Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 19
Текст из файла (страница 19)
È çäåñü ëèøü ïðèp > 1 ôîðìóëà (7.15) óäîâëåòâîðÿåò âñåì ñâîéñòâàì íîðìû,è ñëåäîâàòåëüíî ïðîñòðàíñòâà CLp [a, b], C∗ Lp [a, b] è Q0 Lp [a, b]ïðè ýòèõ p ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè íîðìèðîâàííûìè ïðîñòðàíñòâàìè; à ïðè 0 < p < 1 íå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà, êîòîðîå, îïÿòü æå, ïðè p > 1 òðóäíåå âñåãî óñòàíîâèòü.  ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå, êîòîðûé áóäåò ïîñâÿù¼íåâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâàì, áóäåò ðàññìîòðåí ñëó÷àé p = 2òîñòè∞Pîïåðàöèè ñëîæåíèÿ: èç ñõîäèìîñòè ðÿäîâäëÿ íåêîòîðîãî p > 0 âûâåñòè ñõîäèìîñòü ðÿäàæå p.∞Pn=1n=1|an |p è∞P|bn |pn=1|an + bn |p äëÿ òîãî162III.
Ðÿäû Ôóðüå(ñì. ïðîñòðàíñòâà (8.14) ñ íîðìîé (8.17)), à âñå îñòàâøèåñÿp ∈ (1, 2) ∪ (2, +∞) ìû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì.7.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû â ëèíåéíûõíîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõÇäåñü ìû íà÷í¼ì ðàññìàòðèâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ∞xn n=1 , xn ∈ X(7.16)è ðÿäû∞Pun ,(7.17)un ∈ X,n=1ñîñòîÿùèå èç ýëåìåíòîâ xn , un , ïðèíàäëåæàùèõ íåêîòîðîìóëèíåéíîìó íîðìèðîâàííîìó ïðîñòðàíñòâó X.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.16) è ðÿäû (7.17) áóäåì íàçûâàòüïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè è ðÿäàìè â X.Ðàçóìååòñÿ, òàê æå, êàê â ñëó÷àå ÷èñëîâûõ èëè ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ, íîìåð íà÷àëüíîãîýëåìåíòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â X èëè íà÷àëüíîå çíà÷åíèåèíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ ðÿäà â X ìîæåò áûòü êàê áîëüøå,òàê è ìåíüøå åäèíèöû.Òàêæå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå äðóãèå ïîíÿòèÿ è âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè è ðÿäàìè â X.
∞Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn n=1 â X íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ , åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x ∈ X, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ ëþáîãî íîìåðà n > N èìååòìåñòî íåðàâåíñòâî kxn − xk< ε. Ýëåìåíò x íàçûâàåòñÿ ïðå∞äåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xnâ X.n=1 ∞Òîò ôàêò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn n=1 â X ñõîäèòñÿê ñâîåìó ïðåäåëó x îáîçíà÷àåòñÿ òàê:lim xn = x èëèn→∞Xlim xn = x.n→∞(7.18)1637. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâàÂòîðîå îáîçíà÷åíèå â (7.18) ïðèìåíÿåòñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäàïîä÷åðêíóòü, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàäî∞xn n=1 ðàññìàòðèâàåòñÿ èìåííî ïî íîðìå ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X (â îäíîì è òîì æå ëèíåéíîìïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââîäèòü, êàê ìû âèäåëè, ðàçíûå íîðìû).
∞Äëÿ ðÿäà (7.17) ââåä¼ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Sn n=1 ÷àñòè÷íûõ ñóìì :S 1 = u1 ,S2 = u1 + u2 , . . . , Sn =nXuk , . . . .k=1Ðÿä∞Pun â X íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ , åñëè ïîñëåäîâà∞òåëüíîñòü Sn n=1 åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì ñõîäèòñÿ. Ïðè ýòîìS = lim Sn íàçûâàåòñÿ ñóììîé ðÿäà.n→∞∞PÒî, ÷òî ðÿäun â X ñõîäèòñÿ ê ñâîåé ñóììå S îáîçíàn=1÷àåòñÿ òàê:∞∞XXXun = S.(7.19)un = S èëèn=1n=1n=1Ñõîäèìîñòü ðÿäà â X îïðåäåëåíà, êàê è äëÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà, ÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì.
ßñíî, ÷òî è â ëèíåéíîì íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå X ñâÿçüìåæäó ðÿäàìè è ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè íà ñàìîì äåëå äâóñòîðîííÿÿ: ïî âñÿêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â X ìîæíî ïîñòðîèòü ðÿä, ÷àñòè÷íûìè ñóììàìè êîòîðîãî áóäóò ýëåìåíòû äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äëÿ ýòîãî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè (1.10) íà ñ. 21. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì,åñëè íàìè áóäóò óñòàíîâëåíû íåêîòîðûå ñâîéñòâà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (ðÿäîâ) â X, òî ýòî ñâîéñòâî ìîæíî áóäåòïåðåíåñòè è íà ðÿäû (ïîñëåäîâàòåëüíîñòè).164III. Ðÿäû ÔóðüåÍàì ïîíàäîáèòñÿ ïîíÿòèå îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà âëèíåéíîì íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå X.Ìíîæåñòâî A ⊂ X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì , åñëè íàéä¼òñÿ òàêîå ÷èñëî M > 0, ÷òî äëÿ âñÿêîãî x ∈ A íîðìàkxk 6 M .Äàëüíåéøèå ñâîéñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (à çíà÷èò èðÿäîâ) â X ìû óñòàíîâèì â âèäå òåîðåì. Êàê ìû óâèäèì,íåêîòîðûå èç ýòèõ òåîðåì êàê ïî ôîðìóëèðîâêå, òàê è ïîñïîñîáó äîêàçàòåëüñòâà áóäóò î÷åíü ïîõîæè íà òåîðåìû îñâîéñòâàõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.Ò å î ð å ì à 7.1.
Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â X èìååò åäèíñòâåííûé ïðåäåë.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óñëîâèå òåîðå ∞ìû íå âûïîëíÿåòñÿ . Ïóñòü ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn n=1â X èìååòñÿ áîëåå îäíîãî ïðåäåëà. Ðàññìîòðèì äâà èç íèõ:x ∈ X, y ∈ X, ïðè÷¼ì x 6= y . Òàê êàê lim xn = x, òî äëÿn→∞âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N1 , ÷òî äëÿ ëþáîãî íîìåðà n > N1 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî kxn − xk < ε. Íî òàêêàê lim xn = y , òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N2 ,n→∞÷òî äëÿ ëþáîãî íîìåðà n > N2 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîkxn − yk < ε. Ïîñêîëüêó x 6= y , òî kx − yk > 0. Ïîýòîìó äëÿkx − yk> 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = max{N1 , N2 }, ÷òîε=2kxn − xk <kx − yk,2kxn − yk <kx − yk2(7.20)äëÿ âñåõ n > N .
Âîçüì¼ì êàêîå-íèáóäü n > N . Èñïîëüçóÿñâîéñòâà íîðìû è íåðàâåíñòâà (7.20), èìååìkx−yk = kx−xn +xn −yk 6 kx−xn k+kxn −yk =kx−yk kx−yk= kxn −xk+kxn −yk <+= kx−yk.221657. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâàÏîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå (kx − yk < kx − yk). Òåîðåìà äîêàçàíà.Ò å î ð å ì à 7.2. Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â X îãðàíè÷åíà .Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ïóñòü ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëü ∞íîñòü xn n=1 â X èìååò ñâîèì ïðåäåëîì ýëåìåíò x ∈ X, òîåñòü äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ ëþáîãîíîìåðà n > N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî kxn −xk < ε. Íàéä¼ìíîìåð N äëÿ ε = 1 è ðàññìîòðèì ÷èñëîM = max {kx1 k, kx2 k, . . . , kxN k, kxk + 1} .Óñòàíîâèì, ÷òî M âåðõíÿÿ∞ ãðàíü íîðì kxn kïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn n=1 :kxn k 6 M,n = 1, 2, .
. . .âñåõ÷ëåíîâ(7.21)Åñëè n = 1, 2, . . . , N , òî íåðàâåíñòâî (7.21) âûïîëíÿåòñÿ, òàêêàê kxn k íàõîäèòñÿ ñðåäè ÷èñåë, ìàêñèìóì èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåò ÷èñëî M . Åñëè æå n > N , òî â ñèëó ïîëó÷åíèÿ ÷èñëàN äëÿ ε = 1 è íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò, ÷òîkxn k = kx + (xn − x)k 6 kxk + kxn − xk < kxk + 1,à ÷èñëî kxk + 1 òàêæå íàõîäèòñÿ ñðåäè ÷èñåë, ìàêñèìóìèç êîòîðûõ îïðåäåëÿåò ÷èñëî M .
Èòàê, íåðàâåíñòâî (7.21)âåðíî äëÿ âñåõ n. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ò å î ð å ì à 7.3.äâå ñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäî∞Ïóñòü èìåþòñÿ∞âàòåëüíîñòè xn n=1 è yn n=1 â X è ñõîäÿùàÿñÿ ÷èñëîâàÿ ∞ïîñëåäîâàòåëüíîñòü αn n=1 , ïðè÷¼ìlim xn = x,n→∞lim yn = y,n→∞lim αn = α.n→∞Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.(7.22)166III. Ðÿäû Ôóðüå∞1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ± yn n=1 â X ÿâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ, ïðè÷¼ìlim (xn ± yn ) = x ± y.n→∞(7.23)∞2.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü αn xn n=1 â X ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ, ïðè÷¼ìlim (αn xn ) = αx.(7.24)n→∞∞3. ×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü kxn k n=1 ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ, ïðè÷¼ìlim kxn k = kxk.(7.25)n→∞Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Äîêàæåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Èçïåðâûõ äâóõ ðàâåíñòâ â (7.22) â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëàâûòåêàåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéäóòñÿ òàêèå íîìåðà N1è N2 , ÷òîεäëÿ âñåõ n > N1 ,2εäëÿ âñåõ n > N2 .kyn − yk <2kxn − xk <Íî òîãäà îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿòàêîé íîìåð N = max{N1 , N2 }, ÷òî äëÿ âñåõ n > N íîðìûk(xn ± yn ) − (x ± y)k = k(xn − x) ± (yn − y)k 6 kxn − xk +ε ε+kyn −yk < + = ε, òî åñòü ðàâåíñòâà (7.23) ñïðàâåäëèâû,2 2÷òî è äîêàçûâàåò ïåðâîå óòâåðæäåíèå.Äîêàæåì ∞ âòîðîå óòâåðæäåíèå.
Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn n=1 â X ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ, òî ïî òåîðåìå 7.2îíà îãðàíè÷åíà, òî åñòü íàéä¼òñÿ M > 0, ÷òîkxn k 6 Mäëÿ âñåõ n = 1, 2, . . . .7. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà167Èç ïåðâîãî è òðåòüåãî ðàâåíñòâ â (7.22) â ñèëó îïðåäåëåíèÿïðåäåëà âûòåêàåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéäóòñÿ òàêèåíîìåðà N1 è N2 , ÷òîε2(|α| + 1)ε|αn − α| <2Mkxn − xk <äëÿ âñåõ n > N1 ,äëÿ âñåõ n > N2 .Íî òîãäà îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿòàêîé íîìåð N = max{N1 , N2 }, ÷òî äëÿ âñåõ n > N íîðìàðàçíîñòè kαn xn − αxk = kαn xn − αxn + αxn − αxk 6 kαn xn −−αxn k + kαxn − αxk = |αn − α| · kxn k + |α| · kxn − xk <εε εε·M +|α|·< + = ε, òî åñòü ðàâåíñòâî (7.24)<2M2(|α| + 1)2 2ñïðàâåäëèâî, ÷òî è äîêàçûâàåò âòîðîå óòâåðæäåíèå.Äîêàæåì òðåòüå óòâåðæäåíèå. Ñîãëàñíî ïåðâîìó èç ðàâåíñòâ â (7.22) â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà âûòåêàåò, ÷òîäëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N , ÷òîkxn − xk < ε äëÿ âñåõ n > N.(7.26)Ïîñêîëüêó kxn k = kx + (xn − x)k 6 kxk + kxn − xk, òîkxn k − kxk 6 kxn − xk,(7.27)à ïîñêîëüêó kxk = kxn + (x − xn )k 6 kxn k + kx − xn k, òîkxk − kxn k 6 kxn − xk.Èç (7.27) è (7.28) âûòåêàåò, ÷òîkxn k − kxk 6 kxn − xk,(7.28)(7.29)à èç (7.26) è (7.29) ïîëó÷àåì,÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿòàêîé íîìåð N , ÷òî kxn k − kxk 6 kxn − xk < ε äëÿ âñåõ168III.
Ðÿäû Ôóðüån > N . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàâåíñòâî (7.25) ñïðàâåäëèâî, ÷òîè äîêàçûâàåò òðåòüå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà äîêàçàíà.Òðåòüå óòâåðæäåíèå ýòîé òåîðåìû íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîñòüþ íîðìû â ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ñèñòåìà xα α∈A , ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ xα ∈ X, íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé ñèñòåìîé â ëèíåéíîì íîðìèðîâàííîìïðîñòðàíñòâå X, åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ X è ëþáîãî ε >0 íàénäóòñÿ íàòóðàëüíîå n, ïîäñèñòåìà n ýëåìåíòîâ xαk k=1 ⊂ n⊂ xα α∈A è íàáîð n ÷èñåë λk k=1 òàêèõ, ÷òî íîðìà ðàçnPíîñòè x −λk xαk < ε.k=1Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé â X, åñëè ëþáîé x ∈ X ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ ε > 0ìîæíî ïðèáëèçèòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ ýòîéñèñòåìû.Çàìêíóòàÿ ñèñòåìà â ëèíåéíîì íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå, ïîäîáíî ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìå â ëèíåéíîìïðîñòðàíñòâå, ìîæåò ñîäåðæàòü ëþáîå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ (A ìíîæåñòâî ëþáîé ìîùíîñòè).
∞Ñ÷¼òíàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ en n=1 , ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ en ∈ X, íàçûâàåòñÿ áàçèñîì áåñêîíå÷íîìåðíîãî ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X, åñëè∞ äëÿ ëþáîãîx ∈ X ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû ÷èñëà αn n=1 òàêèå, ÷òîx=∞Pαn en .n=1Êàê ìû âèäèì, â îòëè÷èå îò çàìêíóòîé ñèñòåìû, áàçèñëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà ñîñòîèò ëèøü èçñ÷¼òíîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. ∞Ò å î ð å ì à 7.4. Áàçèñ en n=1 ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìîéýòîãî ïðîñòðàíñòâà.7. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà169Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèåòåîðåìû íå âûïîëíÿåòñÿ, òî åñòü â íåêîòîðîì áåñêîíå÷íîìåðíîì ëèíåéíîì ∞ íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå X ñóùåñòâóåò áàçèñ en n=1 , íå ÿâëÿþùèéñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìîé.
Ýòî îçíà÷àåò (ïèøåì îòðèöàíèå ïîíÿòèÿ ëèíåéíîíåçàâèñèìîé ñèñòåìû, äàííîå íà ñ. 154, ñ íåêîòîðîé åñòåñòâåííîé çàìåíîé ñèìâîëîâ), ÷òî íàéäóòñÿ íàòóðàëüíîå N , ∞ Nïîäñèñòåìà N ýëåìåíòîâ eαk k=1 ⊂ en n=1 è íàáîð N ÷èN NPñåë λk k=1 (òàêèõ, ÷òî|λk | > 0), ÷òî ëèíåéíàÿ êîìáèk=1íàöèÿNPk=1 Nλk eαk ýëåìåíòîâ ïîäñèñòåìû eαk k=1 ðàâíà íóëå-âîìó ýëåìåíòó Θ ïðîñòðàíñòâà X:λ1 eα1 + · · · + λk eαk + · · · + λN eαN = Θ.Òàê êàêNP(7.30)|λk | > 0, òî íàéä¼òñÿ õîòÿ áû îäèí íîìåð k , ãäåk=11 6 k 6 N , ÷òî λk 6= 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
