Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ïðè ýòîì ñîãëàñíî ñäåëàííîìó âûøå (íà ñ. 88) çàìå÷àíèþ, îòñóòñòâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ê ïîòî÷å÷íîìó ïðåäåëó îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè âîîáùå , òàê êàê åñëè áû îêàçàëîñü,X÷òî fn (x) ⇒ g(x) 6≡ f (x), òî è lim fn (x) = g(x) äëÿ âñåõ x ∈ X .n→∞5.3. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ( ê ð è ò å ð è è ) ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòèôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéè ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâÒ å î ð å ì à 5.1 (êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Äëÿ òîãî, ÷òîáûXfn (x) ⇒ f (x)(5.9)92II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûíåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïðåäåë òî÷íîé âåðõíåé ãðàíèlim sup |fn (x) − f (x)| = 0.(5.10)n→∞ x∈XÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Îáîçíà÷èìαn = sup |fn (x) − f (x)| > 0.(5.11)x∈XÍåîáõîäèìîñòü .Ïóñòü èìååò ìåñòî (5.9).
Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, äëÿ ëþáîãî ε > 0íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N è äëÿεâñåõ x ∈ X àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |fn (x) − f (x)| < . Íî2òîãäà èç (5.11) âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ýòèõ æå íîìåðîâ0 6 αn = sup |fn (x) − f (x)| 6x∈Xε< ε.2Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäåë lim αn = 0, òî åñòü ðàâåíñòâî (5.10)n→∞ñïðàâåäëèâî.Äîñòàòî÷íîñòü . Ïóñòü òåïåðü èìååò ìåñòî (5.10), òîåñòü lim αn = 0. Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ÷èñn→∞ëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 0 6 αn < ε. Ïîýòîìó äëÿ ýòèõ æå íîìåðîâ è äëÿâñåõ x ∈ X àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |fn (x) − f (x)| 6 αn < ε,∞òî åñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 íàìíîæåñòâå X ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x). Òåîðåìàäîêàçàíà.Ïðèìåíèì ýòó òåîðåìó ê ðåøåíèþ ïðèìåðîâ, ðàññìîòðåííûõ â êîíöå ïåðâîãî ïàðàãðàôà, è óâèäèì, ÷òî ñ å¼ ïîìîùüþ âîïðîñ î íàëè÷èè èëè îòñóòñòâèè ðàâíîìåðíîéñõî∞äèìîñòè ó ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) n=1935.
Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòüðåøàåòñÿ ãîðàçäî áûñòðåå. Äëÿ ýòîãî áóäåì âû÷èñëÿòü âåëè÷èíó αn (ñì. (5.11)).1. Çäåñü αn > lim |fn (x) − f (x)| = 1 ( íà ñàìîì äåëåx→1−0αn = 1, òàê êàê 0 6 fn (x) 6 1, 0 6 f (x) 6 1; íî íåðàâåíñòâà αn > 1 âïîëíå äîñòàòî÷íî), è ïîýòîìó lim αn 6= 0,n→∞Xñëåäîâàòåëüíî, fn (x) 6⇒ f (x).2. Çäåñü αn > lim |fn (x) − f (x)| = 1 ( íà ñàìîì äåëåx→0+0αn = 1, ñîîáðàæåíèÿ òå æå, ÷òî è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå),Xè ïîýòîìó lim αn 6= 0, òî åñòü fn (x) 6⇒ f (x).n→∞x3. Ïóñòü ϕn (x) = |fn (x) − f (x)| =. Ïðîèçâîä1 + n2 x211 − n 2 x2íàÿ ϕ0n (x) =2 = 0 ïðè x = xn = , íåòðóäíî âèn1 + n 2 x2äåòü (õîòÿ áû ïî ñìåíå çíàêà ïðîèçâîäíîé), ÷òî xn òî÷êà11ìàêñèìóìà , ñëåäîâàòåëüíî, αn = ϕn (xn ) = fn,=n2nXòî åñòü lim αn = 0, è ïîýòîìó fn (x) ⇒ f (x).n→∞nxëèøü1+n2 x2ìíîæèòåëåì n îòëè÷àåòñÿ îò ôóíêöèè ϕn (x) ïðåäûäóùåãî 11ïðèìåðà, ñëåäîâàòåëüíî, αn = ϕn (xn ) = ϕn= , òîn2Xåñòü lim αn 6= 0, è ïîýòîìó fn (x)6⇒f (x).4.
Çäåñü ôóíêöèÿ ϕn (x) = |fn (x) − f (x)| =n→∞2 25.  ýòîì ïðèìåðå ϕn (x) = |fn (x)−f (x)| = n2 xe−n x , ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ íàõîäèì, ÷òî αn =1n√= ϕn (xn ) = ϕn= √ , òî åñòü lim αn = +∞ =6 0,n→∞n 22eXè, ñëåäîâàòåëüíî, fn (x) 6⇒ f (x).94II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÒ å î ð å ì à 5.2 (êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòèôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Äëÿ ðàâíîìåðíîéñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn(x)}∞n=1íà ìíîæåñòâå X íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìîæíî áûëî íàéòè íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N , m > N è äëÿ âñåõ x ∈ X àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |fn (x) − fm (x)| < ε.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î .
Íåîáõîäèìîñòü . Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}∞n=1 ðàâíîìåðíî ñõîäèò-ñÿ íà ìíîæåñòâå X . Îáîçíà÷èì ïðåäåëüíóþ ôóíêöèþ ÷åðåç f (x). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè,äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìîæíî íàéòè íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ n > Nεè äëÿ âñåõ x ∈ X àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |fn (x) − f (x)| < .2Íî òîãäà äëÿ âñåõ n > N , m > N è äëÿ âñåõ x ∈ X àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |fn (x)−fm (x)| = |fn (x)−f (x)+f (x)−fm (x)| 6ε ε6 |fn (x) − f (x)| + |f (x) − fm (x)| < + = ε, òî åñòü íåîá2 2õîäèìîñòü óñòàíîâëåíà.Äîñòàòî÷íîñòü .Ïóñòü òåïåðü äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N , m > N è äëÿâñåõ x ∈ X èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî|fn (x) − fm (x)| <ε.2(5.12)Ýòî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîx ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}∞n=1 ôóíäàìåíòàëüíà, è ïî êðèòåðèþ Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äëÿ ëþáîãî x ∈ X ñóùåñòâóåò ïðåäåëãîlim fn (x) = lim fm (x) = f (x),n→∞m→∞x ∈ X.Òîãäà äëÿ ëþáîãî íîìåðà n > N è äëÿ ëþáîãî x ∈ X , ïåðå-955.
Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòüõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè m → ∞ â íåðàâåíñòâå (5.12), ïîëó÷èìε|fn (x) − f (x)| 6 < ε,2Xòî åñòü fn (x) ⇒ f (x). Òåîðåìà äîêàçàíà.Äàííàÿ òåîðåìà ëåãêî ïåðåôðàçèðóåòñÿ äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.Ò å î ð å ì à 5.3 (êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ). Äëÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè∞Pôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäàun (x) íà ìíîæåñòâå X íåîáõîäèn=1ìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìîæíî áûëî íàéòèíîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n è m òàêèõ, ÷òî m > n > Nè äëÿ âñåõ x ∈ X èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîm Xuk (x) < ε.k=n+1 ñïåöèàëüíîì ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â å ýòà òåîðåìà (êàê èñîîòâåòñòâóþùàÿ òåîðåìà äëÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ) íå íóæäàåòñÿ , òàê êàê îíà òîëüêî ÷òî áûëà äîêàçàíà äëÿ ëþáûõôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé â òîì ÷èñëå è äëÿ∞Pïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäàun (x).n=15.4. Ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòèôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâÒ å î ð å ì à 5.4 (íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ).
Åñëè ôóíêöèîíàëüíûéðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X :∞Xn=1un (x) ⇒ íà X,(5.13)96II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûòî åãî îáùèé ÷ëåí un (x) íà ýòîì æå ìíîæåñòâå ðàâíîìåðíîñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè, âñþäó íà ýòîì ìíîæåñòâå ðàâíîé íóëþ:X(5.14)un (x) ⇒ u(x) ≡ 0.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Îáîçíà÷èì ÷àñòè÷íóþ ñóììó ðÿ-äà (5.13) ÷åðåç Sn (x), à âñþ ñóììó ýòîãî ðÿäà ÷åðåç S(x).XXÏî óñëîâèþ Sn (x) ⇒ S(x), íî òîãäà è Sn−1 (x) ⇒ S(x), àýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òîäëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N è äëÿ âñåõ x ∈ X ñïðàâåäëèâûíåðàâåíñòâà|Sn (x) − S(x)| <ε,2|Sn−1 (x) − S(x)| <ε.2Ñëåäîâàòåëüíî, |un (x) − u(x)| = |un (x)| = |Sn (x) − Sn−1 (x)| == | Sn (x) − S (x) + S (x) − Sn−1 (x) | 6 | Sn (x) − S (x) | +εε+|S(x) − Sn−1 (x)| < + = ε, òî åñòü èìååò ìåñòî (5.14).22Òåîðåìà äîêàçàíà.Îòìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèçíàê ìîæíî âûâåñòè â êà÷åñòâåñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû 5.3 (êðèòåðèÿ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ).Ò å î ð å ì à 5.5 (ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ).
Åñëè|un (x)| 6 cn äëÿ âñåõ x ∈ X,à ÷èñëîâîé ðÿä∞Pn=1∞P(5.15)cn ñõîäèòñÿ, òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿän=1un (x) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X .975. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòüÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Òàê êàê ðÿä∞Pcn ñõîäèòñÿ, òîn=1äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâ êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõðÿäîâ, òî åñòü äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿâñåõ íîìåðîâ n è m òàêèõ, ÷òî m > n > N , ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâîmXck < ε(5.16)k=n+1(çíàê àáñîëþòíîé âåëè÷èíû îïóùåí, òàê êàê cn > 0). Íîòîãäà èç (5.15) è (5.16) âûòåêàåò, ÷òî äëÿ òåõ æå n è m èäëÿ âñåõ x ∈ X àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíàmmm XXXuk (x) 6|uk (x)| 6ck < ε.k=n+1k=n+1k=n+1∞PÑëåäîâàòåëüíî, äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäàun (x) âûïîën=1íÿåòñÿ êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (ñì. òåîðåìó 5.3), òî åñòü ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X .
Òåîðåìà äîêàçàíà.Ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà äîñòàòî÷íî ïðîñò â ïðèìåíåíèè.Îäíàêî îí äà¼ò íå òîëüêî ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ôóíê∞Pöèîíàëüíîãî ðÿäàun (x) íà ìíîæåñòâå X , íî è åãî àán=1ñõîäèìîñòü â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà X . Åñëèæå ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî, íî íå àáñîëþòíî, òî ïðèçíàêÂåéåðøòðàññà ê òàêèì ðÿäàì íåïðèìåíèì. Äëÿ ïîëó÷åíèÿòàêèõ ïðèçíàêîâ, êîòîðûå òðàäèöèîííî ñâÿçûâàþòñÿ ñ èìåíàìè Äèðèõëå è Àáåëÿ, íàïîìíèì ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿÀáåëÿ (3.12) è (3.14), çàìåíèâ ôèãóðèðóþùèå òàì ïîñòîÿííûå ôóíêöèÿìè, çàâèñÿùèìè îò ïåðåìåííîé x.
Èòàê,∞ ïóñòü èìåþòñÿ∞ äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé:an (x) n=1 è bn (x) n=1 , îïðåäåë¼ííûõ íà íåêîòîðîì ìíî-ñîëþòíóþ98II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû∞æåñòâå X . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bk (x) k=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü∞P÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäàbn (x):n=1B1 (x) = b1 (x), B2 (x) = b1 (x) + b2 (x), . .
. ,Bk (x) = b1 (x) + b2 (x) + · · · + bk (x), . . . ,(5.17)à D(x) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåë¼ííàÿ íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà äëÿ ëþáûõ íîìåðîâ m è n, òàêèõ, ÷òî m > n,è äëÿ âñåõ x ∈ X ñïðàâåäëèâû ôîðìóëûmPak (x)bk (x) = am (x)Bm (x)−k=n+1−an+1 (x)Bn (x) +m−1Pak (x) − ak+1 (x) Bk (x).(5.18)k=n+1mPak (x)bk (x) = am (x) Bm (x) − D(x) −k=n+1−an+1 (x) Bn (x) − D(x) +m−1P+ak (x) − ak+1 (x) Bk (x) − D(x) .(5.19)k=n+1Ò å î ð å ì à 5.6 (ïðèçíàê Äèðèõëå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ). Åñëè äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî x ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x)}∞n=1 ìîXíîòîííà, ïðè÷¼ì an (x) ⇒ a(x) ≡ 0, à ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿ∞Päàbn (x) ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X îãðàíè÷åíû â ñîn=1âîêóïíîñòè, òî åñòü íàéä¼òñÿ M > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X èP käëÿ âñåõ k àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà bn (x) 6 M , òî ôóíên=1öèîíàëüíûé ðÿä∞Pn=1an (x) bn (x) ⇒ íà X.(5.20)995.
Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòüäàÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.∞PÎáîçíà÷èì ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿ-bn (x) ÷åðåç Bk (x) (ñì. (5.17)). Ïî óñëîâèþ |Bk (x)| 6 Mn=1Xäëÿ âñåõ x ∈ X è äëÿ âñåõ k . Òàê êàê an (x) ⇒ a(x) ≡ 0, òîäëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , òàêîé, ÷òî|an (x)| <ε,3Mn > N,x ∈ X,(5.21)ïðè÷¼ì äëÿ âñÿêîãî ôèêñèðîâàííîãî x ∈ X , ââèäó ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {an (x)}∞n=1 , ñïðàâåäëèâî ëèáîíåðàâåíñòâîa1 (x) > a2 (x) > · · · > an (x) > an+1 (x) > · · · > 0,(5.22)ëèáî íåðàâåíñòâîa1 (x) 6 a2 (x) 6 · · · 6 an (x) 6 an+1 (x) 6 · · · 6 0.(5.23)Ïóñòü n è m òàêîâû, ÷òî m > n > N . Òîãäà äëÿ ëþáîãîx ∈ X èç ïðåîáðàçîâàíèÿ Àáåëÿ (5.18), íåðàâåíñòâà (5.21) èîäíîãî èç íåðàâåíñòâ ìîíîòîííîñòè (íåðàâåíñòâà (5.22) èëèíåðàâåíñòâà (5.23)) âûòåêàåò, ÷òî P mak (x)bk (x) 6 |am (x)Bm (x)| + |an+1 (x)Bn (x)|+k=n+1 m−1εε P·M +· M++ak (x) − ak+1 (x) Bk (x) <3M3Mk=n+1 m−1 ε ε P+M ak (x) − ak+1 (x) = + +3 3k=n+1+M an+1 (x) − an+2 (x) + · · · + am−1 (x) − am (x) ==2ε2εε+ M |an+1 (x) − am (x)| <+M ·= ε.333M100II.
Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÝòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ðÿäà (5.20) âûïîëíÿåòñÿ êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 5.3∞Pðÿäan (x)bn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .n=1Òåîðåìà äîêàçàíà.Êàê âèäèì, äîêàçàòåëüñòâî ïðèçíàêà Äèðèõëå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ ëèøü ñ íåáîëüøèìèåñòåñòâåííûìè èçìåíåíèÿìè ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî ïðèçíàêà Äèðèõëå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Ïîýòîìó äëÿïðèçíàêà Àáåëÿ îãðàíè÷èìñÿ ôîðìóëèðîâêîé.Ò å î ð å ì à 5.7 (ïðèçíàê Àáåëÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòèôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
