Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Òàê êàê un+1 (x) =α−nα(α − 1) . . . (α − n + 1)(α − n) n+1x= un (x)x, òî=1 · 2 · . . . · n · (n + 1)n+1|un+1 (x)| (α − n)x =.|un (x)|n+1 (6.10)Ïåðåõîäÿ â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷àåì (α − n)x |un+1 (x)| = |x|.lim= lim n→∞ |un (x)|n→∞n+1 Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðè |x| < 1 èññëåäóåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, à ïðè |x| > 1 ðàñõîäèòñÿ, òî åñòü äëÿ âñÿêîãî α 6∈ N0ó áèíîìèàëüíîãî ðÿäà (6.8) ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = 1. Èññëåäóåì ïîâåäåíèå ðÿäà íà êîíöàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè(ïðè x = ±1).Ïóñòü α 6 −1. Èç (6.10) íàõîäèìn−α|un+1 (±1)|=> 1,|un (±1)|n+1è ïîýòîìó, ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà â äîïðåäåëüíîéôîðìå (òåîðåìà 2.4) ïðè α 6 −1 ðÿä (6.8) ðàñõîäèòñÿ íàîáîèõ êîíöàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.Ïðè îñòàëüíûõ íåðàññìîòðåííûõ α, òî åñòü ïðè íåöåëûõ α > −1, ïðèçíàê Äàëàìáåðà íè â ïðåäåëüíîé, íè â äîïðåäåëüíîé ôîðìàõ íå ðàáîòàåò.
Âîñïîëüçóåìñÿ ïðèçíàêîìÐààáå â ïðåäåëüíîé ôîðìå (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2.7). Òàê6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé127êàê n → ∞, òî áóäåì ðàññìàòðèâàòü n > α. Ñîãëàñíî (6.10)èìååìn+1|un (±1)|− 1 = lim n−1 =lim nn→∞n→∞|un+1 (±1)|n−α(6.11)n(α + 1)= lim= α + 1.n→∞ n − αÏóñòü α ∈ R+ \ N, òî åñòü α ëþáîå ïîëîæèòåëüíîåíåíàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òîãäà α + 1 > 1, è ïîýòîìó èç (6.11)âûòåêàåò, ÷òî ïðè ýòèõ α ðÿä (6.8) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ íàîáîèõ êîíöàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.Ïóñòü α ∈ (−1, 0).  ýòîì ñëó÷àå α + 1 < 1, è ïîýòîìóèç (6.11) âûòåêàåò, ÷òî ïðè ýòèõ α ó ðÿäà (6.8) íåò àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè íè íà îäíîì èç êîíöîâ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.
Åñëè îáîçíà÷èòücn =(−α)(1−α) . . . (n−1−α)> 0, (n = 1, 2, 3, . . . ), (6.12)1 · 2 · ... · nòî îòñþäà ñîãëàñíî (6.8) è (6.9) èìååì∞Xun (−1) = 1 +n=0un (1) = 1 +cn ,(6.13)n=1n=0∞X∞X∞X(−1)n cn .(6.14)n=1Èç (6.12) ñëåäóåò, ÷òî ðÿä (6.13) çíàêîïîëîæèòåëüíûé , èòàê êàê ó íåãî íåò àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè, òî îí ðàñõîäèòñÿ ; à ðÿä (6.14) çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ . Ïîñêîëüêócn+1 =(−α)(1 − α) . . . (n − 1 − α)(n − α)n−α= cn ·< cn ,1 · 2 · .
. . · n · (n + 1)n+1128II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûòî ïîëîæèòåëüíàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {cn } ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî óáûâàþùåé , ïîýòîìó äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè (åñòåñòâåííî, óñëîâíîé ) ïî ïðèçíàêó Ëåéáíèöà ðÿäà (6.14) äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî(6.15)lim cn = 0.n→∞Ñîãëàñíî îáîçíà÷åíèþ (6.12), èìååì− ln cn = − ln(−α) − ln1−α21+α− · · · − ln 1 −,nòî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {− ln cn } ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâà∞Pòåëüíîñòüþ ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäàbn , îáùèé ÷ëåí êîòîðîn=1∞ 1+α 1+αX1+αãî bn = − ln 1−∼.
Íî ðÿäðàñõîäèònnnn=1ñÿ, òàê êàê ëèøü ìíîæèòåëåì (1 + α) îòëè÷àåòñÿ îò ðàñõîäÿùåãîñÿ ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà. Ïîýòîìó, ïî ïðèçíàêó ñðàâ∞Píåíèÿ â ïðåäåëüíîé ôîðìå, çíàêîïîëîæèòåëüíûé ðÿäbnòàêæå ðàñõîäèòñÿ, òî åñòü∞Pn=1n=1bn = lim (− ln cn ) = +∞. Ýòîn→∞îçíà÷àåò, ÷òî lim ln cn = −∞, ñëåäîâàòåëüíî, (6.15) èìååòn→∞ìåñòî, ÷åì, êàê óæå îòìå÷àëîñü, äîêàçàíà óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà (6.14).Èòàê, äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðÿäà (6.8) ïîëó÷àåì:• åñëè α ∈ N0 , òî R = +∞ (ïðè ýòèõ α ðÿä èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî íåíóëåâûõ ÷ëåíîâ);• åñëè α ∈ R \ N0 , òî R = 1, ïðè÷¼ì:6.
Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé129 ïðè α ∈ R+ \ N ðÿä ñõîäèòñÿ äëÿ âñåõ x ∈ [−1, 1] èñõîäèìîñòü ðÿäà àáñîëþòíàÿ íà îáîèõ êîíöàõ; ïðè α ∈ (−1, 0) ðÿä ñõîäèòñÿ äëÿ âñåõ x ∈ (−1, 1],â òî÷êå x = −1 ðÿä ðàñõîäèòñÿ, â òî÷êå x = 1 ðÿäñõîäèòñÿ óñëîâíî; ïðè α ∈ (−∞, −1] ðÿä ñõîäèòñÿ äëÿ âñåõ x ∈ (−1, 1),â îáåèõ ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ x = ±1 ðÿä ðàñõîäèòñÿ.6.2. Ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâÒ å î ð å ì à 6.3 (ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ñòåïåííîãî ðÿäà). Ïóñòü ó ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2) ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R > 0.Òîãäà äëÿ âñÿêîãî r ∈ (0, R) ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíîíà îòðåçêå [−r, r].Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ïóñòü r ∈ (0, R) ⊂ (−R, R), à íàèíòåðâàëå (−R, R) ðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëîâîé ðÿä∞Xn=0|an rn | =∞X|an |rn < +∞.(6.16)n=0Äàëåå, äëÿ ëþáîãî x ∈ [−r, r] ñïðàâåäëèâà îöåíêà|an xn | 6 |an |rn .(6.17)Èç (6.16) è (6.17) ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà (òåîðåìà 5.5)∞Pïîëó÷àåì, ÷òîan xn ⇒ íà [−r, r].
Òåîðåìà äîêàçàíà.n=0Ò å î ð å ì à 6.4 (íåïðåðûâíîñòü ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà).Ïóñòü ó ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2) ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R > 0.Òîãäà ñóììà S(x) ýòîãî ðÿäà íåïðåðûâíà íà (−R, R).130II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ïóñòü x0 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî èçèíòåðâàëà (−R, R). Âîçüì¼ì êàêîå-íèáóäü r ∈ (|x0 |, R). Òî[−r,r]∞Pãäà ïî òåîðåìå 6.3 ðÿäan xn ⇒ S(x) è ñëåäîâàòåëün=0íî, ñîãëàñíî òåîðåìå 5.13, åãî ñóììà S(x) ∈ C[−r, r], òîåñòü S(x) íåïðåðûâíà â ëþáîé òî÷êå [−r, r], â òîì ÷èñëå èâ òî÷êå x0 .
Èòàê, äëÿ âñÿêîãî x0 ∈ (−R, R) ôóíêöèÿ S(x)íåïðåðûâíà ïðè x = x0 . Òåîðåìà äîêàçàíà.Ò å î ð å ì à 6.5 (åäèíñòâåííîñòü êîýôôèöèåíòîâ ñòåïåííîãî ðÿäà). Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä∞Xan xn = Sa (x)(6.18)n=0èìååò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R1 > 0, à äðóãîé ñòåïåííîé ðÿä∞Xbn xn = Sb (x)(6.19)n=0èìååò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R2 > 0. Ïóñòü íàéä¼òñÿ δ > 0, ÷òîäëÿ âñåõ x èç δ -îêðåñòíîñòè íóëÿ îäíîãî èç âèäîâ:(1) (−δ, δ),(3) [0, δ),(5) (−δ, 0],(2) (−δ, 0) ∪ (0, δ),(4) (0, δ),(6) (−δ, 0),(6.20)ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîSa (x) = Sb (x).(6.21)an = b n(6.22)Òîãäàäëÿ âñåõ n = 0, 1, 2, . .
..6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèéÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.â¼ðíóòîì âèäå,131Åñëè ðàâåíñòâî (6.21), èëè, â ðàç-a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + · · · ,(6.23)èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ x èç δ -îêðåñòíîñòè íóëÿ âèäà (6.20) (1),(6.20) (3) èëè (6.20) (5) (òî åñòü èç îêðåñòíîñòè, ñîäåðæàùåéòî÷êó 0), òî, ïîäñòàâèâ â ýòî ðàâåíñòâî çíà÷åíèå x = 0,ïîëó÷èìa0 = b 0 .(6.24)Åñëè æå (6.23) èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé x èç îêðåñòíîñòè âèäà (6.20) (2), (6.20) (4) èëè (6.20) (6) (òî åñòü èç îêðåñòíîñòè, íå ñîäåðæàùåé òî÷êó 0), òî óñòðåìëÿÿ x ê íóëþ âýòîì ðàâåíñòâå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ñòîðîíû (x → 0 â îêðåñòíîñòè âèäà (6.20) (2), x → 0+0 â îêðåñòíîñòè âèäà (6.20) (4),x → 0 − 0 â îêðåñòíîñòè âèäà (6.20) (6)) â ýòîì ðàâåíñòâå,òàêæå ïîëó÷èì (6.24). Âçàèìíî óíè÷òîæàÿ a0 è b0 â îáåèõ÷àñòÿõ (6.23) è ñîêðàùàÿ èõ íà x (åñòåñòâåííî, ïðè x 6= 0),ïîëó÷àåìa1 + a2 x + a3 x 2 + · · · = b 1 + b 2 x + b 3 x 2 + · · · .(6.25)Óñòðåìëÿÿ x ê íóëþ â ýòîì ðàâåíñòâå ñ ñîîòâåòñòâóþùåéñòîðîíû ( x → 0 â îêðåñòíîñòè âèäà (6.20) (1) èëè (2),x → 0 + 0 â îêðåñòíîñòè âèäà (6.20) (3) èëè (4), x → 0 − 0 âîêðåñòíîñòè âèäà (6.20) (5) èëè (6)), óáåæäàåìñÿ, ÷òîa1 = b 1 .Âçàèìíî óíè÷òîæàÿ a1 è b1 â îáåèõ ÷àñòÿõ (6.25), ñîêðàùàÿèõ íà x è óñòðåìëÿÿ x ê íóëþ â ïîëó÷àåìîì ðàâåíñòâå ññîîòâåòñòâóþùåé ñòîðîíû, âèäèì, ÷òîa2 = b 2 .132II.
Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÏðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, çàêëþ÷àåì, ÷òî (6.22) ñïðàâåäëèâîäëÿ âñåõ n = 0, 1, 2, . . .. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ò å î ð å ì à 6.6. Ïóñòü ó ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2) ðàäèóññõîäèìîñòè R ∈ (0, +∞) è ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ ïðè x = R(ïðè x = −R). Òîãäà ýòîò ðÿä íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ íà [0, R) (íà (−R, 0]).Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ïóñòü ðÿä∞Xan xn ⇒ íà [0, R).n=0Îñóùåñòâëÿÿ â ýòîì ðÿäå ïî÷ëåííûé ïåðåõîä ê ïðåäåëó ïðèx → R−0, ïîëó÷àåì, ñîãëàñíî òåîðåìå 5.9, ÷òî ÷èñëîâîé ðÿä∞Xan R nn=0ñõîäèòñÿ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ ðàñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2) ïðè x = R è òåì ñàìûì óñòàíàâëèâàåò ñïðàâåäëèâîñòü äîêàçûâàåìîé òåîðåìû äëÿ ïðàâîé ïîëîâèíû èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè. Ðàññìîòðåíèå ëåâîé ïîëîâèíû èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî.
Òåîðåìà äîêàçàíà.Ò å î ð å ì à 6.7. Ïóñòü ó ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2) ðàäèóññõîäèìîñòè R ∈ (0, +∞) è ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè x = R(ïðè x = −R). Òîãäà ýòîò ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà [0, R](íà [−R, 0]).Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåé òåîðåìû, îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ïðàâîé ïîëîâèíû îáëàñòè ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2).
Ïðåäñòàâèì(ïðè x ∈ [0, R]) ýòîò ðÿä â âèäå:∞Xn=0nan x =∞Xn=0an R n · x nR.(6.26)6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèéÏî óñëîâèþ÷èñëîâîéðÿä∞P133an Rn ñõîäèòñÿ (âîçìîæíî, íån=0àáñîëþòíî, à ëèøü óñëîâíî), ñëåäîâàòåëüíî ðàññìàòðèâàåìûé êàê ðÿä ôóíêöèîíàëüíûé (ñîñòîÿùèé èç ôóíêöèé-êîíñòàíò), îí ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ëþáîì ìíîæåñòâå (â òîì÷èñëå íà ìíîæåñòâå [0, R]). Íà ýòîì æå ìíîæåñòâå x n0661Räëÿ âñåõ n = 0, 1, 2, . . . è ïðè ëþáîì x ∈ [0, R] ÷èñëîâàÿ ïî ∞x níå âîçðàñòàåò:ñëåäîâàòåëüíîñòüRn=0 x 2 x n x n+1x>1>> ··· >>> ··· .RRRRÏîýòîìó ñîãëàñíî ïðèçíàêó Àáåëÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòèôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ (òåîðåìà 5.7), ðÿä (6.26), òî åñòüñòåïåííîé ðÿä (6.2), ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [0, R]. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ò å î ð å ì à 6.8 (âòîðàÿ òåîðåìà Àáåëÿ).
Ïóñòü ó ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2) ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ∈ (0, +∞) è ýòîòðÿä ñõîäèòñÿ ïðè x = R (ïðè x = −R). Òîãäà ñóùåñòâó∞∞∞PPPåò liman x n =an Rn ñóùåñòâóåò liman x n =x→R−0 n=0x→−R+0n=0n=0∞Pn=an (−R) .n=0Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Òàê æå, êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâåòåîðåìû 6.6 è òåîðåìû 6.7, îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ïðàâîé ïîëîâèíû îáëàñòè ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2). Ñîãëàñíî ïðåäûäóùåé òåîðåìå, ðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíîíà [0, R].
Íî òîãäà ïî òåîðåìå 5.9 â ýòîì ðÿäå ìîæíî ïåðåõîäèòü ê ïðåäåëó ïðè x → R−0, à lim an xn = an Rn . Òåîðåìàx→R−0äîêàçàíà.134II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÒ å î ð å ì à 6.9 (î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ñòåïåííîãîðÿäà). Ïóñòü ó ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2) ðàäèóñ ñõîäèìîñòèR>0è∞Xan xn = S(x).(6.27)n=0Òîãäà äëÿ âñÿêîãî x ∈ (−R, R) èíòåãðàëZxS(t) dt =∞Xan xn+1n=00n+1=∞Xa1 xa2 xam−1 xm= a0 x +++ ··· =.23mm=12(6.28)3Åñëè, êðîìå òîãî, ðàäèóñ R < +∞, è èñõîäíûé ðÿä (6.27)ñõîäèòñÿ òàêæå ïðè x = R (ïðè x = −R), òî ðàâåíñòâî (6.28)ñïðàâåäëèâî è äëÿ x = R (äëÿ x = −R).Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ðàññìîòðèì ðÿä (6.28) êàê ñòåïåííîé ðÿä, ðàñïîëîæåííûé ïî ñòåïåíÿì xm . Åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R1 íàéä¼ì ïî ôîðìóëå ÊîøèÀäàìàðà (6.4) (ñì.
òåîðåìó 6.2):r m−1 m−1pamm m−1 =lim|a|=m−1m→∞m m−1p1m−1m= lim|am−1 |= .m→∞R1= limR1 m→∞Ïðè âûâîäå ýòîé ôîðìóëû òàêæå áûëî èñïîëüçîâàíî, ÷òîpm−1mïðåäåëû lim= limm = 1, à âåðõíèé ïðåäåëm→∞m→∞mpp1m−1mlim|am−1 | = lim|am | =. Èòàê, R1 = R. Âîçüm→∞m→∞Rì¼ì ïðîèçâîëüíî x0 ∈ (−R, R) è êàêîå-íèáóäü r ∈ (|x0 |, R).1356. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèéÒîãäà ïî òåîðåìå 6.3 ðÿä∞P[−r,r]an xn ⇒ S(x) è, ñëåäîâàòåëüíî,n=0ñîãëàñíî òåîðåìå 5.17, åãî ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü,òî åñòü ðàâåíñòâî (6.28) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ x ∈ (−R, R).Åñëè æå R ∈ (0, +∞) è ðÿä (6.27) ñõîäèòñÿ òàêæå ïðè x = R(ïðè x = −R), òî âîçìîæíîñòü ïî÷ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿâûòåêàåò èç òåîðåìû 6.7 (ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü) è òåîðåìû 5.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
