Главная » Просмотр файлов » Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев

Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 14

Файл №845817 Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев) 14 страницаСпециальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817) страница 142021-08-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûðÿä (5.54) ñõîäèòñÿ. Èòàê, ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà (òåîðåìà 5.5) ðÿä â (5.53) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [x1 , x2 ]. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðåìå 5.19, ðàâåíñòâî (5.53) âûïîëíÿåòñÿâ êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [x1 , x2 ], â òîì ÷èñëå è â òî÷êå x0 .À òî÷êà x0 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X , ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâî (5.53) âûïîëíÿåòñÿ â êàæäîé òî÷êå áåñêîíå÷íîãî èíòåðâàëà (1, +∞).Àíàëîãè÷íûå ðàññìîòðåíèÿ (ñ ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíåíèåì òåîðåìû 5.19 íà îòðåçêå [x1 , x2 ] ⊂ (1, +∞)) äàþò âîçìîæíîñòü óñòàíîâèòü, ÷òî ôóíêöèÿ ζ(x) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, ïðè÷¼ìζ (k) (x) = (−1)k∞X(ln n)kn=1nx;k = 0, 1, 2, . .

. ;x ∈ (1, +∞).(5.55)5.6. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû1. Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà∞Pun (x),n=1ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå X ,íî íå ÿâëÿþùåãîñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ íè â îäíîéòî÷êå ìíîæåñòâà X .2. Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà∞Pn=1un (x),ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå X ,ÿâëÿþùåãîñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ â ëþáîé òî÷êåìíîæåñòâà X , íî êîòîðûé íåëüçÿ îãðàíè÷èòü ñâåðõó(ìàæîðèðîâàòü) ñõîäÿùèìñÿ çíàêîïîëîæèòåëüíûì ðÿäîì.3. Äîêàçàòü òåîðåìó 5.7.6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé1194. Ïðèâåñòèïðèìåðôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíî∞ñòè fn (x) n=1 , êîòîðàÿ íà îòðåçêå [a, b] ðàâíîìåðíîñõîäèòñÿ ê ðàçðûâíîé ôóíêöèè.5.

Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèîíàëüíîé∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçðûâíûõ ôóíêöèé fn (x) n=1 , êîòîðàÿ íà îòðåçêå [a, b] ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.6. Äîêàçàòü ôîðìóëó (5.55).6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèåôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû6.1. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòèÔóíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäà∞Pan (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 )+n=02(6.1)n+a2 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 ) + · · ·íàçûâàåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì.Åñëè â ðÿäå (6.1) îáîçíà÷èòü x − x0 = t, òî îí ïåðåéä¼òâ ðÿä∞Pan tn = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · + an tn + · · · .n=0Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, áóäåìíàçûâàòü ñòåïåííûì ðÿäîì ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäà∞Pan xn = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + · · · ,(6.2)n=0ïîëó÷àþùèéñÿ èç ðÿäà (6.1) ïðè x0 = 0.120II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûËþáîé ñòåïåííîé ðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ (è ïðè òîì àáñîëþòíî) ïðè x = 0.

Èìåþòñÿ ñòåïåííûå ðÿäû, ñõîäÿùèåñÿ òîëüêîïðè x = 0. Ðàññìîòðèì äâà ï ð è ì å ð à.∞P1.nn xn . Ïðèìåíÿÿ ïðè x 6= 0 ê àáñîëþòíîé âåëèn=1÷èíå îáùåãî ÷ëåíà un (x) = nn xn ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè â ïðåäåëüíîéôîðìå (ñëåäñòâèåèç òåîðåìû 2.5), íàõîppnnnn|un (x)| = lim|n x | = lim n|x| = +∞. Âäèì: limn→∞n→∞n→∞ýòîì ñëó÷àå, êàê èçâåñòíî (ñì. çàìå÷àíèå íà ñ. 37), îáùèé÷ëåí un (x) íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è èñõîäíûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.∞P2.n! xn .  ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíèì ïðè x 6= 0 ê àán=1ñîëþòíîé âåëè÷èíå îáùåãî ÷ëåíà un (x) = n! xn ïðèçíàê Äàëàìáåðà â ïðåäåëüíîé ôîðìå (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2.4). Òî|(n + 1)! xn+1 ||un+1 (x)|ãäà ïðåäåë îòíîøåíèÿ lim= lim=n→∞ |un (x)|n→∞|n! xn |= lim (n + 1)|x| = +∞, òî åñòü è çäåñü îáùèé ÷ëåí un (x) íån→∞ñòðåìèòñÿ ê íóëþ è èñõîäíûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.Ò å î ð å ì à 6.1 (ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ). Åñëè ðÿä (6.2)ñõîäèòñÿ ïðè x = x̃ 6= 0, òî îí àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ äëÿ âñåõ xòàêèõ, ÷òî |x| < |x̃|.∞PÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î .

Ïî óñëîâèþ, ðÿäan x̃n ñõîäèòn=0ñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ïî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó lim an x̃n = 0.n→∞Òàê êàê ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà, òî íàéä¼òñÿ M > 0, ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |an x̃n | 6 M . Ïîñêîëüêó äëÿ îáùåãî ÷ëåíà ðÿäà∞Xn=0|an xn |(6.3)6. Ñòåïåííûå ðÿäû.

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé121 x n x n èìååò ìåñòî îöåíêà |an x | = |an x̃ | · 6 M , à ãåîx̃x̃∞ x nX ìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿM ñõîäèòñÿ (å¼ çíàìåíàx̃n=0x òåëü q = < 1), òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ äëÿ ÷èñëîâûõx̃ðÿäîâ ðÿä (6.3) ñõîäèòñÿ, òî åñòü ðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Òåîðåìà äîêàçàíà.nnÂûÿñíèì, êàê óñòðîåíî ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè X ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2). Îíî âñåãäà íåïóñòî (X 6= ∅), òàê êàê óëþáîãî ðÿäà 0 ∈ X . Êàê ïîêàçûâàþò ðàññìîòðåííûå âûøå ïðèìåðû, áûâàþò ðÿäû, ó êîòîðûõ X = {0}. Òàêèå ðÿäûíàçûâàþòñÿ âñþäó ðàñõîäÿùèìèñÿ ñòåïåííûìè ðÿäàìè. Åñëè ðÿä (6.2) íå ÿâëÿåòñÿ âñþäó ðàñõîäÿùèìñÿ ñòåïåííûìðÿäîì, òî èìåþòñÿ òî÷êè x̃ 6= 0, â êîòîðûõ îí ñõîäèòñÿ.

Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî {|x̃|}.Åñëè ýòî ìíîæåñòâî íå îãðàíè÷åíî ñâåðõó, òî ïî ïåðâîé òåîðåìå Àáåëÿ ðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ì àáñîëþòíî,äëÿ âñåõ x ∈ (−∞, +∞). Òàêèå ñòåïåííûå ðÿäû íàçûâàþòñÿâñþäó ñõîäÿùèìèñÿ .Ïóñòü òåïåðü ìíîæåñòâî {|x̃|} îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Îáîçíà÷èì R = sup{|x̃|} (0 < R < +∞). Èç îïðåäåëåíèÿ òî÷íîéâåðõíåé ãðàíè è òåîðåìû 6.1 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ x òàêèõ, ÷òî |x| > R, ðÿä (6.2) ðàñõîäèòñÿ, à åñëè x ∈ (−R, R),òî ðÿä (6.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ.  ïîãðàíè÷íûõ òî÷êàõ(ïðè x = ±R) ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ îòâåòà íå äà¼ò.

Êàê ìûóâèäèì íèæå, â ýòèõ òî÷êàõ îáùåãî âûâîäà î ñõîäèìîñòè(ðàñõîäèìîñòè) ñäåëàòü íåëüçÿ: åñòü ïðèìåðû ðÿäîâ, ñõîäÿùèõñÿ ïðè x = ±R, åñòü ïðèìåðû ðÿäîâ, ðàñõîäÿùèõñÿïðè x = ±R, à åñòü ïðèìåðû ðÿäîâ, êîòîðûå ñõîäÿòñÿ íàîäíîì êîíöå èíòåðâàëà (−R, R) è ðàñõîäÿòñÿ íà äðóãîì; åñëè åñòü ñõîäèìîñòü íà êàêîì-òî èç êîíöîâ, òî îíà ìîæåò â122II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûîäíèõ ïðèìåðàõ áûòü àáñîëþòíîé, à â äðóãèõ óñëîâíîé.Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü î÷åíü âàæíûé â û â î ä:âñÿêèé ñòåïåííîé ðÿä (6.2) õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîé R,íàçûâàåìîé ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè (R ëèáî íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, ëèáî ñèìâîë +∞). Åñëè R = 0, òî ðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ (ïðè÷¼ì àáñîëþòíî) òîëüêî ïðè x = 0.

Åñëè R 6= 0,òî äëÿ âñåõ x ∈ (−R, R) (ýòîò èíòåðâàë íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè ) ñòåïåííîé ðÿä àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, àåñëè R ∈ (0, +∞), òî ïðè |x| > R ñòåïåííîé ðÿä ðàñõîäèòñÿ,â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæåò áûòü ëèáîðàñõîäèìîñòü, ëèáî àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü, ëèáî óñëîâíàÿñõîäèìîñòü.Îòìåòèì ïîïóòíî, ÷òî äëÿ ñòåïåííûõ ðÿäîâ (6.1) èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè áóäåò ìíîæåñòâî (x0 − R, x0 + R), à âñþäóðàñõîäÿùèéñÿ ñòåïåííîé ðÿä (6.1) ñõîäèòñÿ ëèøü ïðè x = x0 .Ò å î ð å ì à 6.2 (òåîðåìà ÊîøèÀäàìàðà). Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ñòåïåííîãî ðÿäà (6.2) ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå:R=1pnlim|an |(6.4)n→∞(åñëè íåîòðèöàòåëüíûé âåðõíèé ïðåäåë, ñòîÿùèéâ çíàìåpníàòåëå, ðàâåí íóëþ, òî R = +∞, à åñëè lim|an | = +∞,n→∞òî R = 0).Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î .

Îáîçíà÷èìpnρn = |an | , ρ = lim ρn .(6.5)n→∞ρ = 0. Òàê êàê âåðõíèé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè å¼ êðàéíÿÿ ïðàâàÿ ïðåäåëüíàÿ òî÷êà, à îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòè÷íûõ ïðåäåëîâ ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ρn } áûòüíå ìîæåò (ρn > 0), òî ýòà ïðåäåëüíàÿ òî÷êà åäèíñòâåííàÿ.Ïóñòü1236. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèéÝòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ρn } ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó ρ = 0, òî åñòü ñóùåñòâóåò lim ρn = 0.

Íî òîãäà äëÿn→∞pn|an xn | = lim ρn |x| =âñÿêîãî x ∈ (−∞, +∞) ïðåäåë limn→∞n→∞= 0 < 1, ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî ðàäèêàëüíîìó ïðèçíàêó Êîøè â ïðåäåëüíîé ôîðìå (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2.5),ðÿä (6.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ äëÿ âñåõ x ∈ (−∞, +∞). Ïîýòîìó çäåñü ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = +∞.Ïóñòü ρ = +∞. Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå x 6= 0.Òàê êàê âåðõíèé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè å¼ (êðàéíèéïðàâûé) ÷àñòè÷íûé ïðåäåë, òî ñóùåñòâóåò ñòðîãî ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {nk }∞k=1 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë1 6 n1 < n2 < · · · < nk < nk+1 < · · ·òàêàÿ, ÷òî lim ρnk = +∞. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íàéä¼òñÿ òàk→∞êîé íîìåð k0 , ÷òî äëÿ âñåõ k > k0 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîqnk1.

Îòñþäà ñîãëàñíî (6.5) èìååì, ÷òî ρnk =|ank | >ρnk >|x|1, òî åñòü |ank xnk | > 1. Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî îçíà÷à>|x|åò, ÷òî lim an xn 6= 0, äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ âñÿêîãî x 6= 0n→∞ñòåïåííîé ðÿä (6.2) ðàñõîäèòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, åãî ðàäèóññõîäèìîñòè R = 0.Ïóñòü 0 < ρ < +∞. Ïðèìåíèì ðàäèêàëüíûé ïðèçíàêÊîøè ê ðÿäó, ñîñòàâëåííîìó èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ñëàãàåpnìûõ ðÿäà (6.2). Èñïîëüçóÿ (6.5), íàõîäèì, ÷òî lim |an xn | =n→∞= lim ρn |x| = ρ|x|. Ñîãëàñíî ðàäèêàëüíîìó ïðèçíàêó Êîøèn→∞1â ïðåäåëüíîé ôîðìå, åñëè ρ |x| < 1, òî åñòü ïðè |x| < ,ρðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, à åñëè ρ|x| > 1, òî åñòü ïðè124II.

Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû1, ðÿä (6.2) ðàñõîäèòñÿ ïî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó.ρ1Ïîýòîìó çäåñü R = .ρÈòàê, âî âñåõ ñëó÷àÿõ ôîðìóëà (6.4) ñïðàâåäëèâà. Òåîðåìà äîêàçàíà.|x| >Ðàçóìååòñÿ, ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé ÊîøèÀäàìàðà íåâñåãäà óäîáíî. Îäíàêî, åñëè íóæíî íàéòè ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà, òî åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê∞Pðÿäun (x), â êîòîðîì un (x) = an (x − x0 )n , è èñêàòü ìíîn=0æåñòâî ñõîäèìîñòè òàêîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå ï ð è ì å ð à ì è.1.

Ðàññìîòðèì ðÿä∞X xnxnx2+ ··· ++ ··· =.1+x+2!n!n!n=0(6.6)xn1, an =. Ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Êîøèn!n!Àäàìàðàíåóäîáíî, òàê êàê íåÿñíî ïîâåäåíèå ïîñëåäîâàòåëüpnn! . Ïðèìåíèì ê ýòîìó ðÿäó (ïðè x 6= 0) ïðèçíàêíîñòèÄàëàìáåðà â ïðåäåëüíîé ôîðìå: n+1 x (n + 1)! |un+1 (x)||x| nlim= lim= lim= 0 < 1.n→∞ |un (x)|n→∞n→∞ n + 1x n! Çäåñü un (x) =Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èññëåäóåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî äëÿâñåõ x ∈ (−∞, +∞), òî åñòü åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = +∞.2. Ðàññìîòðèì ðÿä∞Xx2xnxnx−+ · · · + (−1)n−1+ ··· =.(−1)n−12nnn=1(6.7)6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé125(−1)n−1(n = 1, 2, 3, . .

.). Ïî ôîðìóëåÇäåñü a0 = 0, an =n111r = = 1.p=ÊîøèÀäàìàðà èìååì R =n1n 1lim|an |n→∞limn→∞nÝòî çíà÷èò, ÷òî ïðè |x| < 1 èññëåäóåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, à ïðè |x| > 1 ðàñõîäèòñÿ. Ïðè x = 1 ðÿä (6.7) ïåðåõîäèò â óñëîâíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä Ëåéáíèöà, à ïðè x = −1 â ðÿä, ëèøü ìíîæèòåëåì (−1) îòëè÷àþùèéñÿ îò ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà, è ïîýòîìó ðàñõîäÿùèéñÿ.3. Ðàññìîòðèì ðÿäα(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3x +x+1·21·2·3α(α − 1) . . . (α − n + 1) n+··· +x + ··· =1 · 2 · ... · n∞Xα(α − 1) . . .

(α − n + 1) n=1+x ,1·2·...·nn=11 + αx +(6.8)íàçûâàåìûé áèíîìèàëüíûì ðÿäîì. Ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì ñ ïàðàìåòðîì α. Çäåñüu0 (x) ≡ 1,a0 = 1;α(α − 1) . . . (α − n + 1) nun (x) =x , (n = 1, 2, 3, . . . ); (6.9)1 · 2 · ... · nα(α − 1) . . . (α − n + 1)an =,(n = 1, 2, 3, . . .

).1 · 2 · ... · nÏóñòü α ∈ N0 ≡ {0, 1, 2, . . . }. Òîãäà âñå ÷ëåíû ðÿäà (6.8),íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà (ñ íîìåðà n = α + 1), ñòàíîâÿòñÿ ðàâíûìè íóëþ. Ó òàêîãî ðÿäà, âûðîæäàþùåãîñÿ âêîíå÷íóþ ñóììó, ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = +∞.126II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÏóñòü α 6∈ N0 . Òîãäà íè îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà (6.8) íå áóäåò íóë¼ì. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâà ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà, òàê æå êàê â ïåðâîì ïðèìåðå, âîñïîëüçóåìñÿ (ïðè x 6= 0) ïðèçíàêîì Äàëàìáåðà.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее