Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûðÿä (5.54) ñõîäèòñÿ. Èòàê, ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà (òåîðåìà 5.5) ðÿä â (5.53) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [x1 , x2 ]. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðåìå 5.19, ðàâåíñòâî (5.53) âûïîëíÿåòñÿâ êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [x1 , x2 ], â òîì ÷èñëå è â òî÷êå x0 .À òî÷êà x0 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X , ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâî (5.53) âûïîëíÿåòñÿ â êàæäîé òî÷êå áåñêîíå÷íîãî èíòåðâàëà (1, +∞).Àíàëîãè÷íûå ðàññìîòðåíèÿ (ñ ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíåíèåì òåîðåìû 5.19 íà îòðåçêå [x1 , x2 ] ⊂ (1, +∞)) äàþò âîçìîæíîñòü óñòàíîâèòü, ÷òî ôóíêöèÿ ζ(x) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, ïðè÷¼ìζ (k) (x) = (−1)k∞X(ln n)kn=1nx;k = 0, 1, 2, . .
. ;x ∈ (1, +∞).(5.55)5.6. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû1. Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà∞Pun (x),n=1ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå X ,íî íå ÿâëÿþùåãîñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ íè â îäíîéòî÷êå ìíîæåñòâà X .2. Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà∞Pn=1un (x),ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå X ,ÿâëÿþùåãîñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ â ëþáîé òî÷êåìíîæåñòâà X , íî êîòîðûé íåëüçÿ îãðàíè÷èòü ñâåðõó(ìàæîðèðîâàòü) ñõîäÿùèìñÿ çíàêîïîëîæèòåëüíûì ðÿäîì.3. Äîêàçàòü òåîðåìó 5.7.6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé1194. Ïðèâåñòèïðèìåðôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíî∞ñòè fn (x) n=1 , êîòîðàÿ íà îòðåçêå [a, b] ðàâíîìåðíîñõîäèòñÿ ê ðàçðûâíîé ôóíêöèè.5.
Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèîíàëüíîé∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçðûâíûõ ôóíêöèé fn (x) n=1 , êîòîðàÿ íà îòðåçêå [a, b] ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.6. Äîêàçàòü ôîðìóëó (5.55).6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèåôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû6.1. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòèÔóíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäà∞Pan (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 )+n=02(6.1)n+a2 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 ) + · · ·íàçûâàåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì.Åñëè â ðÿäå (6.1) îáîçíà÷èòü x − x0 = t, òî îí ïåðåéä¼òâ ðÿä∞Pan tn = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · + an tn + · · · .n=0Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, áóäåìíàçûâàòü ñòåïåííûì ðÿäîì ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäà∞Pan xn = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + · · · ,(6.2)n=0ïîëó÷àþùèéñÿ èç ðÿäà (6.1) ïðè x0 = 0.120II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûËþáîé ñòåïåííîé ðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ (è ïðè òîì àáñîëþòíî) ïðè x = 0.
Èìåþòñÿ ñòåïåííûå ðÿäû, ñõîäÿùèåñÿ òîëüêîïðè x = 0. Ðàññìîòðèì äâà ï ð è ì å ð à.∞P1.nn xn . Ïðèìåíÿÿ ïðè x 6= 0 ê àáñîëþòíîé âåëèn=1÷èíå îáùåãî ÷ëåíà un (x) = nn xn ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè â ïðåäåëüíîéôîðìå (ñëåäñòâèåèç òåîðåìû 2.5), íàõîppnnnn|un (x)| = lim|n x | = lim n|x| = +∞. Âäèì: limn→∞n→∞n→∞ýòîì ñëó÷àå, êàê èçâåñòíî (ñì. çàìå÷àíèå íà ñ. 37), îáùèé÷ëåí un (x) íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è èñõîäíûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.∞P2.n! xn .  ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíèì ïðè x 6= 0 ê àán=1ñîëþòíîé âåëè÷èíå îáùåãî ÷ëåíà un (x) = n! xn ïðèçíàê Äàëàìáåðà â ïðåäåëüíîé ôîðìå (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2.4). Òî|(n + 1)! xn+1 ||un+1 (x)|ãäà ïðåäåë îòíîøåíèÿ lim= lim=n→∞ |un (x)|n→∞|n! xn |= lim (n + 1)|x| = +∞, òî åñòü è çäåñü îáùèé ÷ëåí un (x) íån→∞ñòðåìèòñÿ ê íóëþ è èñõîäíûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.Ò å î ð å ì à 6.1 (ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ). Åñëè ðÿä (6.2)ñõîäèòñÿ ïðè x = x̃ 6= 0, òî îí àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ äëÿ âñåõ xòàêèõ, ÷òî |x| < |x̃|.∞PÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î .
Ïî óñëîâèþ, ðÿäan x̃n ñõîäèòn=0ñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ïî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó lim an x̃n = 0.n→∞Òàê êàê ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà, òî íàéä¼òñÿ M > 0, ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |an x̃n | 6 M . Ïîñêîëüêó äëÿ îáùåãî ÷ëåíà ðÿäà∞Xn=0|an xn |(6.3)6. Ñòåïåííûå ðÿäû.
Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé121 x n x n èìååò ìåñòî îöåíêà |an x | = |an x̃ | · 6 M , à ãåîx̃x̃∞ x nX ìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿM ñõîäèòñÿ (å¼ çíàìåíàx̃n=0x òåëü q = < 1), òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ äëÿ ÷èñëîâûõx̃ðÿäîâ ðÿä (6.3) ñõîäèòñÿ, òî åñòü ðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Òåîðåìà äîêàçàíà.nnÂûÿñíèì, êàê óñòðîåíî ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè X ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2). Îíî âñåãäà íåïóñòî (X 6= ∅), òàê êàê óëþáîãî ðÿäà 0 ∈ X . Êàê ïîêàçûâàþò ðàññìîòðåííûå âûøå ïðèìåðû, áûâàþò ðÿäû, ó êîòîðûõ X = {0}. Òàêèå ðÿäûíàçûâàþòñÿ âñþäó ðàñõîäÿùèìèñÿ ñòåïåííûìè ðÿäàìè. Åñëè ðÿä (6.2) íå ÿâëÿåòñÿ âñþäó ðàñõîäÿùèìñÿ ñòåïåííûìðÿäîì, òî èìåþòñÿ òî÷êè x̃ 6= 0, â êîòîðûõ îí ñõîäèòñÿ.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî {|x̃|}.Åñëè ýòî ìíîæåñòâî íå îãðàíè÷åíî ñâåðõó, òî ïî ïåðâîé òåîðåìå Àáåëÿ ðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ì àáñîëþòíî,äëÿ âñåõ x ∈ (−∞, +∞). Òàêèå ñòåïåííûå ðÿäû íàçûâàþòñÿâñþäó ñõîäÿùèìèñÿ .Ïóñòü òåïåðü ìíîæåñòâî {|x̃|} îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Îáîçíà÷èì R = sup{|x̃|} (0 < R < +∞). Èç îïðåäåëåíèÿ òî÷íîéâåðõíåé ãðàíè è òåîðåìû 6.1 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ x òàêèõ, ÷òî |x| > R, ðÿä (6.2) ðàñõîäèòñÿ, à åñëè x ∈ (−R, R),òî ðÿä (6.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ.  ïîãðàíè÷íûõ òî÷êàõ(ïðè x = ±R) ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ îòâåòà íå äà¼ò.
Êàê ìûóâèäèì íèæå, â ýòèõ òî÷êàõ îáùåãî âûâîäà î ñõîäèìîñòè(ðàñõîäèìîñòè) ñäåëàòü íåëüçÿ: åñòü ïðèìåðû ðÿäîâ, ñõîäÿùèõñÿ ïðè x = ±R, åñòü ïðèìåðû ðÿäîâ, ðàñõîäÿùèõñÿïðè x = ±R, à åñòü ïðèìåðû ðÿäîâ, êîòîðûå ñõîäÿòñÿ íàîäíîì êîíöå èíòåðâàëà (−R, R) è ðàñõîäÿòñÿ íà äðóãîì; åñëè åñòü ñõîäèìîñòü íà êàêîì-òî èç êîíöîâ, òî îíà ìîæåò â122II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûîäíèõ ïðèìåðàõ áûòü àáñîëþòíîé, à â äðóãèõ óñëîâíîé.Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü î÷åíü âàæíûé â û â î ä:âñÿêèé ñòåïåííîé ðÿä (6.2) õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîé R,íàçûâàåìîé ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè (R ëèáî íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, ëèáî ñèìâîë +∞). Åñëè R = 0, òî ðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ (ïðè÷¼ì àáñîëþòíî) òîëüêî ïðè x = 0.
Åñëè R 6= 0,òî äëÿ âñåõ x ∈ (−R, R) (ýòîò èíòåðâàë íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè ) ñòåïåííîé ðÿä àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, àåñëè R ∈ (0, +∞), òî ïðè |x| > R ñòåïåííîé ðÿä ðàñõîäèòñÿ,â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæåò áûòü ëèáîðàñõîäèìîñòü, ëèáî àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü, ëèáî óñëîâíàÿñõîäèìîñòü.Îòìåòèì ïîïóòíî, ÷òî äëÿ ñòåïåííûõ ðÿäîâ (6.1) èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè áóäåò ìíîæåñòâî (x0 − R, x0 + R), à âñþäóðàñõîäÿùèéñÿ ñòåïåííîé ðÿä (6.1) ñõîäèòñÿ ëèøü ïðè x = x0 .Ò å î ð å ì à 6.2 (òåîðåìà ÊîøèÀäàìàðà). Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2) ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå:R=1pnlim|an |(6.4)n→∞(åñëè íåîòðèöàòåëüíûé âåðõíèé ïðåäåë, ñòîÿùèéâ çíàìåpníàòåëå, ðàâåí íóëþ, òî R = +∞, à åñëè lim|an | = +∞,n→∞òî R = 0).Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î .
Îáîçíà÷èìpnρn = |an | , ρ = lim ρn .(6.5)n→∞ρ = 0. Òàê êàê âåðõíèé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè å¼ êðàéíÿÿ ïðàâàÿ ïðåäåëüíàÿ òî÷êà, à îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòè÷íûõ ïðåäåëîâ ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ρn } áûòüíå ìîæåò (ρn > 0), òî ýòà ïðåäåëüíàÿ òî÷êà åäèíñòâåííàÿ.Ïóñòü1236. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèéÝòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ρn } ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó ρ = 0, òî åñòü ñóùåñòâóåò lim ρn = 0.
Íî òîãäà äëÿn→∞pn|an xn | = lim ρn |x| =âñÿêîãî x ∈ (−∞, +∞) ïðåäåë limn→∞n→∞= 0 < 1, ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî ðàäèêàëüíîìó ïðèçíàêó Êîøè â ïðåäåëüíîé ôîðìå (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2.5),ðÿä (6.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ äëÿ âñåõ x ∈ (−∞, +∞). Ïîýòîìó çäåñü ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = +∞.Ïóñòü ρ = +∞. Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå x 6= 0.Òàê êàê âåðõíèé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè å¼ (êðàéíèéïðàâûé) ÷àñòè÷íûé ïðåäåë, òî ñóùåñòâóåò ñòðîãî ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {nk }∞k=1 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë1 6 n1 < n2 < · · · < nk < nk+1 < · · ·òàêàÿ, ÷òî lim ρnk = +∞. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íàéä¼òñÿ òàk→∞êîé íîìåð k0 , ÷òî äëÿ âñåõ k > k0 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîqnk1.
Îòñþäà ñîãëàñíî (6.5) èìååì, ÷òî ρnk =|ank | >ρnk >|x|1, òî åñòü |ank xnk | > 1. Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî îçíà÷à>|x|åò, ÷òî lim an xn 6= 0, äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ âñÿêîãî x 6= 0n→∞ñòåïåííîé ðÿä (6.2) ðàñõîäèòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, åãî ðàäèóññõîäèìîñòè R = 0.Ïóñòü 0 < ρ < +∞. Ïðèìåíèì ðàäèêàëüíûé ïðèçíàêÊîøè ê ðÿäó, ñîñòàâëåííîìó èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ñëàãàåpnìûõ ðÿäà (6.2). Èñïîëüçóÿ (6.5), íàõîäèì, ÷òî lim |an xn | =n→∞= lim ρn |x| = ρ|x|. Ñîãëàñíî ðàäèêàëüíîìó ïðèçíàêó Êîøèn→∞1â ïðåäåëüíîé ôîðìå, åñëè ρ |x| < 1, òî åñòü ïðè |x| < ,ρðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, à åñëè ρ|x| > 1, òî åñòü ïðè124II.
Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû1, ðÿä (6.2) ðàñõîäèòñÿ ïî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó.ρ1Ïîýòîìó çäåñü R = .ρÈòàê, âî âñåõ ñëó÷àÿõ ôîðìóëà (6.4) ñïðàâåäëèâà. Òåîðåìà äîêàçàíà.|x| >Ðàçóìååòñÿ, ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé ÊîøèÀäàìàðà íåâñåãäà óäîáíî. Îäíàêî, åñëè íóæíî íàéòè ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà, òî åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê∞Pðÿäun (x), â êîòîðîì un (x) = an (x − x0 )n , è èñêàòü ìíîn=0æåñòâî ñõîäèìîñòè òàêîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå ï ð è ì å ð à ì è.1.
Ðàññìîòðèì ðÿä∞X xnxnx2+ ··· ++ ··· =.1+x+2!n!n!n=0(6.6)xn1, an =. Ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Êîøèn!n!Àäàìàðàíåóäîáíî, òàê êàê íåÿñíî ïîâåäåíèå ïîñëåäîâàòåëüpnn! . Ïðèìåíèì ê ýòîìó ðÿäó (ïðè x 6= 0) ïðèçíàêíîñòèÄàëàìáåðà â ïðåäåëüíîé ôîðìå: n+1 x (n + 1)! |un+1 (x)||x| nlim= lim= lim= 0 < 1.n→∞ |un (x)|n→∞n→∞ n + 1x n! Çäåñü un (x) =Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èññëåäóåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî äëÿâñåõ x ∈ (−∞, +∞), òî åñòü åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = +∞.2. Ðàññìîòðèì ðÿä∞Xx2xnxnx−+ · · · + (−1)n−1+ ··· =.(−1)n−12nnn=1(6.7)6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé125(−1)n−1(n = 1, 2, 3, . .
.). Ïî ôîðìóëåÇäåñü a0 = 0, an =n111r = = 1.p=ÊîøèÀäàìàðà èìååì R =n1n 1lim|an |n→∞limn→∞nÝòî çíà÷èò, ÷òî ïðè |x| < 1 èññëåäóåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, à ïðè |x| > 1 ðàñõîäèòñÿ. Ïðè x = 1 ðÿä (6.7) ïåðåõîäèò â óñëîâíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä Ëåéáíèöà, à ïðè x = −1 â ðÿä, ëèøü ìíîæèòåëåì (−1) îòëè÷àþùèéñÿ îò ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà, è ïîýòîìó ðàñõîäÿùèéñÿ.3. Ðàññìîòðèì ðÿäα(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3x +x+1·21·2·3α(α − 1) . . . (α − n + 1) n+··· +x + ··· =1 · 2 · ... · n∞Xα(α − 1) . . .
(α − n + 1) n=1+x ,1·2·...·nn=11 + αx +(6.8)íàçûâàåìûé áèíîìèàëüíûì ðÿäîì. Ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì ñ ïàðàìåòðîì α. Çäåñüu0 (x) ≡ 1,a0 = 1;α(α − 1) . . . (α − n + 1) nun (x) =x , (n = 1, 2, 3, . . . ); (6.9)1 · 2 · ... · nα(α − 1) . . . (α − n + 1)an =,(n = 1, 2, 3, . . .
).1 · 2 · ... · nÏóñòü α ∈ N0 ≡ {0, 1, 2, . . . }. Òîãäà âñå ÷ëåíû ðÿäà (6.8),íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà (ñ íîìåðà n = α + 1), ñòàíîâÿòñÿ ðàâíûìè íóëþ. Ó òàêîãî ðÿäà, âûðîæäàþùåãîñÿ âêîíå÷íóþ ñóììó, ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = +∞.126II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÏóñòü α 6∈ N0 . Òîãäà íè îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà (6.8) íå áóäåò íóë¼ì. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâà ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà, òàê æå êàê â ïåðâîì ïðèìåðå, âîñïîëüçóåìñÿ (ïðè x 6= 0) ïðèçíàêîì Äàëàìáåðà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
