Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Âûáèðàåì n èç ñèñòåìû xα α∈A ëþáóþ êîíå÷íóþ ïîäñèñòåìó xαk k=1 . Èñõîäíàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé, åñëè å¼ ëþáàÿêîíå÷íàÿ ïîäñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìà â òîì ñìûñëå, âêàêîì ðàíåå ââîäèëîñü ïîíÿòèå ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ.7.2. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâËèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì , åñëè äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà x ∈ Xîïðåäåëåíî ÷èñëî kxk, íàçûâàåìîå íîðìîé x è óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì.1557. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà1.
Äëÿ âñÿêîãî x ∈ X íîðìà kxk > 0, ïðè÷¼ì kxk = 0òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = Θ.Íàïîìíèì, ÷òî Θ íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà X.2. Äëÿ ëþáîãî x ∈ X è ëþáîãî ÷èñëà α ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîkαxk = |α| · kxk.3. Äëÿ ëþáûõ x ∈ X, y ∈ X ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîkx + yk 6 kxk + kyk.Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ "íåðàâåíñòâîì òðåóãîëüíèêà".
Åñëè ñ÷èòàòü ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà X âåêòîðàìè, à ïîä kxk ïîíèìàòü äëèíó ýòîãî âåêòîðà, òî íåðàâåíñòâîòðåóãîëüíèêà îçíà÷àåò, ÷òî äëèíà ëþáîé ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà íå ïðåâîñõîäèò ñóììû äëèí äâóõ äðóãèõ ñòîðîí.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ï ð è ì å ð û ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ.1. Ìíîæåñòâî l1 âñåõ àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ∞Pðÿäîâ, òî åñòü ðÿäîâ âèäà (7.1) è òàêèõ, ÷òî ðÿä|an |n=1ñõîäèòñÿ. Óñòàíîâèì âíà÷àëå, ÷òî ýòî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, äðóãèìè ñëîâàìè, ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Σ . Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òîïðîèçâåäåíèå àáñîëþòíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà íà ÷èñëî è ñóììàäâóõ àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìèñÿ ðÿäàìè.
Äåéñòâèòåëüíî, èç àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (7.1) âûòåêàåò àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà (7.2),òàê êàê ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü |α| ìîæíî âûíîñèòü çà çíàêñóììû ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà (ñì. òåîðåìó 1.1). Äàëåå, èç àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ðÿäîâ (7.1), (7.3) è òîãî, ÷òî |cn | =156III. Ðÿäû Ôóðüå= |an + bn | 6 |an | + |bn | âûòåêàåò àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà (7.4) ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ(ñì. òåîðåìó 2.2). Èòàê, l1 ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ââåä¼ìâ í¼ì íîðìó ïî ôîðìóëå:∞∞XXan =|an |.kak1 ≡ n=11(7.8)n=1Ïðîâåðèì, ÷òî ôîðìóëà (7.8) çàäà¼ò íîðìó.  ñàìîì äåëå,∞Päëÿ âñÿêîãî a ≡an ∈ l1 ýòî ÷èñëî îïðåäåëåíî, íåîòðèöàn=1òåëüíî è îáðàùàåòñÿ â íóëü ëèøü äëÿ íóëåâîãî ðÿäà (7.5).Äàëåå, äëÿ ëþáîãî ðÿäà a ∈ l1 è ëþáîãî ÷èñëà α èìååìkαak1 =∞X|αan | = |α| ·n=1∞X|an | = |α| · kak1 .n=1Íàêîíåö, äëÿ ëþáûõ äâóõ ðÿäîâ a ∈ l1 , b ∈ l1 ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâîka + bk1 =∞Xn=1|an + bn | 6∞Xn=1|an | +∞X|bn | = kak1 + kbk1 .n=1Òàêèì îáðàçîì, ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî l1 àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ñ íîðìîé, çàäàâàåìîé ôîðìóëîé (7.8),ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì.2.
Ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâîC[a, b] ≡ {f (x) ∈ C[a, b]},kf kC = max |f (x)|.x∈[a,b](7.9)Óáåäèìñÿ, ÷òî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî óäîâëåòâîðÿåò âñåì òð¼ìñâîéñòâàì íîðìû è ïðåâðàùàåò òåì ñàìûì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî C[a, b] â ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî1577. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâàC[a, b]. Äåéñòâèòåëüíî, |f (x)| íåîòðèöàòåëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, íà îòðåçêå [a, b] îíà îãðàíè÷åíà ñâåðõó è äîñòèãàåò ñâîåé òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè (íåîòðèöàòåëüíîé). Åñëè æå kf kC = max |f (x)| = 0, òî äëÿ êàæäîãîx∈[a,b]x ∈ [a, b] çíà÷åíèå |f (x)| = 0, ïîýòîìó f (x) = Θ(x).
Äàëåå,äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (x) ∈ C[a, b] è ëþáîãî ÷èñëà α èìååìkαf kC = max |αf (x)| = |α| · max |f (x)| = |α| · kf kC .x∈[a,b]x∈[a,b]È íàêîíåö, äëÿ ëþáûõ äâóõ ôóíêöèé f (x) è g(x) èç C[a, b]ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîkf + gkC = max |f (x) + g(x)| 6 max |f (x)| + |g(x)| 6x∈[a,b]x∈[a,b]6 max |f (x)| + max |g(x)| = kf kC + kgkC .x∈[a,b]x∈[a,b]Èòàê, C[a, b] ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî.3. Ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâîC∗ [a, b] ≡ {f (x) ∈ C ∗ [a, b]},kf kC = max |f (x)|.x∈[a,b](7.10)Óáåäèòüñÿ â âûïîëíåíèè âñåõ ñâîéñòâ íîðìû ìîæíî òî÷íîòàê æå, êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Îäíàêî åñëè çàìåòèòü, ÷òî ïîñêîëüêó, êàê óæå îòìå÷àëîñü ðàíåå, ëèíåéíîåïðîñòðàíñòâî C ∗ [a, b] ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà C[a, b] è íîðìà çàäà¼òñÿ òîé æå ôîðìóëîé ,òî òåì ñàìûì C∗ [a, b] ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî∗íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà C[a, b], òî åñòü C [a, b] ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî.4.
Ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâîQ0 [a, b] ≡ {f (x) ∈ Q0 [a, b]},kf kQ = sup |f (x)|.x∈[a,b](7.11)158III. Ðÿäû ÔóðüåÓáåäèìñÿ, ÷òî è çäåñü âûïîëíÿþòñÿ âñå ñâîéñòâà íîðìû.Äåéñòâèòåëüíî, |f(x)| íåîòðèöàòåëüíàÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ñ òî÷êàìè ðàçðûâà òîëüêî ïåðâîãî ðîäà, ñëåäîâàòåëüíî, íà îòðåçêå [a, b] îíà îãðàíè÷åíà ñâåðõó, òî åñòüå¼ òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü íåîòðèöàòåëüíà. Åñëè æå kf kQ == sup |f (x)| = 0, òî äëÿ êàæäîãî x ∈ [a, b] çíà÷åíèå |f (x)| =x∈[a,b]= 0, ïîýòîìó f (x) = Θ(x). Äâà äðóãèõ ñâîéñòâà íîðìûïðîâåðÿþòñÿ òàê æå êàê è âî âòîðîì ïðèìåðå (ïðîñòðàíñòâî C[a, b]) ñ åñòåñòâåííîé çàìåíîé ñèìâîëà max íà ñèìâîësup. Ñëåäîâàòåëüíî, Q0 [a, b] ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî.5.
Ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâîCL1 [a, b] ≡ {f (x) ∈ C[a, b]},kf k1 =Rb|f (x)| dx.aÏðîâåðèì âûïîëíåíèå âñåõ ñâîéñòâàì íîðìû. Äåéñòâèòåëüíî, |f (x)| íåîòðèöàòåëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, íà îòðåçêå [a, b] îíà èíòåãðèðóåìà è âåëè÷èíàRbkf k1 > 0. Åñëè æå kf k1 = |f (x)| dx = 0, òî ïî õîðîøî èçaâåñòíîìó ñâîéñòâó èíòåãðàëîâ îò íåîòðèöàòåëüíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé èç ðàâåíñòâà íóëþ èíòåãðàëà îò òàêîéôóíêöèè âûòåêàåò ðàâåíñòâî íóëþ çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè âêàæäîé òî÷êå îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ, òî åñòü f (x) = Θ(x).Äàëåå, äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (x) ∈ CL1 [a, b] è ëþáîãî ÷èñëàα èìååìkαf k1 =Rba|αf (x)| dx = |α| ·Rba|f (x)| dx = |α| · kf k1 .1597. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâàÍàêîíåö, äëÿ ëþáûõ äâóõ ôóíêöèé f (x) è g(x) èç CL1 [a, b]ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîkf + gk1 =Rb|f (x) + g(x)| dx 6=|f (x)| + |g(x)| dx =aaRbRb|f (x)| dx +Rb|g(x)| dx = kf k1 + kgk1 .aaÈòàê, CL1 [a, b] ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî.6.
Ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâîC∗ L1 [a, b] ≡ {f (x) ∈ C ∗ [a, b]},kf k1 =Rb|f (x)| dx.a ýòîì ïðèìåðå â âûïîëíåíèè ñâîéñòâ íîðìû ïðîùå âñåãîóáåäèòüñÿ (òàê æå, êàê è â òðåòüåì ïðèìåðå), ñîñëàâøèñüíà òî, ÷òî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî C ∗ [a, b] ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà C[a, b] è íîðìà çàäà¼òñÿòîé æå ôîðìóëîé , ÷òî è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå.7. Ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâîQ0 L1 [a, b] ≡ {f (x) ∈ Q0 [a, b]},kf k1 =Rb|f (x)| dx.aÇäåñü |f (x)| íåîòðèöàòåëüíàÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ñ òî÷êàìè ðàçðûâà òîëüêî ïåðâîãî ðîäà, ñëåäîâàòåëüíî, íà îòðåçêå [a, b] îíà èíòåãðèðóåìà è âåëè÷èíà kf k1 > 0.RbÏóñòü kf k1 = |f (x)| dx = 0. Ïî àääèòèâíîìó ñâîéñòâó èíaòåãðàëîâ 0 =Rba|f (x)| dx =nRxkPk=1 xk−1|f (x)| dx, ãäå a = x0 << x1 < · · · < xn = b òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f (x), âêëþ÷àÿ êîíöû îòðåçêà [a, b] (ñì.
(7.6)). Íî òîãäàRxk|f (x)| dx = 0, k = 1, 2, . . . , n.xk−1160III. Ðÿäû ÔóðüåÏîñëå èçìåíåíèÿ â òî÷êàõ xk−1 è xk ôóíêöèþ |f (x)| ìîæíîñäåëàòü íåîòðèöàòåëüíîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé, äëÿ êîòîðîé, êàê èçâåñòíî, èç ðàâåíñòâà íóëþ èíòåãðàëà ïî îòðåçêó [xk−1 , xk ] âûòåêàåò ðàâåíñòâî íóëþ â êàæäîé òî÷êå ýòîãîîòðåçêà. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåèçìåí¼ííîé ôóíêöèè èìååìf (x) = 0,x ∈ (xk−1 , xk ),k = 1, 2, . . . , n.(7.12)Òàê êàê ôóíêöèÿ f (x) îñðåäíåíà â òî÷êàõ {xk }nk=0 , òî èç (7.7)è (7.12) âûòåêàåò, ÷òîf (xk ) = 0,k = 0, 1, . . . , n.(7.13)Ïîýòîìó èç (7.12) è (7.13) íàõîäèì, ÷òî èç ðàâåíñòâà kf k1 == 0 ñëåäóåò ðàâåíñòâî f (x) = Θ(x) ≡ 0.
Òåì ñàìûì ïåðâîåñâîéñòâî íîðìû óñòàíîâëåíî. Âòîðîå è òðåòüå ñâîéñòâà íîðìû ïðîâåðÿþòñÿ òàê æå êàê è â ïÿòîì ïðèìåðå (ïðîñòðàíñòâî CL1 [a, b]). Èòàê, Q0 L1 [a, b] ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîåïðîñòðàíñòâî.Ñðàâíåíèå ïðèìåðîâ 2 è 5, à òàêæå 3 è 6, 4 è 7 ïîêàçûâàåò, ÷òî èç îäíîãî è òîãî æå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà(C[a, b], C ∗ [a, b], Q0 [a, b]), ââîäÿ ðàçíûå íîðìû, ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçíûå ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà.Íàðÿäó ñ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì l1àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ (ïðèìåð 1), èçó÷àþòñÿ è äðóãèå ïðîñòðàíñòâà ðÿäîâ.
Òàê, äëÿ âñÿêîãî p > 0ìîæíî ðàññìîòðåòü ìíîæåñòâî lp ðÿäîâ âèäà (7.1) è òàêèõ,∞P÷òî ðÿä|an |p ñõîäèòñÿ. Ýòî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî 1 .n=11 Òî÷íåå,lp ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ââåä¼ííîãî íà ññ. 149150ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Σ . Ýòîò ôàêò âîâñå íå ñàìîî÷åâèäåí. Íàèáîëåå ñëîæíûì ïðè åãî óñòàíîâëåíèè ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî çàìêíó-1617. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâàÅñëè ââåñòè â ýòîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íîðìó ïî ôîðìóëå∞∞XX1p pan =|an |kakp ≡ ,(7.14)n=1pn=1òî ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî ïðè p > 1 âñå ñâîéñòâà íîðìûâûïîëíÿþòñÿ è òåì ñàìûì âñå lp ïðè ýòèõ p ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè íîðìèðîâàííûìè ïðîñòðàíñòâàìè; à ïðè 0 < p < 1íå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà è, ñòàëî áûòü, lpïðè òàêèõ p óæå íå ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè íîðìèðîâàííûìèïðîñòðàíñòâàìè.
Êñòàòè ñêàçàòü, óñòàíîâëåíèå íåðàâåíñòâàòðåóãîëüíèêà äëÿ íîðìû, çàäàâàåìîé ôîðìóëîé (7.14) ïðèp > 1 íàèáîëåå òðóäî¼ìêàÿ îïåðàöèÿ, è ïîýòîìó çäåñü ìûíå áóäåì ýòîãî äåëàòü.Òàêæå ìîæíî ïîïûòàòüñÿ â ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõC[a, b], C ∗ [a, b] è Q0 [a, b] ââåñòè íîðìó ïî ôîðìóëå Rb p1(7.15)kf kp =|f (x)|p dx , p > 0aè ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâåííî ïîêà åù¼ òîëüêî ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà CLp [a, b], C∗ Lp [a, b] è Q0 Lp [a, b].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
