Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Òåîðåìà äîêàçàíà.Ò å î ð å ì à 6.10 (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäà). Ïóñòü ó ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2) ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R > 0 è∞Xan xn = S(x).n=0Òîãäà äëÿ âñÿêîãî x ∈ (−R, R) ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ0S (x) =∞Xnan xn−1 =n=12= a1 + 2a2 x + 3a3 x + · · · =∞X(6.29)m(m + 1)am+1 x .m=0Åñëè, êðîìå òîãî, ðàäèóñ R < +∞, è ðÿä (6.29) ñõîäèòñÿòàêæå ïðè x = R (ïðè x = −R), òî ðàâåíñòâî (6.29) ñïðàâåäëèâî è äëÿ x = R (äëÿ x = −R).Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ýòîé òåîðåìû àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäûäóùåé òåîðåìû (íàäî ëèøü âìåñòî òåîðåìû 5.17 î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ èñïîëüçîâàòü òåîðåìó 5.19 î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè òàêèõ ðÿäîâ) è ïîýòîìó íå ïðèâîäèòñÿ .136II.
Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû6.3. Ðÿä Òåéëîðà (Ìàêëîðåíà). Àíàëèòè÷åñêèå è íåàíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèèÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) ðàñêëàäûâàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä âèäà (6.2), ðàäèóñ ñõîäèìîñòè êîòîðîãî R > 0 (òî åñòü ôóíêöèÿ f (x) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ýòîãî ðÿäà ïî êðàéíåé ìåðå íàèíòåðâàëå (−R, R)).
Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.10, ó ôóíêöèè f (x)ïðè x ∈ (−R, R) ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x), êîòîðóþìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñòåïåííîãî ðÿäà. Òàê êàê ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ïðîäèôôåðåíöèðîâàííîãî ðÿäà òîò æå ñàìûé, òî îïåðàöèþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ìîæíî ïðîäåëàòü ñêîëüêî óãîäíî ðàç:f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · +an xn + · · · ,f 0 (x) = 1 · a1 x + 2 · a2 x+ · · · +nan xn−1 + · · · ,f 00 (x) =2 · 1 · a2 + · · · +n(n − 1)an xn−2 + · · · ,..........................................................(n)f (x) =n(n − 1) · . . .
· 2 · 1 · an + · · · ,..........................................................Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà x = 0, èìååì, ÷òîan =f (n) (0),n!n = 0, 1, 2, . . . ,(6.30)è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçëîæåíèå â ðÿä ôóíêöèè f (x) èìååòâèä:∞Xf (n) (0) nf (x) =x .(6.31)n!n=0Ðÿä, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû, íàçûâàåòñÿðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè f (x). Òî÷íåå, ðÿä â (6.31) íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Ìàêëîðåíà , à ðÿäîì Òåéëîðà íàçûâàåòñÿ ðÿä6. Ñòåïåííûå ðÿäû.
Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé137âèäà (6.1) ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 , ïðåäñòàâëÿþùèé ôóíêöèþ f (x):∞Xf (n) (x0 )(x − x0 )n .(6.32)f (x) =n!n=0ßñíî, ÷òî ïðè x0 = 0 ôîðìóëà (6.32) ïåðåõîäèò â ôîðìóëó (6.31), ïîýòîìó â äàëüíåéøåì áóäåì èìåòü äåëî ñ ðàçëîæåíèåì (6.31).Ñîãëàñíî òåîðåìå åäèíñòâåííîñòè êîýôôèöèåíòîâ ñòåïåííûõ ðÿäîâ (òåîðåìà 6.5), åñëè êàêàÿ-òî ôóíêöèÿ f (x)ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2) ñ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè R > 0, òî ýòîò ðÿä îáÿçàòåëüíî åñòü å¼ ðÿä Òåéëîðà (6.31).
Ôóíêöèÿ, äëÿ êîòîðîé ðàâåíñòâî (6.31) ñïðàâåäëèâî íà âñ¼ì ìíîæåñòâå ñõîäèìîñòè å¼ ðÿäà Òåéëîðà, íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé. Î÷åâèäíî, ÷òî âñÿêàÿàíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ èìååò ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà. Íî íå âñÿêàÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé. Ê òàêèì ôóíêöèÿì îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, ôóíêöèÿ( − 12e x , x 6= 0,(6.33)f (x) =0,x = 0.Óñòàíîâèì ýòî. Âû÷èñëÿÿ ïðè x 6= 0 ïåðâóþ è âòîðóþïðîèçâîäíûå, èìååì12 − x2,f (x) = 3 ex0− x1246f (x) = − 4 + 6 e.xx00(6.34)Ýòè ôîðìóëû äàþò âîçìîæíîñòü ïðåäïîëîæèòü, ÷òîf(n)Xn(n) − x12ak(x) =e,xn+2kk=1x 6= 0,n = 1, 2, . .
. , (6.35)138II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû(n)ãäå {ak }nk=1 íåêîòîðûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà (n = 1, 2, . . .).Äîêàæåì ôîðìóëó (6.35) ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïðè n = 1 (è ïðè n = 2), ñîãëàñíî (6.34), ýòà ôîðìóëàñïðàâåäëèâà. Ïóñòü îíà âåðíà äëÿ íåêîòîðîãî n > 1. Òîãäà!0Xn1(n) −ak2e xf (n+1) (x) ==n+2kxk=1X Xnn1(n) (n) − x12ak2 − x2(n + 2k)ake+== −en+2k+1n+2k x3xxk=1k=1=Xn+1k=1(n+1) − x12ake,xn+1+2kãäå(n)(n+1)= −(n + 2)a1 ,(n+1)= −(n + 2k)ak + 2ak−1 ,(n+1)an+1(n)2an ,a1ak(n)=(n)k = 2, 3, . . . , n,òî åñòü ôîðìóëà (6.35) âåðíà è äëÿ n+1. Òåì ñàìûì äîêàçàíà ñïðàâåäëèâîñòü ýòîé ôîðìóëû äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ n.Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî− 12e xlim= 0, m = 1, 2, .
. . .x→0 xm1Äåéñòâèòåëüíî, îáîçíà÷èâ 2 = t, ïîëó÷èìx1− 2e−ttm/2e x= 0.lim m = lim −m/2 = limt→+∞ tt→+∞ etx→0 x(6.36)6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé139(Âåëè÷èíà ïîñëåäíåãî ïðåäåëà íàõîäèòñÿ ïóò¼ì ïðèìåíåíèÿm+1ïðàâèëà Ëîïèòàëÿðàç.)2Ôîðìóëû (6.35) ïîêàçûâàþò, ÷òî ôóíêöèÿ (6.33) èìååòâñå ïðîèçâîäíûå ïðè x 6= 0.
Óñòàíîâèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿèìååò âñå ïðîèçâîäíûå è ïðè x = 0. Èç (6.33) è (6.36) ñëåäóåò, ÷òî1− (∆x)2ef(0+∆x)−f(0)0f (0) = lim= lim= 0.∆x→0∆x→0∆x∆xÏðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî n âåëè÷èíàïðîèçâîäíîé f (n) (0) = 0. Íî òîãäà ñîãëàñíî (6.35) è (6.36)èìååìf (n) (0 + ∆x) − f (n) (0)f (n+1) (0) = lim=∆x→0∆xXn1(n)− (∆x)ak2= lime= 0,n+2k+1∆x→0(∆x)k=1òî åñòü ó ôóíêöèè (6.33) èìåþòñÿ ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà ïðè x = 0.
Èòàê, óñòàíîâëåíî, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà, îäíàêî äëÿ íå¼0 = f (0) = f 0 (0) = f 00 (0) = · · · = f (n) (0) = · · ·è ïîýòîìó ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè (6.33) ñîñòîèò èç îäíèõíóëåé, òî åñòü ñõîäèòñÿ âåçäå, íî ê f (x) ëèøü ïðè x = 0.6.4. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé ex , cos x, sin x,ln(1 + x), (1 + x)α â ðÿä Òåéëîðà(Ìàêëîðåíà)Ñóùåñòâîâàíèå íåàíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîêàçûâàåò,÷òî äëÿ èññëåäîâàíèÿ âîçìîæíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíê-140II.
Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûöèè f (x) (åñòåñòâåííî, áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé) å¼ðÿäîì Òåéëîðà (6.31) ñòàíîâèòñÿ íåîáõîäèìûì èçó÷àòü ïîâåäåíèå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà rn (x, f ) ôîðìóëû Òåéëîðàf (x) =nXf (k) (0)k=0k!xk + rn (x, f ).(6.37)ßñíî, ÷òî åñëè rn (x, f ) → 0 äëÿ íåêîòîðîãî x, òî ðÿä Òåéëîðà äëÿ ýòîãî x ñõîäèòñÿ ê çíà÷åíèþ f (x), åñëè æå îñòàòî÷íûé ÷ëåí rn (x, f ) ⇒ r(x) ≡ 0 íà êàêîì-òî ìíîæåñòâå X ,∞Xf (n) (0) n Xx ⇒ f (x). Íàì ïîíàäîáÿòñÿòî è ðÿä Òåéëîðàn!n=0ñëåäóþùèå ôîðìû îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ôîðìóëû (6.37):• ôîðìà Ëàãðàíæàrn (x, f ) =f (n+1) (θx) n+1x ,(n + 1)!θ = θL ∈ (0, 1);(6.38)• ôîðìà Êîøèf (n+1) (θx)(1 − θ)n xn+1 , θ = θC ∈ (0, 1). (6.39)n!Ò å î ð å ì à 6.11.
Äëÿ âñåõ x ∈ (−∞, +∞) ñïðàâåäëèâîðàâåíñòâî∞Xxnx,(6.40)e =n!n=0rn (x, f ) =ïðè÷¼ì äëÿ ëþáîãî A ∈ (0, +∞) ñòåïåííîé ðÿä â (6.40) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê ex íà îòðåçêå [−A, A].xÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Òàê êàê äëÿ ôóíêöèè f (x) = e èäëÿ ëþáîãî k = 0, 1, 2, . . . ïðîèçâîäíàÿ f (k) (x) = ex è, ñëåäîâàòåëüíî, f (k) (0) = 1, òî ðÿä (6.40) ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà (6.31) ýòîé ôóíêöèè.6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé141Äëÿ ëþáîãî A > 0 îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà (6.38) äîïóñêàåò îöåíêóeA An+1,|rn (x, f )| 6(n + 1)!x ∈ [−A, A].eA An+1= 0 êàê ïðåäåë îáùåãî ÷ëåíà ñõîäÿn→∞ (n + 1)!ùåãîñÿ , êàê íåòðóäíî âèäåòü, ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà çíàêî∞XeA An+1ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëîâîãî ðÿäà.
Äåéñòâèòåëü(n+1)!n=1eA An+1íî, îáîçíà÷àÿ îáùèé ÷ëåí ýòîãî ðÿäà ÷åðåç bn =,(n + 1)!bn+1eA An+2 (n + 1)!Aèìååì, ÷òî lim= lim= lim=An+1n→∞ bnn→∞ (n + 2)!e An→∞ n + 2∞P= 0 < 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿäbn ñõîäèòñÿ, ïîýòîìó ïðåäåëÍî ïðåäåë limn=1åãî îáùåãî ÷ëåíà lim bn = 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîn→∞∞Xxnn=0n![−A,A]⇒ ex .(6.41)Äëÿ âñÿêîãî x0 ∈ (−∞, +∞) âîçüì¼ì A > |x0 | è ïîëó÷èì,∞Xxn0= ex0 . Òåîðåìà äîêàçàíà.ñîãëàñíî (6.41), ÷òîn!n=0Ò å î ð å ì à 6.12. Äëÿ âñåõ x ∈ (−∞, +∞) ñïðàâåäëèâûðàâåíñòâà∞Xx2n+1n(−1),sin x =(2n + 1)!n=0(6.42)∞2nXxcos x =(−1)n,(2n)!n=0142II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûïðè÷¼ì äëÿ ëþáîãî A ∈ (0, +∞) ñòåïåííûå ðÿäû â (6.42)ñõîäÿòñÿ ðàâíîìåðíî ê ñîîòâåòñòâóþùèì ôóíêöèÿì íà îòðåçêå [−A, A].Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ýòîé òåîðåìû àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäûäóùåé òåîðåìû è ïîýòîìó íå ïðèâîäèòñÿ .Ò å î ð å ì à 6.13.
Âî âñåõ òî÷êàõ ñõîäèìîñòè ðÿäà (6.7)(òî åñòü ïðè x ∈ (−1, 1]) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∞Xxn,ln(1 + x) =(−1)n−1nn=1−1 < x 6 1.(6.43)Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíûå äëÿ f (x) = ln(1 + x), èìååì11, f 00 (x) = −,1+x(1+x)2.....................................................(6.44)(−1)n n!(−1)n−1 (n − 1)!(n+1)(n), f(x) =,f (x) =(1 + x)n(1 + x)n+1.....................................................f (0) (x) = ln(1+x), f 0 (x) =Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âèäíî, ÷òî ðÿä (6.7) (èëè, äðóãèìèñëîâàìè, ðÿä â (6.43)) ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà (6.31) ôóíêöèè f (x) = ln(1 + x).Ïóñòü x ∈ (−1, 1).
Òîãäà èç (6.39) è (6.44) ñëåäóåò, ÷òîîñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Êîøèrn (x, f ) =(−1)n n!f (n+1) (θx)(1 − θ)n xn+1 =(1 − θ)n xn+1n!(1 + θx)n+1äîïóñêàåò îöåíêó|x|n+1|rn (x, f )| 61 − |x|n+1 1 − θ n 6 |x|· ,1 + θx 1 − |x|6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé143è, ñëåäîâàòåëüíî, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Òàêèì îáðàçîì,∞Xxn, −1 < x < 1.(6.45)ln(1 + x) =(−1)n−1nn=1òî åñòü ðàâåíñòâî (6.43) ñïðàâåäëèâî ïðè x ∈ (−1, 1). Íîðÿä â (6.45) ñõîäèòñÿ è ïðè x = 1.
Ñîãëàñíî âòîðîé òåîðåìåÀáåëÿ (òåîðåìå 6.8), óñòðåìëÿÿ â (6.45) ïåðåìåííóþ x ê 1−0,ïîëó÷àåì, ÷òî ðàâåíñòâî (6.43) ñïðàâåäëèâî è ïðè x = 1.Òåîðåìà äîêàçàíà.Ïîñêîëüêó ðàâåíñòâî (6.43) ïðè x = 1 ïðèíèìàåò âèä:∞X(−1)n−1n=1n=1−1 1 1+ − + · · · = ln 2,2 3 4òî òåì ñàìûì ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà (6.31)ôóíêöèè f (x) = ln(1 + x) ìîæíî íàéòè ñóììó çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà Ëåéáíèöà .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
