Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÔóíêöèÿ ϕm (x) íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [a, b],ñëåäîâàòåëüíî èç (5.40) è (5.41) âûòåêàåò, ÷òî ϕm (x0 ) == lim ϕm (xnk ) > ε, òî åñòük→∞ϕm (x0 ) > ε,m = 1, 2, 3, . . . .À ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî lim ϕm (x0 ) = 0 (ñì. (5.37)).m→∞Òåîðåìà äîêàçàíà.ßñíî, ÷òî àíàëîã ýòîé òåîðåìû äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ èìååò íèæåñëåäóþùèé âèä.Ò å î ð å ì à 5.15 (òåîðåìà Äèíè äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿ∞Päîâ). Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿäun (x) òàêîâ, ÷òîn=1à) äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ∈ N ôóíêöèè un (x) ∈ C[a, b];á) äëÿ âñåõ x ∈ [a, b] è äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ∈ Nçíà÷åíèÿ un (x) > 0 (çíà÷åíèÿ un (x) 6 0);∞Pâ) ñóììà ðÿäàun (x) = S(x) ∈ C[a, b].n=1Òîãäà∞P[a,b]un (x) ⇒ S(x).n=1Ò å î ð å ì à 5.16 (îá èíòåãðèðîâàíèè ïðåäåëüíîé ôóíêöèèðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè).
Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü[a,b]fn (x) ⇒ f (x),(5.42)ïðè÷¼ì äëÿ âñåõ n ∈ N ôóíêöèè fn (x) ∈ C[a, b]. ÒîãäàZbZbf (x) dx = limfn (x) dx.n→∞aa(5.43)5. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü111Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Îòìåòèì, ÷òî èç (5.42) ïî òåîðåìå 5.12 âûòåêàåò, ÷òî f (x) ∈ C[a, b], à íåïðåðûâíûå ôóíêöèè èíòåãðèðóåìû. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî a < b, òàê êàê ïðè a = b ðàâåíñòâî (5.43) î÷åâèäíî(îíî ïåðåõîäèò â ðàâåíñòâî 0 = 0), à ïðè a > b ïðåäâàðèòåëüíî ïåðåñòàâèì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ â îáåèõ ÷àñòÿõðàâåíñòâà (5.43).Èç (5.42) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N è äëÿ âñåõ x ∈ Xε.
Íî òîãäààáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |fn (x) − f (x)| <2(b − a)RbRbäëÿ ýòèõ æå íîìåðîâ n èìååì, ÷òî fn (x) dx − f (x) dx =aaRb Rb ε= fn (x)−f (x) dx 6 fn (x)−f (x)dx 6(b−a) =2(b − a)aaε= < ε. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü2nRboRbfn (x) dx ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó f (x) dx, ñëåäîâàòåëüíî, ðàaaâåíñòâî (5.43) ñïðàâåäëèâî. Òåîðåìà äîêàçàíà.Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèéòåîðåìû 5.16 èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîZblim fn (x) dx = limn→∞aZbfn (x) dx,n→∞(5.44)aòî åñòü ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè èíòåãðèðîâàíèå ïî x è ïåðåõîä ê ïðåäåëó ïî n.Çàïèøåì àíàëîã ýòîé òåîðåìû äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.Ò å î ð å ì à 5.17 (îá èíòåãðèðîâàíèè ñóììû ðàâíîìåðíî112II.
Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûñõîäÿùåãîñÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà). Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä∞[a,b]Xun (x) ⇒ S(x),n=1ïðè÷¼ì äëÿ âñåõ n ∈ N ôóíêöèè un (x) ∈ C[a, b]. ÒîãäàZbS(x) dx =a∞ ZXbun (x) dx.n=1 aÈ çäåñü ìû âèäèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 5.17 èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîZb X∞an=1∞ ZbXun (x) dx,un (x) dx =(5.45)n=1 aòî åñòü ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè èíòåãðèðîâàíèå ïî x è (áåñêîíå÷íîå ) ñóììèðîâàíèå ïî n.Òåîðåìû 5.16 è 5.17 ñïðàâåäëèâû è ïðè áîëåå ñëàáûõïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ôóíêöèé fn (x) èëèun (x): íåïðåðûâíîñòü ìîæíî çàìåíèòü èíòåãðèðóåìîñòüþ.Îäíàêî ìû íå áóäåì äîêàçûâàòü ýòè òåîðåìû ïðè òàêèõóñëîâèÿõ.Îòìåòèì, ÷òî òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè â òåîðåìàõ 5.16 è 5.17, ÿâëÿÿñü ñóùåñòâåííûì, íå ÿâëÿåòñÿ â òîæå âðåìÿ íåîáõîäèìûì: åñëè åãî îòáðîñèòü, òî óòâåðæäåíèÿ ýòèõ òåîðåì ìîãóò êàê îñòàòüñÿ âåðíûìè, òàê è ñòàòüíåñïðàâåäëèâûìè.
Ðàññìîòðèì ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ äâà ïîñëåäíèõ ïðèìåðà (÷åòâ¼ðòûé è ïÿòûé), êîòîðûå ïðèâåäåíûâ ï. 5.1 (ñì. ñ. 86).  îáîèõ ïðèìåðàõ X = [0, 1], f (x) ≡ 0, àðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü , êàê óæå áûëî âûÿñíåíî, îòñóòñòâóåò .1135. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòünx4. Çäåñü fn (x) =, è ïîýòîìó limn→∞1 + n 2 x2Zbfn (x) dx =aZ1= limn→∞ 1ln 1 + n2nx dx12 2 ln 1+n x = lim== limn→∞1 + n2 x2 n→∞ 2n2n00Zb= 0 =f (x) dx, òî åñòü ðàâåíñòâî (5.43) âûïîëíÿåòñÿ.aln 1 + n2( òîì, ÷òî lim= 0, ëåãêî óáåäèòüñÿ, âû÷èñëèân→∞2nln 1 + t2ïðåäåë lim, íàïðèìåð, ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ.)t→+∞2t2 25.  ýòîì ïðèìåðå fn (x) = n2 xe−n x , è, ñëåäîâàòåëüíî,!12 2RbR1 2 −n2 x2e−n x lim fn (x) dx = lim n xedx = lim − =n→∞ an→∞ 0n→∞20Rb112 = lim 1 − e−n =6= 0 = f (x) dx.
Òàêèì îáðàçîì,2 n→∞2açäåñü ðàâåíñòâî (5.43) óæå íå âûïîëíÿåòñÿ.Ò å î ð å ì à 5.18 (î äèôôåðåíöèðîâàíèè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}∞n=1 ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f (x) â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [a, b]:lim fn (x) = f (x),n→∞x ∈ [a, b],(5.46)ïðè÷¼ì äëÿ âñåõ n ∈ N ôóíêöèè fn (x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû, òî åñòü fn0 (x) ∈ C[a, b], è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü[a,b]fn0 (x) ⇒ ϕ(x).(5.47)114II.
Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÒîãäà â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [a, b] ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà, ïðè÷¼ìf 0 (x) = ϕ(x),x ∈ [a, b].(5.48)Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Èç òåîðåìû 5.12 âûòåêàåò, ÷òîôóíêöèÿ ϕ(x) ∈ C[a, b]. Âîçüì¼ì ëþáîå ÷èñëî x ∈ [a, b]. Âñèëó çàìå÷àíèÿ íà ñ. 89, èç (5.47) ñëåäóåò, ÷òî[a,x]fn0 (t) ⇒ ϕ(t).Òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn0 (t)}∞n=1 âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 5.16, è ïîRxRxýòîìó èç (5.43) è (5.46) âûòåêàåò ϕ(t) dt = lim fn0 (t) dt =n→∞ aa= lim fn (x) − fn (a) = f (x) − f (a), òî åñòün→∞Zxf (x) = f (a) +ϕ(t) dt,x ∈ [a, b].(5.49)aÒàê êàê ôóíêöèÿ ϕ(x) ∈ C[a, b], òî ïî òåîðåìå î äèôôåðåíöèðóåìîñòè èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîìèç (5.49) âûòåêàåò (5.48).
Òåîðåìà äîêàçàíà.Èòàê, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 5.18 èìååò ìåñòîðàâåíñòâî0lim fn (x) = lim fn0 (x), x ∈ [a, b].(5.50)n→∞n→∞òî åñòü ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî x èïåðåõîä ê ïðåäåëó ïî n.Ïåðåôðàçèðóåì ýòó òåîðåìó äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.1155. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòüÒ å î ð å ì à 5.19 (î äèôôåðåíöèðîâàíèè ñóììû ôóíêöèî∞Píàëüíîãî ðÿäà). Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿäun (x) ñõîn=1äèòñÿ ê ñóììå S(x) â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [a, b]:∞Xx ∈ [a, b],un (x) = S(x),n=1ïðè÷¼ì äëÿ âñåõ n ∈ N ôóíêöèè un (x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû, òî åñòü u0n (x) ∈ C[a, b], è ðÿä∞X[a,b]u0n (x) ⇒ ϕ(x).n=1Òîãäà â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [a, b] ôóíêöèÿ S(x) äèôôåðåíöèðóåìà, ïðè÷¼ìS 0 (x) = ϕ(x),x ∈ [a, b].È çäåñü, ïîäîáíî (5.50), ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 5.19 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∞Xn=1∞0 Xun (x) =u0n (x),x ∈ [a, b].(5.51)n=1òî åñòü ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî x è(áåñêîíå÷íîå ) ñóììèðîâàíèå ïî n.Òåîðåìû 5.18 è 5.19 ñïðàâåäëèâû è ïðè ìåíåå æ¼ñòêèõïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ôóíêöèé fn (x) èëèun (x).
Îäíàêî ìû íå áóäåì óòî÷íÿòü óñëîâèÿ ýòèõ òåîðåì.Çàêàí÷èâàÿ ýòîò ïàðàãðàô, ðàññìîòðèì ï ð è ì å ð.Ââåä¼ì ôóíêöèþ∞X1.ζ(x) =nxn=1(5.52)116II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÝòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ äçåòà-ôóíêöèåé Ðèìàíà. Òàê êàêðÿä â (5.52), êàê õîðîøî èçâåñòíî, ñõîäèòñÿ ïðè x > 1 èðàñõîäèòñÿ ïðè x 6 1, òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ ζ(x)îïðåäåëåíà ïðè x ∈ (1, +∞).Óñòàíîâèì, ÷òî ðÿä â (5.52) íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ íà ìíîæåñòâå X = (1, +∞). Äåéñòâèòåëüíî, åñëèáû îí ðàâíîìåðíî ñõîäèëñÿ íà X , òî ïî òåîðåìå 5.9, ïåðåõîäÿê ïðåäåëó ïðè x → 1+0, ìû ïîëó÷èëè áû, ÷òî ðàñõîäÿùèéñÿ∞X1îêàçàëñÿ áû ñõîäÿùèìñÿ.ãàðìîíè÷åñêèé ðÿänn=1Èññëåäóåì ôóíêöèþ ζ(x) íà íåïðåðûâíîñòü â ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì íàëè÷èå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà â (5.52) (ðàçóìååòñÿ, íå íà âñ¼ì ìíîæåñòâå X , à íà êàêîé-òî åãî ÷àñòè). Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå÷èñëî x0 ∈ (1, +∞) è óêàæåì äâà ÷èñëà x1 è x2 , òàêèå, ÷òîx1 ∈ (1, x0 ), x2 ∈ (x0 , +∞) (íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü x1 =1 + x0, x2 = x0 + 1).
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ [x1 , x2 ]=2èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî116 x1 ,xnn∞X1à òàê êàê ÷èñëîâîé ðÿäñõîäèòñÿ (x1 > 1), òî ïîx1nn=1ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà (òåîðåìà 5.5) ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä∞X1, îïðåäåëÿþùèé ôóíêöèþ ζ(x), ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíîxnn=1íà ìíîæåñòâå [x1 , x2 ]. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðåìå 5.13, ôóíêöèÿ ζ(x) ∈ C[x1 , x2 ], òî åñòü íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [x1 , x2 ], â òîì ÷èñëå è â òî÷êå x0 .
Òî÷êà x0 ëþáàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X , ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ ζ(x) íåïðåðûâíàâ êàæäîé òî÷êå áåñêîíå÷íîãî èíòåðâàëà (1, +∞).0<5. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü117Èññëåäóåì òåïåðü ôóíêöèþ ζ(x) íà äèôôåðåíöèðóåìîñòüâ ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, òî÷íåå, óáåäèìñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà0ζ (x) = −∞Xln nn=1nx,x ∈ (1, +∞).(5.53)Ðÿä â (5.53) ïîëó÷åí ôîðìàëüíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ðÿäà â (5.52). Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû 5.19. ïðîâåðêå íóæäàåòñÿ ëèøü âûïîëíåíèå óñëîâèÿ î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôîðìàëüíî ïðîäèôôåðåíöèðîâàííîãîðÿäà, òî åñòü ðÿäà â (5.53), èáî îñòàëüíûå óñëîâèÿ (ñõîäèìîñòü èñõîäíîãî ðÿäà è íåïðåðûâíîñòü ïðîèçâîäíûõ), î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ.
Ïðèìåíèì òîò æå ïðè¼ì, ÷òî è ïðèèññëåäîâàíèè ôóíêöèè ζ(x) íà íåïðåðûâíîñòü, òî åñòü äëÿïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà x0 ∈ (1, +∞) óêàæåì ÷èñëà x1 ∈ (1, x0 )è x2 ∈ (x0 , +∞). ßñíî, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ [x1 , x2 ] ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâîln nln n0 6 x 6 x1 ,nnà ÷èñëîâîé ðÿä∞Xln n(5.54)x1nn=1ñõîäèòñÿ. Óñòàíîâèì ýòî. Òàê êàê x1 > 1, à ïðåäåë îòíîln tøåíèÿ lim x1 −1 = 0 (â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ ïî ïðàâèt→+∞t 2ëó Ëîïèòàëÿ), òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ t ÷èñëèòåëü ýòîéäðîáè ln t < tx1 −12 .Ïîýòîìó äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n îáx1 −1∞Xln nn 211ùèé ÷ëåí x <= x1 +1 . Íî ðÿäx1 +1 ñõîx11nnn=1 n 2n 2x1 + 1äèòñÿ (ïîñêîëüêó x1 > 1, òî> 1), ñëåäîâàòåëüíî, è2118II.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
