Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ïóñòü ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an }∞n=1 ìîíîòîííà è îãðàíè÷åíà, òî åñòü íàéä¼òñÿ K > 0, ÷òî äëÿ âñåõ n àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |an | 6 K ,∞Pà ðÿäbn ñõîäèòñÿ. Òîãäà ðÿän=1∞Xan b nñõîäèòñÿ.n=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Òàê æå, êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåé òåîðåìû, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî {an }∞n=1 ìîíîòîííî íå âîçðàñòàåò, òî åñòüa1 > a2 > . . . > an > an+1 > . . . ,|an | 6 K.Îáîçíà÷èì ñóììó ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäàåñòü∞Pn=1∞P(3.18)bn ÷åðåç B , òîn=1bn = B .
Òàê êàê B = lim Bn , ãäå Bn = b1 + b2 +n→∞+ · · · + bn , òî ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà äëÿ ëþáîãî ε > 0íàéä¼òñÿ íîìåð N , òàêîé, ÷òîε, n > N.(3.19)|Bn − B| <4KÏóñòü n è m òàêîâû, ÷òî m > n > N . Òîãäà èç ïðåîáðàçîâàíèÿ Àáåëÿ (3.14) ïðè D = B , ôîðìóëû (3.18) è íåðàâåíñòâà (3.19) âûòåêàåò, ÷òî P mak bk 6 |am (Bm − B)| + |an+1 (Bn − B)| +k=n+1Pεε m−1+(ak − ak+1 )(Bk − B) < K ·+K ·+4K4Kk=n+1633. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûm−1Pεε ε= + +4K4 4k=n+1ε+(an+1 − an+2 + an+2 − an+3 + · · · + am−1 − am ) =4Kεεεε(an+1 − am ) 6 +(|an+1 | + |am |) <= +2 4K2 4Kεεε ε< +· 2K = + = ε.2 4K2 2∞PÝòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ðÿäàan bn âûïîëíÿåòñÿ êðèòåðèé+(ak − ak+1 ) ·n=1Êîøè, ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 1.3 ðÿä∞Pan bn ñõîäèòñÿ.n=1Òåîðåìà äîêàçàíà.Îòìåòèì, ÷òî èç ïðèçíàêà Äèðèõëå ìîæíî âûâåñòè ïðèçíàê Àáåëÿ è ïðèçíàê Ëåéáíèöà.∞PÂûâåäåì ïðèçíàê Àáåëÿ.
Òàê êàê ðÿäbn ñõîäèòñÿ, òîn=1åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè, à òàê êàêïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an }∞n=1 ìîíîòîííà è îãðàíè÷åíà, òî îíàèìååò ïðåäåë. Ïóñòü lim an = a. Òîãäàn→∞∞Xn=1an b n =∞∞∞XXXabn .(an − a)bn +(an − a + a)bn =n=1n=1n=1Ïåðâûé ðÿä ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå (ïî òåîðåìå 3.3),à âòîðîé ïî òåîðåìå 1.1.Âûâåäåì ïðèçíàê Ëåéáíèöà. Îáîçíà÷èì an = un , bn == (−1)n−1 . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an }∞n=1 ìîíîòîííî∞Pñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäàbn , ïîïåðån=1ìåííî ðàâíûå 1 èëè 0, îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè.
Ñëåäîâàòåëüíî, çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâè-64I. ×èñëîâûå ðÿäûÿì ïðèçíàêà Ëåéáíèöà (òåîðåìû 3.2), ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêóÄèðèõëå.Ï ð è ì å ð. Ðàññìîòðèì ðÿäû∞Xan cos nx(3.20)an sin nx(3.21)n=1∞Xn=1ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ x è íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà ðÿä∞Pan . Ïóñòü ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî åñòü ðÿän=1∞X|an | < +∞.(3.22)n=1Òàê êàê |an cos nx| 6 |an |, |an sin nx| 6 |an |, x ∈ (−∞, +∞),òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (3.22) ðÿäû (3.20) è (3.21) ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî äëÿ ëþáîãî x ∈ (−∞, +∞).Ïóñòü òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an }∞n=1 , ìîíîòîííî íåâîçðàñòàÿ, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ïðè÷¼ì çíàêîïîëîæèòåëüíûé∞Pðÿäan ðàñõîäèòñÿ, òî åñòün=1a1 > a2 > . . . > an > an+1 > . .
. ,∞Plim an = 0,an = +∞.n→∞(3.23)n=1Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ðÿä (3.20). Òàê êàê ïðè x = 2kπ ,ãäå k ∈ Z, çíà÷åíèÿ cos nx = 1, òî èç (3.23) ñëåäóåò, ÷òîäëÿ ýòèõ x ðÿä (3.20) ðàñõîäèòñÿ. Ïóñòü x 6= 2kπ (k ∈ Z).xÒîãäà sin 6= 0 è ïîýòîìó cos x + cos 2x + · · · + cos nx =2653. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûxxx2sincosx+2sincos2x+...+2sincosnx=x2222 sin23xx5x3x11=x sin 2 −sin 2 +sin 2 −sin 2 +. . .+sin n + 2 x−2 sin2 11x1− sin n −x =x sin n + 2 x − sin 2 , òî åñòü22 sin21xsin n +x − sin22cos x + cos 2x + · · · + cos nx =.
(3.24)x2 sin2=1Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñóììûêànPcos kx ñïðàâåäëèâà îöåí-k=11| cos x + cos 2x + · · · + cos nx| 6 x .sin 2(3.25)Èç (3.23) è (3.25) âûòåêàåò, ÷òî äëÿ èññëåäóåìîãî ðÿäà âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 3.3, ïîýòîìó ðÿä (3.20) ïðèx 6= 2kπ , ãäå k ∈ Z, ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå.Âûÿñíèì õàðàêòåð ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà. Åñëè x = π +∞∞∞PPP+2kπ (k ∈ Z), òî|an cos nx| =an |(−1)n | =an =n=1n=1n=1= +∞, òî åñòü ïðè x = π + 2kπ (k ∈ Z) ðÿä (3.20) ñõîäèòñÿ óñëîâíî. Äëÿ îñòàëüíûõ çíà÷åíèé x (x 6= mπ , m ∈ Z)çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó | cos α| 6 1, òî | cos α| > cos2 α, èïîýòîìó∞X∞X∞1Xan cos nx =an (1+cos 2nx).
(3.26)|an cos nx| >2 n=1n=1n=1266I. ×èñëîâûå ðÿäûÏîñëåäíèé ðÿä ñîñòîèò èç äâóõ ðÿäîâ, ïåðâûé èç êîòîðûõ P P∞∞an ðàñõîäèòñÿ, à âòîðîéan cos 2nx ñõîäèòñÿ ïîn=1n=1ïðèçíàêó Äèðèõëå, òàê êàê ïðè x 6= mπ , m ∈ Z ìîæíî,àíàëîãè÷íî îöåíêå (3.25), ïîëó÷èòü îöåíêó| cos 2x + cos 4x + · · · + cos 2nx| 61.| sin x|Ñóììà äâóõ ðÿäîâ, îäèí èç êîòîðûõ ñõîäèòñÿ, à âòîðîé ðàñõîäèòñÿ, åñòü ðÿä ðàñõîäÿùèéñÿ (åñëè áû ýòî áûë ñõî∞Päÿùèéñÿ ðÿä, òî ïî òåîðåìå 1.1 ðÿäan òîæå áûë áûñõîäÿùèìñÿ). Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä∞Pn=1an cos2 nx ðàñõîäèòñÿ.n=1Ïîýòîìó èç (3.26) âûòåêàåò, ÷òî ñîãëàñíî ïðèçíàêó ñðàâíå∞Píèÿ (ïî òåîðåìå 2.2) ðÿä|an cos nx| ðàñõîäèòñÿ, òî åñòün=1ðÿä (3.20) ñõîäèòñÿ óñëîâíî.
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî ðÿä∞Xn=1an cos nxïðè x = 2kπ (k ∈ Z) ðàñõîäèòñÿ,(3.27)ïðè x =6 2kπ (k ∈ Z) ñõîäèòñÿ óñëîâíî.Òåïåðü ðàññìîòðèì ðÿä (3.21) ïðè óñëîâèè (3.23). Ïðèx = mπ , ãäå m ∈ Z, ýòîò ðÿä ñîñòîèò èç íóëåé è ïîýòîìóäëÿ ýòèõ çíà÷åíèé x ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Ïðè îñòàëüíûõ x,àíàëîãè÷íî ðàññìîòðåíèþ ðÿäà (3.20), ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó1xxcos − cos n +22, (3.28)sin x + sin 2x + · · · + sin nx =x2 sin2ïîëó÷èòü îöåíêó1| sin x + sin 2x + · · · + sin nx| 6 x ,sin 2673. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûè óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè x 6= mπ (m ∈ Z) ðÿä (3.21) ñõîäèòñÿïî ïðèçíàêó Äèðèõëå. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ õàðàêòåðà ñõîäèìîñòè óñòàíîâèì (àíàëîãè÷íî (3.26)), ÷òî∞X∞X∞1Xan (1 − cos 2nx).|an sin nx| >an sin nx =2 n=1n=1n=12Îòñþäà ñëåäóåò îòñóòñòâèå àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè, òî åñòüóñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü.
Òàêèì îáðàçîì, ðÿä∞Xn=1an sin nxïðè x = mπ (m ∈ Z) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî,(3.29)ïðè x =6 mπ (m ∈ Z) ñõîäèòñÿ óñëîâíî.3.4. Ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ è ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí äëÿ çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâÂíà÷àëå îòìåòèì, ÷òî ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 2.2 èñëåäñòâèå èç íå¼), óñòàíîâëåííûé äëÿ çíàêîïîëîæèòåëüíûõðÿäîâ, íå èìååò ìåñòà äëÿ ðÿäîâ çíàêîïåðåìåííûõ.Ï ð è ì å ð. Ðàññìîòðèì ðÿä∞ X(−1)n−1 1√+,(3.30)nnn=1∞Pòî åñòü òàêîé ÷èñëîâîé ðÿäan , îáùèé ÷ëåí an êîòîðîãîn=1èìååò âèä(−1)n−1 1+ .an = √nn∞P(−1)n−11√bn ñõîäèòñÿ ïî, cn = .
Ðÿännn=1∞Pïðèçíàêó Ëåéáíèöà, à ðÿäcn ðàñõîäÿùèéñÿ ãàðìîíè-Îáîçíà÷èì bn =n=168I. ×èñëîâûå ðÿäû÷åñêèé ðÿä. Ïîýòîìó ðÿä (3.30) ðàñõîäèòñÿ êàê ñóììà äâóõðÿäîâ (an = bn + cn ), îäèí èç êîòîðûõ ñõîäèòñÿ, à äðóãîé ðàñõîäèòñÿ. Îäíàêî ïðåäåë îòíîøåíèÿ(−1)n−1 1√+an(−1)n−1nn= lim= lim 1 + √= 1.limn→∞n→∞n→∞ bn(−1)n−1n√nËåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ðÿä (3.30), ïîäîáíî ðÿäó (3.9), ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì òîãî, ÷òî òðåáîâàíèå ìîíîòîííîñòè â ïðèçíàêå Ëåéáíèöà ñóùåñòâåííî . ïåðâîì ïàðàãðàôå ìû âèäåëè, ÷òî ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí, ñïðàâåäëèâûé äëÿ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ, íå âñåãäà âåðåíäëÿ ðàñõîäÿùèõñÿ (ñì. òåîðåìó 1.2, äîêàçàííóþ äëÿ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ, è ñëåäóþùóþ ïîñëå íå¼ èëëþñòðàöèþ íåïðèìåíèìîñòè ýòîé òåîðåìû äëÿ ðàñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ).
Ñåé÷àñáóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí íå âñåãäà ñïðàâåäëèâ äàæå äëÿ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ. Ðàññìîòðèì ñõîäÿùèéñÿ ðÿä Ëåéáíèöà (3.7), ñóììà êîòîðîãî S = ln 2 (ñì. (3.8)),è ïåðåñòàâèì åãî ñëàãàåìûå òàê: äâà ïîëîæèòåëüíûõ ñëàãàåìûõ, îäíî îòðèöàòåëüíîå, äâà ïîëîæèòåëüíûõ, îäíî îòðèöàòåëüíîå, è òàê äàëåå, òî åñòü ðàññìîòðèì ðÿä1111 1 1 1 1+−+· · · , (3.31)1+ − + + − +· · ·+3 2 5 7 44m − 3 4m − 1 2m÷ëåíû êîòîðîãî ðàçáèòû íà ãðóïïû ïî òðè ñëàãàåìûõ â êàæ1äîé; â m-é ãðóïïå äâà ïîëîæèòåëüíûõ ñëàãàåìûõ4m − 311èè îäíî îòðèöàòåëüíîå −. Íàéä¼ì ñóììó4m − 12mðÿäà (3.31) òåì æå ïóò¼ì, êàêèì áûëà íàéäåíà ñóììà ðÿ-693.
Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûäà (3.7). Ñîãëàñíî (2.40) è (2.41) èìååì, ÷òî ÷àñòè÷íûå ñóì1 1 1 1 1ìû S3m ðÿäà (3.31) ðàâíû S3m = 1 + − + + − + · · · +3 2 5 7 41111 11++−= 1 + + + ··· ++4m − 34m − 12m2 34m − 3 1111 111+++−+ + ··· ++−4m − 2 4m − 1 4m2 44m − 2 4m1 1111−+ + ··· += H4m − H2m − Hm = x4m +ln(4m)−2 42m221x2m + ln 2 + xm− [x2m + ln(2m) + xm + ln m] = x4m + ln 4 −.22Îòñþäà è èç (2.42) âûòåêàåò, ÷òî lim S3m = limx4m +m→∞m→∞1+ ln(4m) − [ x2m + ln(2m) + xm + ln m] = lim x4m +m→∞23x2m + ln 2 + xmC + ln 2 + C= ln 2.+ ln 4 −= C + ln 4 −22213ßñíî, ÷òî ïðåäåë lim S3m+1 = lim S3m += ln 2m→∞m→∞4m+1231è ïðåäåë lim S3m+2 = lim S3m+1 += ln 2. Ýòîm→∞m→∞4m + 323îçíà÷àåò, ÷òî ðÿä (3.31) ñõîäèòñÿ ê ln 2, òî åñòü21 1 1 1 111131+ − + + − +· · ·++−+· · · = ln 2.3 2 5 7 44m − 3 4m − 1 2m2Êàê âèäèì, îò òàêîé ïåðåñòàíîâêè ñóììà ðÿäà (3.7) óâåëè÷èëàñü â ïîëòîðà ðàçà.∞PÑîîáùèì áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî åñëè ðÿäan ñõîn=170I.
×èñëîâûå ðÿäûäèòñÿàáñîëþòíî ,òî ðÿä∞Pbn , ïîëó÷åííûé èç ðÿäàn=1∞Pann=1êàêîé-ëèáî ïåðåñòàíîâêîé åãî ñëàãàåìûõ, òàêæå ñõîäèòñÿ,∞Pïðè÷¼ì ê òîé æå ñóììå. Åñëè æå ðÿäan ñõîäèòñÿ óñëîân=1íî , òî åãî ñëàãàåìûå ìîæíî òàê ïåðåñòàâèòü, ÷òî ïîëó÷åí∞Píûé ðÿäbn áóäåò ñõîäèòüñÿ ê ëþáîìó íàïåð¼ä çàäàííîn=1ìó ÷èñëó S . À ìîæíî áóäåò òàê ïåðåñòàâèòü ñëàãàåìûå, ÷òî∞Pïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ïåðåñòàíîâêè ðÿäbn áóäåò ðàñn=1õîäèòüñÿ ê +∞, èëè ðàñõîäèòüñÿ ê −∞, èëè äàæåîãðàíè-ðàñõîäèòüñÿ, òî åñòü ÷àñòè÷íûå ñóììû ðàñõîäÿùåãîñÿ∞Pðÿäàbn áóäóò îãðàíè÷åíû.÷åííîn=13.5. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû1.
Âûâåñòè ôîðìóëó (3.28).2. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäîâ:à)1+á)1−â) −1 +ã)1−ä)1+12121212121+31+ +31+ −31− +31− −3−14141414141 1 1 1 1− + + − + . . .,5 6 7 8 91 1 1 1 1− + + − + + . . .,5 6 7 8 91 1 1 1 1+ + − + + − . . .,5 6 7 8 91 1 1 1 1− − + − − + . . .,5 6 7 8 91 1 1 1+ + − − + . . ..5 6 7 8+714. Ñóììèðîâàíèå ðÿäîâ3.
Ïðèâåñòè ïðèìåð òàêîãî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäàðÿä∞P∞Pan , ÷òîn=1a2n ðàñõîäèòñÿ.n=14. Ïðèâåñòè ïðèìåð òàêîãî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäàðÿä∞P∞Pan , ÷òîn=1a3n ðàñõîäèòñÿ.n=15. Ïðîâåðèòü, ÷òî ðÿä (3.30)∞ X(−1)n−1 1√+nnn=1 çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ, ïðè÷¼ì àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíàåãî îáùåãî ÷ëåíà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, íî íåìîíîòîííî.4. Ñóììèðîâàíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ýòîì ïàðàãðàôå ìû êðàòêî îçíàêîìèìñÿ ñ òåì, ÷òîñóùåñòâóþò è èíûå, ïîìèìî ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì, ñïîñîáû, ïîçâîëÿþùèå ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëîâîìó ðÿäó êàêîå-ëèáî ÷èñëî, òî åñòü ïðèäàòü íåôîðìàëüíûé ñìûñë áåñêîíå÷íîé ñóììå (1.2) êàêèìòî äðóãèì ïóò¼ì, íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþùèì ñ èçó÷àåìûìäî ñèõ ïîð (ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì).4.1.
Ïîíÿòèå ìåòîäîâ ñóììèðîâàíèÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâÅñëè óêàçàí êàêîé-ëèáî ñïîñîá T , ïîçâîëÿþùèé íåêîòîðûì ÷èñëîâûì ðÿäàì ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå S ÷èñëî72I. ×èñëîâûå ðÿäûèëè êàêîé-ëèáî èç áåñêîíå÷íûõ ñèìâîëîâ, òî T íàçûâàåòñÿìåòîäîì ñóììèðîâàíèÿ , à S îáîáù¼ííîé ñóììîé .∞PÏðèìåíåíèå ìåòîäà T ê ðÿäóan è ðåçóëüòàò ýòîãîn=1P∞ïðèìåíåíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü òàê: Tan .n=1Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ï ð è ì å ð û.∞P1. Ñõîäèìîñòü . Äëÿ ðÿäàan ââîäÿòñÿ ÷àñòè÷íûå ñóììû Sn =nPn=1ak è ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà T íàçû-k=1âàåòñÿ ïðåäåë S = lim Sn (÷èñëî èëè êàêîé-ëèáî èç áåñn→∞êîíå÷íûõ ñèìâîëîâ), åñëè ýòîò ïðåäåë èìååò ñìûñë.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
