Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Äîáàâèòü â ðÿä (4.1) íóëè òàê, ÷òî ïîëó÷åííûé ðÿäïåðåñòàë áû ñóììèðîâàòüñÿ ìåòîäîì ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ.3. Ðàññìîòðèì ìåòîä ñóììèðîâàíèÿ T : äëÿ ðÿäàââîäÿòñÿ ÷àñòè÷íûå ñóììû Sn =nP∞Pann=1ak , ñðåäíèå àðèô-k=1Sn+1 + Sn+2 + · · · + S2nìåòè÷åñêèå vn =, à ðåçóëüòànòîì ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà T íàçîâ¼ì ïðåäåë v = lim vnn→∞(÷èñëî èëè êàêîé-ëèáî èç áåñêîíå÷íûõ ñèìâîëîâ), åñëèP∞ýòîò ïðåäåë èìååò ñìûñë. Òàêèì îáðàçîì, Tan == v . Äîêàçàòü, ÷òîn=1à) ìåòîä T ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì;á) ìåòîä T ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì;â) ìåòîä T ÿâëÿåòñÿ âïîëíå ðåãóëÿðíûì;ã) åñëè êàêîé-ëèáî ðÿä ñóììèðóåòñÿ ìåòîäîì ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ ê ÷èñëó σ , òî îí ñóììèðóåòñÿ òàêæå ðàññìàòðèâàåìûì ìåòîäîì T ê òîìó æå÷èñëó.814. Ñóììèðîâàíèå ðÿäîâ4. Íàéòè îáîáù¼ííûå çíà÷åíèÿ ñëåäóþùèõ èíòåãðàëîâ:à)á)â)ã)+∞Rarctg x dx;ä)+∞R00+∞R+∞Rarctg x2 dx;å)00+∞R+∞Rsin x dx;æ)10+∞R+∞R1cos x dx;ç)0x cos x2 dx;x sin x2 dx;ex cos ex dx;ex sin ex dx.×ÀÑÒÜ IIÔóíêöèîíàëüíûåïîñëåäîâàòåëüíîñòèè ðÿäû84II.
Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÇäåñü áóäóò èçó÷àòüñÿ ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû, òî åñòü òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ óæå íå ÷èñëà, à ôóíêöèè . Ìûîãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò îäíîé äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé x, õîòÿ ðåçóëüòàòû, êîòîðûå áóäóòïîëó÷åíû, êàê ïðàâèëî, ñïðàâåäëèâû â áîëåå îáùåì ñëó÷àå.Òàê æå, êàê â ñëó÷àå ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ, íîìåð íà÷àëüíîãî ýëåìåíòà ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èëè íà÷àëüíîå çíà÷åíèå èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå åäèíèöû.5. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòüÈòàê, ìû áóäåì èçó÷àòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè∞fn (x) n=1è ðÿäû∞Xun (x),(5.1)(5.2)n=1ýëåìåíòû êîòîðûõ fn (x) (è, ñîîòâåòñòâåííî, un (x)) íåêîòîðûå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé x.5.1.
Ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòèÌíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ñõîäèìîñòèôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (5.1) (ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (5.2)), åñëè, âî-ïåðâûõ, íà ìíîæåñòâå X äëÿ âñåõ nîïðåäåëåíû ôóíêöèè fn (x) îïðåäåëåíû ôóíêöèè un (x) è,855. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòüâî-âòîðûõ, äëÿ êàæäîãî x0 ∈ X ñõîäèòñÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäî∞∞ Pâàòåëüíîñòü fn (x0 ) n=1 ñõîäèòñÿ ÷èñëîâîé ðÿäun (x0 ) .n=1Àíàëîãè÷íî äëÿ ðÿäà (5.2) ìîæíî îïðåäåëèòü ìíîæåñòâààáñîëþòíîé è óñëîâíîé ñõîäèìîñòè.Ïóñòü X ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}∞n=1 , òî åñòü äëÿ âñÿêîãî x ∈ X ñóùåñòâóåò lim fn (x).
Ýòîò ïðåäåë, åñòåñòâåííî, çàâèñèò îòn→∞òî÷êè x ∈ X , ïîýòîìó îáîçíà÷èì åãîf (x) = lim fn (x).n→∞Ôóíêöèþ f (x) íàçûâàþòïðåäåëüíîéôóíêöèåé ôóíêöèî-íàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}∞n=1 . Àíàëîãè÷íî, åñëè∞PX ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäàun (x)n=1(íå âàæíî êàêîé, àáñîëþòíîé èëè óñëîâíîé), òî íà ìíîæå∞Pñòâå X ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå ñóììû ðÿäà S(x) =un (x).n=1Ðàçóìååòñÿ, åñëè èçó÷àòü ëèøü ñõîäèìîñòü è âåëè÷èíóïðåäåëà (ñóììû) ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (5.1) è ó ðÿäà (5.2)â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå x ∈ X , òî ïðè ýòîì íå áóäåò íè÷åãîíîâîãî ïî ñðàâíåíèþ ñ èçó÷åíèåì ýòèõ âîïðîñîâ äëÿ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ ñ ïàðàìåòðîì x.
Íîâèçíà ïîÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè èçó÷åíèè óñëîâèé (äîñòàòî÷íûõ, íåîáõîäèìûõ) ñîõðàíåíèÿ èëè ïîÿâëåíèÿ òåõ èëè èíûõôóíêöèîíàëüíûõ ñâîéñòâ ó ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëèáî ñóììû ôóíêöèîíàëüíîãîðÿäà, òàêèõ êàê íåïðåðûâíîñòü, äèôôåðåíöèðóåìîñòü è òîìó ïîäîáíîå.86II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÏ ð è ì å ð û. Âî âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ïðèìåðàõ ìíîæåñòâî X = [0, 1], à f (x) ïðåäåëüíàÿ∞ ôóíêöèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) n=1 .n1.
fn (x) = x ,2.3.4.5.0, 0 6 x < 1,1,x = 1.1,x = 0,0, 0 < x 6 1.f (x) =1,fn (x) =1 + nxxfn (x) =,1 + n 2 x2nxfn (x) =,1 + n 2 x22 2fn (x) = n2 xe−n x ,f (x) =f (x) ≡ 0.f (x) ≡ 0.f (x) ≡ 0.Óñòàíîâèì, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) èìååò óêàçàííûé âèä.1. Åñëè x ∈ [0, 1), òî lim xn = 0. Åñëè æå x = 1, òîn→∞lim xn = lim 1n = lim 1 = 1.n→∞n→∞n→∞2. Åñëè x = 0, òî f (0) = lim fn (0) = lim 1 = 1. Åñëèn→∞n→∞æå x ∈ (0, 1], òî ïðè n → ∞ çíàìåíàòåëü 1 + nx íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, è ïîýòîìó äëÿ ýòèõ x çíà÷åíèå f (x) == lim fn (x) = 0.n→∞3. Åñëè x = 0, òî f (0) = lim fn (0) = lim 0 = 0.
Åñëèn→∞n→∞æå x ∈ (0, 1], òî ïðè n → ∞ ÷èñëèòåëü x íå çàâèñèò îò n, àçíàìåíàòåëü 1 + n2 x2 íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, è ïîýòîìóäëÿ ýòèõ x çíà÷åíèå f (x) = lim fn (x) = 0.n→∞4. Åñëè x = 0, òî f (0) = lim fn (0) = lim 0 = 0. Åñëèn→∞n→∞æå x ∈ (0, 1], òî ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó äëÿ fn (x) ê âèäó5. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü871. Ìû âèäèì, ÷òî ïðè n → ∞ çíàìåíàòåëü1+ nxnx1+ nx íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, è ïîýòîìó äëÿ x ∈ (0, 1]nxçíà÷åíèå f (x) = lim fn (x) = 0.fn (x) =n→∞5.
Åñëè x = 0, òî f (0) = lim fn (0) = lim 0 = 0. Åñëè æån→∞n→∞x ∈ (0, 1], òî ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó äëÿ fn (x) ê âèäó fn (x) =n2 x= n2 x2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè x ∈ (0, 1] çíà÷åíèå f (x) =en2 x= lim fn (x) = 0 (â òîì, ÷òî lim fn (x) = lim n2 x2 = 0 ìîæn→∞n→∞n→∞ et2 xíî óáåäèòüñÿ, íàõîäÿ ïðåäåë lim t2 x2 ïðè ôèêñèðîâàííîìt→+∞ ex ∈ (0, 1] ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ).Òàêèì îáðàçîì, â ïîñëåäíèõ òð¼õ ïðèìåðàõ ïðè ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå íåïðåðûâíîñòü ñîõðàíèëàñü, à â ïåðâûõ äâóõïðèìåðàõ íåò.5.2.
Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòüÏðåæäå ÷åì ãîâîðèòü îá ýòîì íîâîì ïîíÿòèè (ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü), óòî÷íèì ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè ôóíêöèî∞íàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) n=1 ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f (x) â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà X .∞Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà X (èëè, êàêáóäåì ãîâîðèòü, ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ), åñëè äëÿ âñÿêîãîx ∈ X äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõíîìåðîâ n > N àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |fn (x) − f (x)| < ε.88II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÏîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáîçíà÷àåòñÿ òàê:x ∈ X,lim fn (x) = f (x),n→∞(5.3)èëè, áåç çíàêà ïðåäåëà,fn (x) → f (x),x ∈ X.(5.4)Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî íîìåð N , êîòîðûé íàéä¼òñÿ äëÿëþáîãî ε > 0, è çàâèñÿùèé, åñòåñòâåííî, îò ýòîãî ε, çàâèñèòòàêæå è îò òî÷êè x ìíîæåñòâà X .Òåïåðü ââåä¼ì ïîíÿòèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè.∞Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèèf (x), åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿâñåõ íîìåðîâ n > N è äëÿ âñåõ x ∈ X àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |fn (x) − f (x)| < ε.Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáîçíà÷àåòñÿ òàê:fn (x) ⇒ f (x) íà X.èëè òàê:Xfn (x) ⇒ f (x).(5.5)(5.6)Çäåñü ìû âèäèì, ÷òî íîìåð N , ïî-ïðåæíåìó çàâèñÿùèéîò ε > 0, óæå îò x ∈ X íå çàâèñèò , è ñëåäîâàòåëüíî, ãîäèòñÿ äëÿ âñåõ òî÷åê x ìíîæåñòâàX ñðàçó .
Ïîýòîìó åñ∞ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íàìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f (x), òî îíà ñõîäèòñÿ è ïîòî÷å÷íî,ïðè÷¼ì ê òîé æå ñàìîé ôóíêöèè f (x). Ýòî çàìå÷àíèå íàìïîíàäîáèòñÿ â äàëüíåéøåì.5. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü89Åñëè ïîíÿòèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîéïîñëåäîâàòåëüíîñòèê ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîïðèìåíèòü∞âàòåëüíîñòè Sn (x) n=1 ÷àñòè÷íûõ ñóìì ôóíêöèîíàëüíîãî∞Pðÿäàun (x), òî åñòün=1Sn (x) = u1 (x) + u2 (x) + · · · + un (x),òî ïîëó÷èòñÿ ïîíÿòèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.∞PÔóíêöèîíàëüíûé ðÿäun (x) íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíîn=1íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè S(x), åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > Nè äëÿ âñåõ x ∈ X àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |Sn (x) − S(x)| < ε.Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (ïîäîáíî (5.5) è (5.6)) îáîçíà÷àåòñÿ òàê:ñõîäÿùèìñÿ∞Xun (x) ⇒ S(x) íà X.(5.7)n=1èëè òàê:∞XX(5.8)un (x) ⇒ S(x).n=1Xßñíî, ÷òî åñëè fn (x) ⇒ f (x), òî äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåYñòâà Y ⊂ X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) ⇒ f (x), òàê êàê íåðàâåíñòâî |fn (x) − f (x)| < ε, âåðíîå äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > Nè äëÿ âñåõ x ∈ X , î÷åâèäíî, âûïîëíÿåòñÿ äëÿ òåõ æå íîìåðîâ n è äëÿ âñåõ x ∈ Y .
Ýòî çàìå÷àíèå, ñïðàâåäëèâîå,ðàçóìååòñÿ, è äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ íàìè íèæå.90II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÐàññìîòðèì ïðèìåðû, ïðèâåä¼ííûå â êîíöå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà, ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîíÿòèÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè.1> 0 è äëÿ ëþáîãî íîìåðà N óêàæåì1. Âîçüì¼ì ε =2 11 níîìåð n = N + 1 > N è x =∈ (0, 1) ⊂ [0, 1]. Íî21òîãäà |fn (x) − f (x)| = fn (x) = xn == ε. Ýòî îçíà÷àåò,2X÷òî fn (x) 6⇒ f (x).1> 0 è äëÿ ëþáîãî íîìåðà N21óêàæåì íîìåð n = N + 1 > N è x =∈ (0, 1] ⊂ [0, 1].n11= = ε.
Ýòî îçíà÷àåò,Òîãäà |fn (x)−f (x)| = fn (x) =1 + nx22. Îïÿòü âîçüì¼ì ε =X÷òî è çäåñü fn (x) 6⇒ f (x).13. Äëÿ ëþáîãî ε > 0 óêàæåì íîìåð N =, ãäå êâàä2εðàòíûå ñêîáêè îçíà÷àþò öåëóþ ÷àñòü, â ñèëó îïðåäåëåíèÿ1− 1. Íî òîãäà äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N ,êîòîðîé íîìåð N >2ε1òî åñòü äëÿ n >è äëÿ ëþáîãî x ∈ X = [0, 1] èìååì,2εnx1111= ·6(âîîá÷òî |fn (x) − f (x)| = ·221n 1+n xn2nnx +nxùå ãîâîðÿ, ýòî íåðàâåíñòâî óñòàíîâëåíî ëèøü äëÿ x ∈ (0, 1],íî î÷åâèäíî, ÷òî îíî âåðíî è äëÿ x = 0). Òàêèì îáðàçîì,äëÿ âñåõ n > N è äëÿ âñåõ x ∈ [0, 1] àáñîëþòíàÿ âåëè÷èX1íà |fn (x) − f (x)| 6< ε, òî åñòü fn (x) ⇒ f (x).2n5.
Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü914. È çäåñü, ïîäîáíî ïåðâûì äâóì ïðèìåðàì, âîçüì¼ì ε =1= > 0 è äëÿ ëþáîãî íîìåðà N óêàæåì íîìåð n = N+1 > N2nx1∈ [0, 1]. Òîãäà |fn (x) − f (x)| = fn (x) ==èx=n1 + n 2 x2X1= = ε. Òàêèì îáðàçîì, fn (x) 6⇒ f (x).215. Çäåñü âîçüì¼ì ε => 0 è äëÿ ëþáîãî íîìåðà Ne1óêàæåì íîìåð n = N + 1 > N è x =∈ [0, 1]. Íî òîn1n2 2>= ε, òîãäà |fn (x) − f (x)| = fn (x) = n2 xe−n x =eeXåñòü fn (x) 6⇒ f (x).Èòàê, â ÷åòûð¼õ èç ïÿòè ïðèìåðîâ ìû âèäèì, ÷òî ïîñëåXäîâàòåëüíîñòü fn (x) 6⇒ f (x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
