Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Ðÿäû ÔóðüåÓñòàíîâèì, ÷òî ïîòî÷å÷íûì∞ ïðåäåëîì ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn(x) n=1 íà îòðåçêå [0, 1] ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ f (x) ≡ 0. Äëÿ ýòîãî óáåäèìñÿ, ÷òî ïðè âñÿêîì x ∈ [0, 1]ïðåäåëlim fn (x) = 0.(7.39)n→∞ ñàìîì äåëå, ïðè ëþáîì n çíà÷åíèå fn (0) = 0, à åñëè 0 <1< x 6 1, òî íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî n (êîãäà n ñòàíåò ìåíü2øå, ÷åì x) çíà÷åíèå fn (x) = 0, ïîýòîìó (7.39) ñïðàâåäëè∞âî. Èòàê, ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1íà [0, 1] ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) ≡ 0. Òàê êàêsup |fn (x) − f (x)| = 2n , à 2n ïðè n → ∞ ñòðåìèòñÿ ê +∞, àx∈[0,1]íå ê 0, òî ñîãëàñíî òåîðåìå 5.1 (êðèòåðèé ðàâíîìåðíîéñõî∞äèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè), fn (x) n=1íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ íà [0, 1].∞Ýòà æå ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1íå ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ â ñìûñëå Lp íà [0, 1] íè äëÿ êàêîãîp > 1. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû îíà ñõîäèëàñü â ñìûñëå Lp íà[0, 1] äëÿ íåêîòîðîãî p > 1 â êàêîì-íèáóäü èç ïðîñòðàíñòâ:CLp [a, b], C∗ Lp [a, b] èëè Q0 Lp [a, b] (â êàêîì íåâàæíî, òàê∞êàê ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) n=1 ïðèíàäëåæèò âñåì òð¼ì ïðîñòðàíñòâàì).

Íî òîãäà ïî òåîðåìå 7.5 îíàáûëà áû ôóíäàìåíòàëüíîé. Óáåäèìñÿ, ÷òî ýòî íå òàê. Âîçü1> 0 è äëÿ ëþáîãî íîìåðà N óêàæåì íîìåðàì¼ì ε =2(p + 1)n = N + 1 è m = n + 1 (ÿñíî, ÷òî n > N è m > N ). Èìå112nRRåì kfn − fm kpp = |fn (x) − fm (x)|p dx >|fn (x)|p dx =0112n+1pR2n 2n+12=(1 − 2n )x dx = äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé x =12n+17. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà17912n+1R 2n+1 p2n(p−1)−1112>= ε, îò= n −t =t dt =2p+12(p + 1)0êóäà âûòåêàåò îòñóòñòâèå ôóíäàìåíòàëüíîñòè, à çíà÷èò èñõîäèìîñòèâ ñìûñëå Lp ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíî∞ñòè fn (x) n=1 .×òîáû óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî èç ñõîäèìîñòè â ñìûñëå Lpíå âûòåêàåò, âîîáùå ãîâîðÿ, íè ðàâíîìåðíîé, íè äàæå ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè, ðàññìîòðèì íà îòðåçêå [a, b] ≡ [−1, 1]∞ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 :1fn (x) = n 2p · e−n2 x 2p,−1 6 x 6 1.1Òàê êàê lim fn (0) = lim n 2p = +∞, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ón→∞n→∞ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà [−1, 1] íåò íè ïîòî÷å÷íîé, íè òåì áîëåå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè.

Îäíàêîýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ â ñìûñëå Lp ê ôóíêöèèR1f (x) ≡ 0.  ñàìîì äåëå, kfn − f kpp = |fn (x) − f (x)|p dx =−1=R1−1|fn (x)|p dx =R1 √−n2 x2nedx = (äåëàåì çàìåíó ïåðåìåí-−11 Rn −t2e dt → 0 ïðè n → ∞, òàê êàê íåñîáíîé nx = t) = √n −n+∞R −t2ñòâåííûé èíòåãðàëe dt ñõîäèòñÿ.−∞7.6. Ïðèìåðû íåïîëíûõ ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâÏîìèìî ââåä¼ííûõ íà ññ. 157160 ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ Q0 [a, b], CL1 [a, b], C∗ L1 [a, b] è Q0 L1 [a, b] òàêæå ðàññìîòðèì (è óñòàíîâèì íåïîëíîòó) ëèíåéíûõ íîðìè-180III.

Ðÿäû Ôóðüåðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ CLp [a, b], C∗ Lp [a, b] è Q0 Lp [a, b] (äëÿâñåõ p > 1 èëè õîòÿ áû ïðè p = 2).Ìû óêàæåì ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íåÿâëÿþùèåñÿ ñõîäÿùèìèñÿ â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ.Ïðîñòðàíñòâî Q0 [a, b] è ïðîñòðàíñòâà Q0 Lp [a, b].Ðàññìîòðèì íà îòðåçêå [a, b] ≡ [−1, 1] ôóíêöèîíàëüíóþ ïî∞ñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 :11,< |x| 6 1;2111< |x| < , k = 2, 3, . . .

, n; ,k+1kfn (x) = k10,|x| <;n+1111îñðåäíåíà ïðè x = ± , ± , . . . , ±.23n+11817. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâàÏðîâåðèì ðàâíîìåðíóþ∞ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) n=1 , à èìåííî, óñòàíîâèì, ÷òî[−1,1](7.40)fn (x) ⇒ f (x),ãäå11,< |x| 6 1;2111 ,< |x| < , k = 2, 3, . . . ;k+1kf (x) = k0,x = 0;îñðåäíåíà ïðè x = ± 1 , ± 1 , ± 1 , . . . .234Òàê êàê ôóíêöèè fn (x) è f (x) ÿâëÿþòñÿ ÷¼òíûìè, âîçðàñòàþùèìè ïðè 0 6 x 6 1 è íåñîâïàäàþùèìèäðóã ñ äðóãîì11ëèøü ïðè x ∈ −,\ {0}, òîn+1 n+1αn = sup |fn (x) − f (x)| =x∈[−1,1]lim1x→ n+1 −0f (x) =1.n+1Ïîñêîëüêó lim αn = 0, òî ñîãëàñíî êðèòåðèþ ðàâíîìåðn→∞íîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (òåîðåìà 5.1) èìååò ìåñòî (7.40), îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü, âûòåêàåò ñõîäèìîñòü∞ íà [−1, 1] ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) n=1 ê òîé æå ñàìîé ôóíêöèè f (x) â ñìûñëå Lp .Òàêæå èç (7.40) ñîãëàñíî òåîðåìå 5.2) (êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè)âûòåêàåò ðàâíîìåðíàÿ ôóíäàìåíòàëüíîñòüôóíêöèîíàëü∞íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) n=1 íà îòðåçêå [−1, 1], îçíà÷àþùàÿ, åñòåñòâåííî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìîæíî íàéòè íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N , m > N è äëÿ182III.

Ðÿäû Ôóðüåεâñåõ x ∈ [−1, 1] àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |fn (x) − fm (x)| < .2Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîεkfn − fm kQ = sup |fn (x) − fm (x)| 6 < ε,2x∈[a,b]∞òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 ôóíäàìåíòàëüíà âïðîñòðàíñòâå Q0 [−1, 1]. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå, òàê êàê å¼ ïðåäåë íåïðèíàäëåæèò Q0 [−1, 1] (ó ôóíêöèè f (x) áåñêîíå÷íî ìíîãîòî÷åê ðàçðûâà). Èòàê, ïðîñòðàíñòâî Q0 [−1, 1] (òî åñòü è ïðîñòðàíñòâî Q0 [a, b]) íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ è íåïîëíîòà ïðîñòðàíñòâ Q0 Lp [a, b], åñëè çàìåòèòü, ÷òî ïîäîáíî òîìó, êàê â ïðåäûäóùåì ïóíêòå èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè áûëà âûâåäåíà ñõîäèìîñòü â ñìûñëå Lp ,òàê è èç ðàâíîìåðíîé ôóíäàìåíòàëüíîñòè ìîæíî âûâåñòèôóíäàìåíòàëüíîñòü â ñìûñëå Lp , òî åñòü â íàøåì∞ ïðèìåðåôóíäàìåíòàëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) n=1 â ïðîñòðàíñòâå Q0 Lp [−1, 1].

Ïîýòîìó ïðîñòðàíñòâî Q0 Lp [−1, 1] (àçíà÷èò è ïðîñòðàíñòâî Q0 Lp [a, b]) òàêæå íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì.Ïðîñòðàíñòâà CLp [a, b] è ïðîñòðàíñòâà C∗ Lp [a, b].Òàêæå êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ïîëîæèì [a, b] ≡ [−1, 1]è ðàññìîòðèìîòðåçêå ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâà íà ýòîì∞òåëüíîñòü fn (x) n=1 :1;(n + 1)x,|x| 6n+112 sgn x,6 |x| 6 ;n+13fn (x) =2−3 − 3x,−1 6 x 6 − ;32 3 − 3x,6 x 6 1.37. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà183∞Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [−1, 1], òî÷íåå,lim fn (x) = f (x) äëÿ âñåõ x ∈ [−1, 1],n→∞ãäå2;sgnx,|x|632f (x) = −3 − 3x, −1 6 x 6 − ;32 3 − 3x,6 x 6 1.3 îòëè÷èå îòïðèìåðà, ñõîäèìîñòü ïîñëå ïðåäûäóùåãî∞äîâàòåëüíîñòè fn (x) n=1 çäåñü íå ðàâíîìåðíàÿ, à ëèøü ïîòî÷å÷íàÿ , à èç íå¼, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âûòåêàåò ñõîäèìîñòü â ñìûñëå Lp .

Îòìåòèì ïîïóòíî, ÷òî ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè çäåñü íå ìîæåò è áûòü, òàê êàê ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) ðàçðûâíà. Óñòàíîâèì íåïîñðåäñòâåííîôóíäàìåí∞òàëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) n=1 â ïðîñòðàíñòâàõCLp [−1, 1] è C∗ Lp [−1, 1] (ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî nôóíêöèÿ fn (x) ïðèíàäëåæèò îáîèì ýòèì ïðîñòðàíñòâàì) èå¼ ñõîäèìîñòü â ñìûñëå Lp ê ôóíêöèè f (x). Äåéñòâèòåëüíî,ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè m > n.

Òîãäà ïàðà ôóíêöèé fn (x)184III. Ðÿäû Ôóðüåè fm (x), êàê è ïàðà ôóíêöèé fäðóãn (x) è f (x), îòëè÷àþòñÿ11,\ {0}, ïðèîò äðóãà ëèøü íà ìíîæåñòâå −n+1 n+1÷¼ì àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ðàçíîñòè ôóíêöèé âíóòðè êàæäîé ïàðû âñåãäà ìåíüøå åäèíèöû. Ïîýòîìó êàê âåëè÷èíàR1kfn −fm kpp = |fn (x)−fm (x)|p dx, òàê è âåëè÷èíà kfn −f kpp =−1=R1|fn (x) − f (x)|p dx îöåíèâàþòñÿ ñâåðõó çíà÷åíèåì èíòå-−11n+12, òî åñòün+11− n+1p1p122kfn − fm kp 6,kfn − f kp 6. (7.41)n+1n+1Ïåðâîå èç íåðàâåíñòâ∞ â (7.41) ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé â ïðîñòðàíñòâàõ CLp [−1, 1] è C∗ Lp [−1, 1], à âòîðîåèç íåðàâåíñòâ∞â (7.41) î òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 ñõîäèòñÿ â ñìûñëå Lp ê ôóíêöèè f (x), êîòîðàÿ, êàê óæå îòìå÷àëîñü, ðàçðûâíà è ïîýòîìó íå ïðèíàäëåæèò íè ïðîñòðàíñòâó CLp [−1, 1], íè ïðîñòðàíñòâó C∗ Lp [−1, 1]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîñòðàíñòâà CLp [−1, 1] è C∗ Lp [−1, 1] (à âìåñòå ñ íèìèè ïðîñòðàíñòâà CLp [a, b] è C∗ Lp [a, b]) íå ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè.ãðàëàR|1|p dx =7.7.

Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû1. Óñòàíîâèòü åäèíñòâåííîñòü íóëåâîãî ýëåìåíòà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.2. Óñòàíîâèòü, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà x èç ëèíåéíîãîïðîñòðàíñòâà L ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò åäèíñòâåí .7. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà1853. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà x ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî0 · x = Θ.4.

Óñòàíîâèòü, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà x èç ëèíåéíîãîïðîñòðàíñòâà L ïðîòèâîïîëîæíûì ýëåìåíòîì ÿâëÿåòñÿ (−1) · x.∞5. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ôóíêöèé fn (x) n=0 ïðè x ∈ [a, b],ãäå −∞ < a < b < +∞:fn (x) = xn ,n = 0, 1, . . . ,òî åñòüf1 (x) = x, . . . , fn (x) = xn , . . . .∞Óñòàíîâèòü, ÷òî fn (x) n=0 ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå C[a, b].f0 (x) ≡ 1,6. Ïóñòü A = (0, 1). Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ôóíêöèéfα (x) α∈A ïðè x ∈ [−1, 1]:(0,|x| 6 α,fα (x) =|x| − α, α 6 |x| 6 1 .Óñòàíîâèòü, ÷òî fα (x) α∈A ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿñèñòåìà â ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ: C[−1, 1], C ∗ [−1, 1],Q0 [−1, 1].7. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî l2 ðÿäîâ âèäà (7.1) è òàêèõ,∞P÷òî ðÿä|an |2 ñõîäèòñÿ, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòn=1ðàíñòâîì .

Óñòàíîâèòüòàêæå, ÷òî åñëè ââåñòè â ýòîì186III. Ðÿäû Ôóðüåëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íîðìó ïî ôîðìóëå (ñì. ôîðìóëó (7.14) íà ñ. 161 ïðè p = 2):vu∞∞XuXan = t|an |2 ,(7.42)kak2 ≡ n=1òî l2 ñòàíîâèòñÿ1.2n=1ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàí-ñòâîì8. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâîl2 ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì .9. Óñòàíîâèòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè â ñìûñëå L2 âûòåêàåòñõîäèìîñòü â ñìûñëå L1 .8. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà8.1. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû åâêëèäîâûõïðîñòðàíñòâ ýòîì ïóíêòå ìû âíà÷àëå ââåä¼ì ïîíÿòèå åâêëèäîâàïðîñòðàíñòâà êàê ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñî ñêàëÿðíûìïðîèçâåäåíèåì . Ïðè ýòîì áóäóò îòäåëüíî ââåäåíû ïîíÿòèÿâåùåñòâåííîãî è êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ.

Èõíåçàâèñèìîå ââåäåíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî àêñèîìû ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, êàê ìû óâèäèì íèæå, íåñêîëüêî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà.Âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî E íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì , åñëè äëÿ ëþáûõ1 Êàêìû óâèäèì íèæå (ñì. ñ. 215, çàäà÷a 9 ñëåäóþùåãî ïàðàãðàôà),â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå , è îíî òåìñàìûì ñòàíåò åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì.8. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà187äâóõ ýëåìåíòîâ x ∈ E è y ∈ E îïðåäåëåíî âåùåñòâåííîå ÷èñëî (x, y), íàçûâàåìîå ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåíòà xíà ýëåìåíò y è óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì.1.

Характеристики

Список файлов лекций