Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 6
Текст из файла (страница 6)
15, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íåðàâåíñòâî (2.34) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ n = 1, 2, 3, . . .. Óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî íàan+1 > 0, ïîëó÷àåìcn an − cn+1 an+1 > d · an+1 .(2.36)Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî bn ≡ cn an −cn+1 an+1 > 0, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {cn an }∞n=1 ñòðîãî óáûâàåò, à òàê êàê cn an > 0,òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë: lim cn an = b > 0.n→∞∞PÏîýòîìó ðÿäbn ñõîäèòñÿ, òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòün=1åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì {Sn }∞n=1 èìååò ïðåäåë, ïîñêîëüêó Sn == b 1 + b 2 + · · · + b n = c 1 a1 − c 2 a2 + c 2 a2 − c 3 a3 + · · · + c n an −−cn+1 an+1 = c1 a1 − cn+1 an+1 ñòðåìèòñÿ ê ÷èñëó c1 a1 − b.
Íî452. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäûòîãäà èç íåðàâåíñòâà (2.36) ïî òåîðåìå 2.2 âûòåêàåò ñõîäè∞Pìîñòü ðÿäàd · an+1 , à îòñþäà è èç òåîðåìû 1.1 ñëåäóåò,÷òî ðÿän=1∞Pan ñõîäèòñÿ.n=1Óñòàíîâèì òåïåðü âòîðîå óòâåðæäåíèå. Èç (2.35) âûòåêàåò, ÷òîcn11an+1>=:, n > n0 .ancn+1cn+1 cn∞PÎòñþäà è èç (2.33) ïî òåîðåìå 2.6 ñëåäóåò, ÷òî ðÿäanðàñõîäèòñÿ. Òåîðåìà äîêàçàíà.n=1Ñ ë å ä ñ ò â è å (ïðèçíàê Êóììåðà â ïðåäåëüíîé ôîðìå).Åñëè an > 0 èanlim cn ·− cn+1 = d,(2.37)n→∞an+1∞Pãäå {cn }∞óäîâëåòâîðÿåò(2.33),òîïðèd>0ðÿäann=1n=1ñõîäèòñÿ, à ïðè d < 0 ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Åñëè d êîíå÷íîå ÷èñëî, òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿn0 , òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > n0 àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíàíîìåða cn · n − cn+1 − d < ε, òî åñòü èìååò ìåñòî äâîéíîåan+1íåðàâåíñòâîan− cn+1 < d + ε, n > n0 .(2.38)d − ε < cn ·an+1dÏóñòü d > 0 è êîíå÷íîå ÷èñëî.
Âîçüì¼ì ε => 0.2Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî ñîãëàñíî ïåðâîìó èçíåðàâåíñòâ (2.38) äëÿ âñåõ n > n0 èìååò ìåñòîcn ·ddan− cn+1 > d − = = d1 > 0.an+12246I. ×èñëîâûå ðÿäûÑëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.8 ðÿä∞Pëè æå d = +∞, òî ðÿä∞Pan ñõîäèòñÿ. Åñ-n=1an òàêæå ñõîäèòñÿ.
Äåéñòâèòåëü-n=1íî, â ýòîì ñëó÷àå íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõn > n0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîcn ·∞Pè ïîýòîìó ðÿäan− cn+1 > 1an+1an òàêæå ñõîäèòñÿ ïî òåîðåìå 2.8.n=1Ïóñòü d < 0 è êîíå÷íîå ÷èñëî. Âîçüì¼ì ε = −d > 0.Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî ñîãëàñíî âòîðîìó èçíåðàâåíñòâ (2.38) äëÿ âñåõ n > n0 èìååò ìåñòîcn ·an− cn+1 < d − (−d) = 0.an+1Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.8 ðÿäÅñëè æå d = −∞, òî ðÿä∞P∞Pan ðàñõîäèòñÿ.n=1an òàêæå ðàñõîäèòñÿ. Äåéñòâè-n=1òåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî äëÿâñåõ n > n0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîcn ·è ïîýòîìó ðÿä∞Pan− cn+1 6 0an+1an òàêæå ñõîäèòñÿ ïî òåîðåìå 2.8. Ñëåä-n=1ñòâèå äîêàçàíî.Îòìåòèì, ÷òî åñëè ïðåäåë â (2.37) íå ñóùåñòâóåò, èëè åãîâåëè÷èíà d = 0, òî äàííûé ïðèçíàê íå äà¼ò îòâåòà íà âî∞Pïðîñ î òîì, ñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ èññëåäóåìûé ðÿäann=1472.
Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäû(âîçìîæíî, ÷òî äëÿ èññëåäîâàíèÿ íàäî âçÿòü êàêóþ-ëèáî∞äðóãóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {cn }n=1 , ðàçóìååòñÿ, óäîâëåòâîðÿþùóþ (2.33)).Óñòàíîâèì, ÷òî â ïðèçíàêå Êóììåðà ïðè íàäëåæàùåìïîäáîðå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {cn }∞n=1 ñîäåðæàòñÿ ïðèçíàêèÄàëàìáåðà è Ðààáå. Îãðàíè÷èìñÿ äëÿ ïðîñòîòû ëèøü ïðåäåëüíûìè ôîðìàìè.Âîçüì¼ì cn = 1. ßñíî, ÷òî óñëîâèå (2.33) âûïîëíÿåòñÿ, àðàâåíñòâî (2.37) ïåðåõîäèò â ðàâåíñòâî (2.17) íà ñ.
33. Ïðè1ýòîì d = − 1 (åñëè q = 0, òî d = +∞, à åñëè q = +∞,qòî d = −1). Òàêèì îáðàçîì, èç ïðèçíàêà Êóììåðà ïîëó÷èëñÿ ïðèçíàê Äàëàìáåðà, òàê êàê èç ñõîäèìîñòè (ðàñõîäèìîñòè) ðÿäà ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà âûòåêàåò àíàëîãè÷íîåïîâåäåíèå ýòîãî æå ðÿäà ïî ïðèçíàêó Êóììåðà.Âîçüì¼ì cn = n. ßñíî, ÷òî óñëîâèå (2.33) âûïîëíÿåòñÿ, à ðàâåíñòâî (2.37) ïåðåõîäèò â ðàâåíñòâî (2.30). Ïðèýòîì d = r − 1. Òàêèì îáðàçîì, èç ïðèçíàêà Êóììåðà ïîëó÷èëñÿ ïðèçíàê Ðààáå, òàê êàê èç ñõîäèìîñòè (ðàñõîäèìîñòè)ðÿäà ïî ïðèçíàêó Ðààáå âûòåêàåò àíàëîãè÷íîå ïîâåäåíèåýòîãî æå ðÿäà ïî ïðèçíàêó Êóììåðà.∞PÒ å î ð å ì à 2.9 (ïðèçíàê Ãàóññà).
Åñëè äëÿ ðÿäàan ,n=1â êîòîðîì an > 0, íàéäóòñÿ íîìåð n0 è ÷èñëà λ, µ, α > 0anìîæíî ïðåäñòàâèòü âè C > 0 òàêèå, ÷òî îòíîøåíèåan+1âèäåanµθn= λ + + 1+α ,an+1n nòî1) ïðè λ > 1 ðÿä∞Pn=1|θn | 6 Can ñõîäèòñÿ;äëÿ âñåõ n > n0 , (2.39)48I. ×èñëîâûå ðÿäû2) ïðè λ < 1 ðÿä∞Pan ðàñõîäèòñÿ;n=13) ïðè λ = 1 è µ > 1 ðÿä4) ïðè λ = 1 è µ 6 1 ðÿä∞Pn=1∞Pan ñõîäèòñÿ;an ðàñõîäèòñÿ.n=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Èç (2.39) âûòåêàåò, ÷òî ïðåäåë îòan+11an= λ, òî åñòü lim= q =(åñíîøåíèÿ limn→∞ ann→∞ an+1λëè λ = 0, òî q = +∞). Ïîýòîìó ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà â ïðåäåëüíîé ôîðìå (ñì.
ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2.4)ïåðâîå è âòîðîå óòâåðæäåíèÿ íàñòîÿùåé òåîðåìû óñòàíîâëåíû.Ïóñòü λ = 1.  ýòîì ñëó÷àå èç (2.39) âûòåêàåò, ÷òî ïðåanθnäåë lim n− 1 = lim µ + α = µ. Ïîýòîìó ñîn→∞n→∞an+1nãëàñíî ïðèçíàêó Ðààáå â ïðåäåëüíîé ôîðìå (ñì. ñëåäñòâèå∞Pèç òåîðåìû 2.7) ðÿäan ñõîäèòñÿ ïðè µ > 1 è ðàñõîäèòñÿn=1ïðè µ < 1. Ñëåäîâàòåëüíî òðåòüå óòâåðæäåíèå íàñòîÿùåéòåîðåìû è å¼ ÷åòâ¼ðòîå óòâåðæäåíèå ïðè µ < 1 óñòàíîâëåíû.Ïóñòü òåïåðü λ = µ = 1. Ðàññìîòðèì ðÿä (2.14) ïðè p =∞X1, â êîòîðîì cn = n ln n.= 1, òî åñòü ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿäcnn=2anÑîãëàñíî (2.39) ïðåäåë lim cn ·− cn+1 =n→∞an+1θn1= lim n ln n 1 + + 1+α − (n + 1) ln(n + 1) =n→∞n n492. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäûθn ln n= lim (n + 1) ln n +− (n + 1) ln(n + 1) =n→∞nα1ln n= lim (n + 1) ln 1 −+ θn · α = −1n→∞n+1nln n1= −1, à lim α =(â òîì, ÷òî lim (n + 1) ln 1 −n→∞ nn→∞n+1ln(1 − u)== 0, ëåãêî óáåäèòüñÿ, âû÷èñëèâ ïðåäåëû limu→0+0uln t= −1 è lim α = 0, íàïðèìåð, ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ).t→+∞ tÏîýòîìó ñîãëàñíî ïðèçíàêó Êóììåðà â ïðåäåëüíîé ôîðìå∞P(ñì.
ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2.8) ðÿäan ðàñõîäèòñÿ. Ñëåäîn=1âàòåëüíî, ÷åòâ¼ðòîå óòâåðæäåíèå íàñòîÿùåé òåîðåìû îêîí÷àòåëüíî óñòàíîâëåíî. Òåîðåìà äîêàçàíà.2.5. Î ïîðÿäêå ðîñòà ÷àñòè÷íûõ ñóìì ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäàÇàêàí÷èâàÿ ýòîò ïàðàãðàô, ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíîïîâåäåíèå ÷àñòíûõ ñóìì ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà (1.11). Îáîçíà÷èì1 11Hn = 1 + + + · · · +(2.40)2 3nè ââåä¼ì ñëåäóþùóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }∞n=1 :xn = Hn − ln n = 1 +1 11+ + · · · + − ln n.2 3n(2.41)Èç ïåðâîãî èç íåðàâåíñòâ äâîéíîãî íåðàâåíñòâà (2.10), ïîëó÷åííîãî ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2.3 (ñì.
òàêæå ãðàôèê50I. ×èñëîâûå ðÿäû1, î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿþx11 1ùåé óñëîâèÿì ýòîé òåîðåìû, èìååì, ÷òî 1 + + + · · · + >2 3nn+1Zdx>= ln(n+1), òî åñòü xn > ln(n+1)−ln n > 0 äëÿ âñåõxíà ñ. 28), äëÿ ôóíêöèè f (x) =1íîìåðîâ n. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }∞n=1îãðàíè÷åíà ñíèçó .
Äàëåå, ñîãëàñíî (2.41), ðàçíîñòü äâóõ ñî1ñåäíèõ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn+1 −xn = 1 + + · · · +2 11111− ln(n + 1) − 1 + + · · · + − ln n =++ +n n+12nn+1n11+ ln=+ ln 1 −. Ýòà ñóììà îòðèöàn+1n+1n+1òåëüíà âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ó ôóíêöèè f (x) = ln(1 + x)1< 0, è ïîýòîìó êðèâòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ f 00 (x) = −(1 + x)2âàÿ y = ln(1+x) ñòðîãî âûïóêëà ââåðõ , òî åñòü ëåæèò íèæåëþáîé ñâîåé êàñàòåëüíîé, â òîì ÷èñëå êàñàòåëüíîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (0; 0). Èòàê, xn+1 − xn < 0, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }∞n=1 ñòðîãî óáûâàåò , ñëåäîâàòåëüíî,ñóùåñòâóåòlim xn = lim (Hn − ln n) = C.n→∞n→∞Âåëè÷èíà C íîñèò íàçâàíèåâ ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò, ÷òîïîñòîÿííîé Ýéëåðà .(2.42)Èç (2.42),Hn ∼ ln n,òî åñòü ÷àñòíûå ñóììû Hn ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà (1.11) ñ ðîñòîì n âîçðàñòàþò êàê ln n.512.
Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäû2.6. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû1.à) Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå:∞Pan= 0 è ðÿäbnn→∞ bnn=1Ïóñòü an > 0, bn > 0, limñõîäèòñÿ. Òîãäà ðÿä∞Pan òàêæå ñõîäèòñÿ.n=1á) Åñëè æå ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ðÿäñÿ, òî ïðî ñõîäèìîñòü ðÿäà∞P∞Pbn ðàñõîäèò-n=1an íè÷åãî ñêàçàòün=1íåëüçÿ. Ïðèâåñòè ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèìåðû.2.à) Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå:∞Pan= +∞ è ðÿäann→∞ bnn=1∞Pðàñõîäèòñÿ. Òîãäà ðÿäbn òàêæå ðàñõîäèòñÿ.Ïóñòü an > 0, bn > 0, limn=1á) Åñëè æå ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ðÿäïðî ñõîäèìîñòü ðÿäà∞P∞Pan ñõîäèòñÿ, òîn=1bn íè÷åãî ñêàçàòü íåëüçÿ.n=1Ïðèâåñòè ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèìåðû.∞P3.
Ïðèâåñòè ïðèìåð ðàñõîäÿùåãîñÿ ðÿäàan , ó êîòîðîn=1an+1< 1.ãî an > 0 è îòíîøåíèåan∞P4. Ïðèâåñòè ïðèìåð ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäàan , ó êîòîðîãîn=1an+1an > 0, à ïðåäåë limíå ñóùåñòâóåò.n→∞ an52I. ×èñëîâûå ðÿäû∞P5. Ïðèâåñòè ïðèìåð ðàñõîäÿùåãîñÿ ðÿäàan , ó êîòîðîn=1an+1íå ñóùåñòâóåò.ãî an > 0, à ïðåäåë limn→∞ an6.à) Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå:∞Pan+1Ïóñòü an > 0 è lim= q < 1. Òîãäà ðÿäann→∞ ann=1ñõîäèòñÿ.∞Pá) Ïðèâåñòè ïðèìåð ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäàan , ó êîn=1an+1= q > 1.òîðîãî limn→∞ an7.
Ïðèâåñòè ïðèìåð ðàñõîäÿùåãîñÿ çíàêîïîëîæèòåëüíî∞pPnãî ðÿäàan , ó êîòîðîãî an < 1.n=18. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ñõîäÿùåãîñÿ çíàêîïîëîæè∞∞PPòåëüíîãî ðÿäàan è äëÿ âñÿêîãî p > 1 ðÿäapnn=1n=1òàêæå ñõîäèòñÿ.9. Ïðèâåñòè ïðèìåð ñõîäÿùåãîñÿ çíàêîïîëîæèòåëüíîãî∞∞PPðÿäàan , ÷òî äëÿ âñÿêîãî p < 1 ðÿäapn ðàñõîn=1n=1äèòñÿ.∞X1, òî åñòü äëÿ ðÿpnlnnn=2äîâ (2.14), ïðè ëþáîì p ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (2.32):10. Óñòàíîâèòü, ÷òî äëÿ ðÿäîâlim nn→∞an− 1 = 1.an+1533. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû3. Çíàêîïåðåìåííûå ÷èñëîâûå ðÿäû ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì çíàêîïåðåìåííûå ÷èñëîâûå ðÿäû ðÿäû, â êîòîðûõ êàê óãîäíî äàëåêî âñòðå÷àþòñÿ êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå ñëàãàåìûå,òî åñòü äëÿ âñÿêîãî N íàéäóòñÿ íîìåðà n1 > N è n2 > N ,òàêèå, ÷òî an1 > 0, an2 < 0.Äåëî â òîì, åñëè ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå ñëàãàåìûå âñòðå÷àþòñÿ ëèøü äî îïðåäåë¼ííîãî íîìåðà, à çàòåìçíàê ÷ëåíîâ ðÿäà ñòàáèëèçèðóåòñÿ, òî ïîñëå îòáðàñûâàíèÿíåñêîëüêèõ ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà (÷òî, êàê óæå îòìå÷àëîñü íàñ.
15, íå âëèÿåò íà ñõîäèìîñòü ðÿäà, à âëèÿåò ëèøü íà ñóììóðÿäà â ñëó÷àå åãî ñõîäèìîñòè) ìû ïîëó÷àåì ëèáî çíàêîïîëîæèòåëüíûé ðÿä, ëèáî ðÿä çíàêîîòðèöàòåëüíûé , êîòîðûéñòàíîâèòñÿ çíàêîïîëîæèòåëüíûì ïîñëå âûíåñåíèÿ îáùåãîçíàêà ìèíóñ çà çíàê ñóììû. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû óæåóïîìèíàëèñü íà ñ. 25, êîãäà øëà ðå÷ü î òîì, ÷òî äëÿ çíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà ñõîäèìîñòü ýêâèâàëåíòíà îãðàíè÷åííîñòè åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì.3.1. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòüÐÿä∞P∞Pan íàçûâàåòñÿàáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ ,åñëè ðÿän=1|an | ñõîäèòñÿ.n=1Ýòî ïîíÿòèå, ðàçóìååòñÿ, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü äëÿ ëþáîãî ðÿäà, íî èíòåðåñ îíî ïðåäñòàâëÿåò ëèøü äëÿ ðÿäà çíàêîïåðåìåííîãî, òàê êàê äëÿ çíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü òîæäåñòâåííà ñõîäèìîñòè.∞∞PPÒ å î ð å ì à 3.1. Åñëè ðÿä|an | ñõîäèòñÿ, òî ðÿäann=1n=1òàêæå ñõîäèòñÿ.54I.
×èñëîâûå ðÿäûÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.∞PÒàê êàê ðÿä|an | ñõîäèòñÿ, òîn=1äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ êðèòåðèé Êîøè (ñì. òåîðåìó 1.3), òîåñòü äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n è m òàêèõ, ÷òî m > n > N , èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîmP|ak | < ε. Íî òîãäà äëÿ ýòèõ æå íîìåðîâ n è m àáñîëþòk=n+1 PmP mak 6|ak | < ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
