Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Îòñþäà ïîíàÿ âåëè÷èíà ñóììû k=n+1k=n+1òîé æå òåîðåìå 1.3 âûòåêàåò, ÷òî ðÿä∞Pan ñõîäèòñÿ. Òåî-n=1ðåìà äîêàçàíà.∞∞PPÅñëè ðÿäan ñõîäèòñÿ, à ðÿä|an | ðàñõîäèòñÿ, òîðÿä∞Pn=1Ðÿän=1n=1an íàçûâàåòñÿ∞Póñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ .|an | çíàêîïîëîæèòåëüíûé ðÿä, ïîýòîìó äëÿ èñ-n=1ñëåäîâàíèÿ ðÿäà∞Pn=1an íà àáñîëþòíóþ ñõîäèìîñòü ìîæíîïðèìåíÿòü ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè, óñòàíîâëåííûå äëÿ çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ. Êàê ìû âèäåëè, äîêàçûâàÿ óòâåðæäåíèÿ ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà, î÷åíü ÷àñòî áûâàåò òàê:âûïîëíåíèå íåêîòîðîãî óñëîâèÿ äà¼ò ñõîäèìîñòü ðÿäà, à íåâûïîëíåíèå ðàñõîäèìîñòü.
Äëÿ çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ,êàê ìû óâèäèì íèæå, ÷àùå âñåãî ñèòóàöèÿ èíàÿ: åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå êàêîãî-òî ïðèçíàêà, òî ðÿä ñõîäèòñÿ, àåñëè íå âûïîëíÿåòñÿ, òî âîïðîñ î ñõîäèìîñòè îñòà¼òñÿ îòêðûòûì. Äàëåå, ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ, äàâàÿ ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íà âîïðîñ î ñõîäèìîñòèðÿäà, îñòàâëÿþò îòêðûòûì îòâåò íà âîïðîñ î õàðàêòåðåýòîé ñõîäèìîñòè, òî åñòü êàê ñõîäèòñÿ ðÿä: àáñîëþòíî èëèóñëîâíî.
Ðàçóìååòñÿ, åñëè ïðè èññëåäîâàíèè ðÿäà íà àáñî-553. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûëþòíóþ ñõîäèìîñòü ìû ïîëó÷èëè, ÷òî ðÿä∞P|an | ðàñõîäèò-n=1ñÿ ïî íåîáõîäèìîìó ( lim |an | =6 0, òåîðåìà 1.4) ïðèçíàêó (àn→∞ýòî èìååò ìåñòî, â ÷àñòíîñòè, â ïðèçíàêå Äàëàìáåðà è ðàäèêàëüíîì ïðèçíàêå Êîøè, íî íå â ïðèçíàêàõ Ðààáå, Êóììåðà∞Pèëè Ãàóññà!), òî ðÿäan òàêæå ðàñõîäèòñÿ ïî íåîáõîäèìîn=1ìó ïðèçíàêó ( lim an 6= 0).
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ðÿän→∞∞Pann=1ñõîäèòñÿ, òî ïî òåîðåìå 1.4 ïðåäåë lim an = 0; íî òîãäà èn→∞ïðåäåë lim |an | = 0.n→∞3.2. Çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû. ÏðèçíàêËåéáíèöà. Îöåíêà îñòàòêàÐàññìîòðèì âíà÷àëå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòèòàê íàçûâàåìûõ çíàêî÷åðåäóþùèõñÿ ðÿäîâ, òî åñòü òàêèõ,÷ëåíû êîòîðûõ ïîî÷åð¼äíî òî íåîòðèöàòåëüíû, òî íåïîëîæèòåëüíû.Ò å î ð å ì à 3.2 (ïðèçíàê Ëåéáíèöà). Åñëè ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {un }∞n=1 ìîíîòîííî íå âîçðàñòàåò è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ:u1 > u2 > . . . > un > un+1 > . .
. ,òî ðÿä∞P(−1)n−1 un , òî åñòü ðÿän=1∞Plim un = 0,n→∞(3.1)an , îáùèé ÷ëåí êîòîðî-n=1ãî an = (−1)n−1 un , ñõîäèòñÿ.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Èç (3.1) ñëåäóåò, ÷òî un > 0. Ðàññìîòðèì ÷àñòè÷íóþ ñóììó ÷¼òíîãî ïîðÿäêà S2m = a1 + a2 ++ · · · + a2m−1 + a2m = u1 − u2 + · · · + u2m−1 − u2m . Ìû âèäèì,56I. ×èñëîâûå ðÿäû÷òî S2m+2 = S2m + u2m+1 − u2m+2 > S2m . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, S2m = u1 − (u2 − u3 ) − · · · − (u2m−2 − u2m−1 ) − u2m 6 u1 .Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {S2m }∞m=1 ìîíîòîííî íåóáûâàåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåòïðåäåë lim S2m = S . Íî ÷àñòè÷íàÿ ñóììà íå÷¼òíîãî ïîm→∞ðÿäêà S2m+1 = S2m + u2m+1 , ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî (3.1)ñóùåñòâóåò è lim S2m+1 = S . Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî èñõîäm→∞∞∞PPíûé ðÿäan =(−1)n−1 un ñõîäèòñÿ ê ñóììå S .
Òåîðåìàn=1n=1äîêàçàíà.Ñ ë å ä ñ ò â è å (îöåíêà îñòàòêà çíàêî÷åðåäóþùèõñÿ ðÿäîâ). Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 3.2 è ñóììà ðÿ∞Päà(−1)n−1 un = S . Òîãäàn=1|S − Sn | 6 un+1 .(3.2)Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.2ïîëó÷åíî, ÷òî ÷àñòè÷íûå ñóììû ÷¼òíîãî ïîðÿäêà S2m , ìîíîòîííî íå óáûâàÿ, ñòðåìÿòñÿ ê ñóììå ðÿäà S . Ñ äðóãîéñòîðîíû, S2m+1 = S2m−1 − (u2m − u2m+1 ) 6 S2m−1 , òî åñòü÷àñòè÷íûå ñóììû íå÷¼òíîãî ïîðÿäêà ñòðåìÿòñÿ ê òîìó æå÷èñëó S , ìîíîòîííî íå âîçðàñòàÿ. Ïîýòîìó äëÿ âñÿêîãî mñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâàS2m 6 S 6 S2m−1 ,S2m 6 S 6 S2m+1 .(3.3)(3.4)Èç äâîéíîãî íåðàâåíñòâà (3.3), êàê íåòðóäíî âèäåòü, ñëåäóåò, ÷òî0 6 S2m−1 − S 6 S2m−1 − S2m = u2m ,(3.5)à èç (3.4), â ñâîþ î÷åðåäü, âûòåêàåò0 6 S − S2m 6 S2m+1 − S2m = u2m+1 .(3.6)573.
Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÈç íåðàâåíñòâà (3.5) ïðè íå÷¼òíûõ n è èç íåðàâåíñòâà (3.6)ïðè ÷¼òíûõ n âûòåêàåò íåðàâåíñòâî (3.2). Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.Íåðàâåíñòâî (3.2) èñïîëüçóåòñÿ ïðè ïðèáëèæ¼ííûõ âû÷èñëåíèÿõ ñ ïîìîùüþ ðÿäîâ, òàê êàê äà¼ò âîçìîæíîñòü îöåíèòü êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ â çíàêî÷åðåäóþùåìñÿ ðÿäå ñ ìîíîòîííî (ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå) íåâîçðàñòàþùèìè ÷ëåíàìè, ÷òîáû ïîëó÷èòü ñóììó ðÿäà ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ ε > 0:íóæíî âçÿòü ñòîëüêî ñëàãàåìûõ, ÷òîáû àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ïåðâîãî îòáðîøåííîãî ñëàãàåìîãî áûëà ìåíüøå ε.Ï ð è ì å ð.
Ðàññìîòðèì ðÿä∞X(−1)n−1n=1n=1−1 1 1(−1)n−1+ − + ··· ++ · · · , (3.7)2 3 4níàçûâàåìûé ðÿäîì Ëåéáíèöà . Îáùèé ÷ëåí ýòîãî ðÿäà an =(−1)n−11=, ïðè ýòîì un = |an | = . Ðÿä (3.7) óäîâëåòâîðÿåònnâñåì óñëîâèÿì òåîðåìû 3.2, ñëåäîâàòåëüíî, îí ñõîäèòñÿ , åãî∞Pñõîäèìîñòü óñëîâíàÿ , òàê êàê ðÿä|an | ðàñõîäÿùèén=1ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä (1.11). Íàéä¼ì ñóììó ýòîãî ðÿäà. Ñîãëàñíî (2.40) è (2.41) èìååì, ÷òî ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà (3.7)111 1 1−=ñ ÷¼òíûìè íîìåðàìè S2m = 1− + − +· · ·+2342m−12m1 1 1111 1= 1 + + + + ··· +++ + ···+−22 3 42m − 1 2m2 41+= H2m − Hm = x2m + ln(2m) − xm − ln m = x2m − xm +2m+ ln 2.
Ñëåäîâàòåëüíî, èç (2.42) âûòåêàåò, ÷òî lim S2m =ñÿm→∞= lim (x2m − xm + ln 2) = C − C + ln 2 = ln 2. Ïîñêîëüêó,m→∞58I. ×èñëîâûå ðÿäûêàê óæå îòìå÷àëîñü, ðÿä (3.7) ñõîäèòñÿ, òî âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì, à íå òîëüêî ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ñ ÷¼òíûìè íîìåðàìè, ñõîäèòñÿê ln 2, òî åñòü∞X(−1)n−1= ln 2.(3.8)nn=1Îòìåòèì, ÷òî â ôîðìóëèðîâêå ïðèçíàêà Ëåéáíèöà óñëîâèå lim un = 0 ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî îäíèì èç äîñòàòî÷íûõ,n→∞íî è íåîáõîäèìûì , òàê êàê åãî íåâûïîëíåíèå ïðèâîäèò êðàñõîäèìîñòè ðÿäà ïî òåîðåìå 1.4.
Óñëîâèå ìîíîòîííîñòè ,âîîáùå ãîâîðÿ, íåîáõîäèìûì íå ÿâëÿåòñÿ . Íî îòáðîñèòüýòî óñëîâèå âñ¼ æå íåëüçÿ.Ï ð è ì å ð. Ðàññìîòðèì ðÿä√1111−√+ · · · +√−√+···n−1n+12−12+134...2n − 12n(3.9)...(ïîä êàæäûì ñëàãàåìûì äëÿ íàãëÿäíîñòè çàïèñàí åãî íîìåð).
Ó ýòîãî çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà lim un = 0, íî ïîn→∞ñëåäîâàòåëüíîñòü{un }∞n=1íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé. Íåòðóä-íî âèäåòü, ÷òî ðÿä (3.9) ðàñõîäÿùèéñÿ ,òàê êàê ñîãëàñ11√íî (2.1) ïðåäåë lim S2n = lim−√=n→∞n→∞k−1k+1k=2nX1 112= 2 · lim 1 + + + · · · += +∞.= limn→∞n→∞k−12 3n−1n Xk=2593. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû3.3. Ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ. ÏðèçíàêèÄèðèõëå è ÀáåëÿÄëÿ ïîëó÷åíèÿ äðóãèõ ïðèçíàêîâ, êîòîðûå ìîæíî ïðèìåíÿòü íå òîëüêî ê çíàêî÷åðåäóþùèìñÿ, íî è ê äðóãèì çíàêîïåðåìåííûì ðÿäàì, ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ .Ïóñòü èìåþòñÿ äâå ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: {an }∞n=1∞è {bn }∞n=1 .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç {Bk }k=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷à∞Pñòè÷íûõ ñóìì ðÿäàbn :n=1B1 = b1 , B2 = b1 + b2 , . . . , Bk = b1 + b2 + · · · + bk , . . . .Ñëåäîâàòåëüíî,b1 = B1 , b2 = B2 − B1 , . . . , bk = Bk − Bk−1 .(3.10)Ïóñòü m è n ëþáûå íîìåðà, òàêèå, ÷òî m > n > 1. Òîãäàèñïîëüçóÿ (3.10), èìååìmPak bk = an+1 bn+1 + an+2 bn+2 + · · · +k=n+1+am−1 bm−1 + am bm = an+1 (Bn+1 − Bn )++an+2 (Bn+2 − Bn+1 ) + · · · + am (Bm − Bm−1 ).(3.11)Ðàñêðûâàÿ â (3.11) ñêîáêè è ïåðåãðóïïèðîâûâàÿ ñëàãàåìûå,mPïîëó÷àåìak bk = −an+1 Bn + (an+1 − an+2 )Bn+1 + · · · +k=n+1+(am−1 − am )Bm−1 + am Bm = −an+1 Bn +k=n+1ak bk = am Bm − an+1 Bn +(ak − ak+1 )Bk +k=n+1+am Bm , òî åñòümXm−1Pm−1X(ak − ak+1 )Bk .k=n+1(3.12)60I. ×èñëîâûå ðÿäûÝòà ôîðìóëà è íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Àáåëÿ. Îíà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ôîðìóëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëàõ: ïðîèçâîäíàÿ çàìåíåíà ðàçíîñòüþ, àïåðâîîáðàçíàÿ ñóììîé.Ôîðìóëå (3.12) ìîæíî ïðèäàòü è íåñêîëüêî áîëåå îáùèéâèä.
Ïóñòü D ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, òîãäà çàìåíÿÿ â (3.11)âåëè÷èíû Bk ïðè k = n, n + 1, . . . , m ðàçíîñòÿìè Bk − D,mPíàõîäèì, ÷òî ñóììà ïðîèçâåäåíèéak bk ðàâíàk=n+1mPak bk = an+1 (Bn+1 − D) − (Bn − D) +k=n+1+an+2 (Bn+2 − D) − (Bn+1 − D) + · · · ++am (Bm − D) − (Bm−1 − D) .(3.13)Äåëàÿ â ïðàâîé ÷àñòè (3.13) òå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî èâ (3.11), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâîmPak bk = am (Bm − D) − an+1 (Bn − D)+k=n+1+m−1P(3.14)(ak − ak+1 )(Bk − D).k=n+1 òîì, ÷òî ïðàâûå ÷àñòè ôîðìóë (3.14) è (3.12) ñîâïàäàþò,ìîæíî óáåäèòüñÿ è íåïîñðåäñòâåííî. Äåéñòâèòåëüíî, îíè îòëè÷àþòñÿ îäíà îò äðóãîé íà âåëè÷èíóihm−1P(ak − ak+1 ) =D −am + an+1 −k=n+1= D(an+1 − an+1 + an+2 − · · · − am−1 + am − am ) = 0.Ïðè ðàññìîòðåíèè âìåñòî ôîðìóëû (3.12) ôîðìóëû (3.14)àíàëîãèÿ ñ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ñîõðàíÿåòñÿ: ïåðâîîáðàçíàÿ çàìåíåíà äðóãîé, îòëè÷àþùåéñÿ íà êîíñòàíòó.613.
Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÒ å î ð å ì à 3.3 (ïðèçíàê Äèðèõëå). Åñëè ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an }∞n=1 ìîíîòîííà è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à∞P÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäàbn îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè,n=1òî åñòü íàéä¼òñÿ M > 0, ÷òî äëÿ âñåõ k àáñîëþòíàÿ âåëè÷èP kbn 6 M , òî ðÿäíà n=1∞X(3.15)an b nn=1ñõîäèòñÿ.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíîñ÷èòàòü, ÷òî {an }∞n=1 ìîíîòîííî íå âîçðàñòàåò, òî åñòüa1 > a2 > . . .
> an > an+1 > . . . ,lim an = 0.n→∞(3.16)Ïîýòîìó an > 0 è, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , òàêîé, ÷òî0 6 an <ε,3Mn > N.(3.17)Ïóñòü n è m òàêîâû, ÷òî m > n > N . Òîãäà èç ïðåîáðàçîâàíèÿ Àáåëÿ (3.12), ôîðìóëû (3.16) è íåðàâåíñòâà (3.17)âûòåêàåò, ÷òî m−1 P P m(ak − ak+1 )Bk <ak bk 6 |am Bm | + |an+1 Bn | + k=n+1k=n+1<m−1Xε εεε(ak − ak+1 )M = + +·M +·M +3M3M3 3k=n+1+M (an+1 − an+2 + an+2 − an+3 + · · · + am−1 − am ) ==2ε2ε2εε+ M (an+1 − am ) 6+ M an+1 <+M ·= ε.3333M62I. ×èñëîâûå ðÿäûÝòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ðÿäà (3.15) âûïîëíÿåòñÿ êðèòåðèé∞PÊîøè, ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 1.3 ðÿäan bn ñõîäèòñÿ.n=1Òåîðåìà äîêàçàíà.Ò å î ð å ì à 3.4 (ïðèçíàê Àáåëÿ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
