîn=0äèòñÿ .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, óñòàíîâèâ, ÷òî lim an = 0, ìû íåäîêàæåì ñõîäèìîñòè ðÿäà.Ï ð è ì å ð.
Ðàññìîòðèì ðÿän→∞∞X1 111= 1 + + + ··· + + ··· ,n2 3nn=1íàçûâàåìûéãàðìîíè÷åñêèìùèé ÷ëåí an =(1.11)ðÿäîì. Î÷åâèäíî, ÷òî åãî îá-1ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, îäíàêî, êàê ìû ñåé÷àñn232. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäûïîêàæåì, ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ ïî òåîðåìå 1.3. Äåéñòâèòåëü1> 0 è äëÿ ëþáîãî íîìåðà N ðàññìîòíî, âîçüì¼ì ε =2ðèì n = N + 1 è m = 2n (î÷åâèäíî, ÷òî m > n > N ).
Íîm X11111++ ··· += = ε,òîãäà ak => n·n+1 n+22n2n2k=n+1|{z}n ñëàãàåìûõ÷òî è äîêàçûâàåò ðàñõîäèìîñòü ðÿäà (1.11).1.4. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû1. Äîêàçàòü òåîðåìó 1.1.2. Ñîñòàâèòü ÷èñëîâîé ðÿä, ÷àñòè÷íûìè ñóììàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè11 11, , , . . .
, , . . . .2 3n×åìó ðàâíà ñóììà ïîëó÷åííîãî ðÿäà?3. Âûâåñòè íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè (òî åñòü òåîðåìó 1.4) èç êðèòåðèÿ Êîøè (èç òåîðåìû 1.3).2. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ÷èñëîâûåðÿäû×èñëîâîé ðÿä∞Pn=1an íàçûâàåòñÿçíàêîïîëîæèòåëüíûì ,åñëè äëÿ âñÿêîãî n îáùèé ÷ëåí an > 0.24I.
×èñëîâûå ðÿäûÐàçóìååòñÿ, ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ íà ñ. 15 î òîì, ÷òî ñõîäèìîñòü (ðàñõîäèìîñòü) ðÿäà íå çàâèñèò îò èçìåíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íà÷àëüíûõ ñëàãàåìûõ, äîñòàòî÷íî ñ÷èòàòü,÷òî íåðàâåíñòâî an > 0 èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ n, íà÷èíàÿ ñíåêîòîðîãî íîìåðà n0 .2.1. Êðèòåðèé ñõîäèìîñòè çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ∞PÒ å î ð å ì à 2.1.Çíàêîïîëîæèòåëüíûé ÷èñëîâîé ðÿäan ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîñëåäîâàòåëü-n=1íîñòü {Sn } åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì îãðàíè÷åíà ñâåðõó. Ïðè ýòîìñóììà ðÿäà S = sup{Sn }.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . ×àñòè÷íàÿ ñóììà Sn+1 = a1 +a2 ++ · · · + an + an+1 = Sn + an+1 > Sn , òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn } ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé, à äëÿ òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, êàê èçâåñòíî, êðèòåðèåì ñõîäèìîñòè ÿâëÿåòñÿîãðàíè÷åííîñòü ñâåðõó. Ïðè ýòîì ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâåí å¼ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè.
Òåîðåìà äîêàçàíà.ßñíî, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn } íå îãðàíè÷åíà∞Pñâåðõó, òî lim Sn = +∞, òî åñòüan = +∞.  ÷àñòíîñòè,n→∞n=1ñóììà ðàñõîäÿùåãîñÿ ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà (1.11)∞X1= +∞.nn=1(2.1)Ïîýòîìó äëÿ çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ â êà÷åñòâå îáîçíà÷åíèÿ ñõîäèìîñòè ìîæíî ïèñàòü∞Xn=1an < +∞.(2.2)252. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäûÄëÿ çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ, òî åñòü äëÿ òàêèõ ðÿäîâ, âêîòîðûõ êàê óãîäíî äàëåêî âñòðå÷àþòñÿ è ïîëîæèòåëüíûå,è îòðèöàòåëüíûå ñëàãàåìûå, îáîçíà÷åíèå (2.2) (îãðàíè÷åííîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì) óæå íå ýêâèâàëåíòíî ñõîäèìîñòè,÷òî ïîêàçûâàåò ïðèìåð ðàñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà (1.6) ñ îãðàíè÷åííûìè ÷àñòè÷íûìè ñóììàìè.2.2. Ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ.
ÈíòåãðàëüíûéïðèçíàêÒ å î ð å ì à 2.2 (ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ). Ïóñòü ñóùåñòâóåòòàêîé íîìåð n0 , ÷òî0 6 an 6 b näëÿ âñåõ n > n0 .(2.3)Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.∞∞PP1. Åñëè ðÿäbn ñõîäèòñÿ, òî ðÿäan òàêæå ñõîäèòñÿ.2. Åñëè ðÿääèòñÿ.n=1∞Pn=1an ðàñõîäèòñÿ, òî ðÿän=1∞Pbn òàêæå ðàñõî-n=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Îáîçíà÷èìAn = a1 + a2 + · · · + an ,Bn = b1 + b2 + · · · + bn .(2.4)Òàê êàê (ñì. çàìå÷àíèå íà ñ.
15) îòáðàñûâàíèå êîíå÷íîãî÷èñëà ÷ëåíîâ ðÿäà íå âëèÿåò íà åãî ñõîäèìîñòü (ðàñõîäèìîñòü), òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåðàâåíñòâî (2.3) ñïðàâåäëèâîäëÿ âñåõ n ∈ N. Íî òîãäà èç (2.4) âûòåêàåò, ÷òîAn 6 Bn .(2.5)26I. ×èñëîâûå ðÿäûÏóñòü ðÿä∞Pbn ñõîäèòñÿ. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.1, ïîñëåäî-n=1âàòåëüíîñòü {Bn } îãðàíè÷åíà ñâåðõó. Ïîýòîìó èç (2.5) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {An } òàêæå îãðàíè÷åíà ñâåð∞Põó, òî åñòü (îïÿòü ïî òåîðåìå 2.1) ðÿäan ñõîäèòñÿ, ÷òîn=1äîêàçûâàåò ïåðâîå óòâåðæäåíèå.∞∞PPÏóñòü òåïåðü ðÿäan ðàñõîäèòñÿ.
Åñëè ðÿäbn ñõîn=1äèòñÿ, òî (êàê òîëüêî ÷òî äîêàçàíî) ðÿä∞Pn=1âòîðîån=1an òàêæå ñõî-äèòñÿ. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåòóòâåðæäåíèå.Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñ ë å ä ñ ò â è å (ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ â ïðåäåëüíîé ôîðìå).Ïóñòü an > 0, bn > 0 è ñóùåñòâóåòan= k ∈ (0, +∞).(2.6)limn→∞ bn∞∞PPÒîãäà ðÿäûan èbn ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðån=1n=1ìåííî.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà,äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ ann > n0 àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà − k < ε, òî åñòü èìåbnan< k + ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
