Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(Âåëè÷èíà ýòîé ñóììûïîëó÷åíà ðàíåå: ñì. (3.8).)Ò å î ð å ì à 6.14. Âî âñåõ òî÷êàõ ñõîäèìîñòè ðÿäà (6.8)ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∞Xα · (α − 1) · . . . · (α − n + 1) nα(1 + x) = 1 +x . (6.46)1·2·...·nn=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíûå äëÿ f (x) = (1 + x)α , èìååìf (0) (x) = (1 + x)α , f 0 (x) = α(1 + x)α−1 ,f 00 (x) = α(α − 1)(1 + x)α−2 ,................................................f (n) (x) = α · (α − 1) · .
. . · (α − n + 1)(1 + x)α−n ,f (n+1) (x) = α · (α − 1) · . . . · (α − n)(1 + x)α−n−1 ,................................................(6.47)144II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûÎòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âèäíî, ÷òî ðÿä (6.8) (èëè, äðóãèìèñëîâàìè, ðÿä â (6.46)) ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà (6.31) ôóíêöèè f (x) = (1 + x)α .Ïóñòü α ∈ N0 . Òîãäà, êàê îòìå÷àëîñü íà ñ.
125 è ñ. 128,ðÿä (6.8) ñòàíîâèòñÿ êîíå÷íîé ñóììîé. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òîýòà ñóììà ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì ôóíêöèè f (x) = (1+x)αïî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà.Ïóñòü α 6∈ N0 è x ∈ (−1, 1). Òîãäà èç (6.39) è (6.47) ñëåäóåò, ÷òî îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Êîøèf (n+1) (θx)(1 − θ)n xn+1 =n!α · (α − 1) · . . . · (α − n)(1 + θx)α−n−1(1 − θ)n xn+1=n!ìîæíî çàïèñàòü â âèäårn (x, f ) =(α − 1) · (α − 2) · . . . · (α − n) nx ×n!n1−θα−1.×αx(1 + θx)×1 + θxrn (x, f ) =(6.48)Ðàññìîòðèì ïîî÷åð¼äíî âñå òðè ñîìíîæèòåëÿ (îòäåë¼ííûå äðóã îò äðóãà çíàêîì "×") â ïðåäñòàâëåíèè (6.48) îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà rn (x, f ).Ïåðâûé ñîìíîæèòåëü â ïðåäñòàâëåíèè îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà, òî åñòü(α − 1) · (α − 1 − 1) · .
. . · (α − 1 − n + 1) nx ,n!ÿâëÿåòñÿ îáùèì ÷ëåíîì ðÿäà (6.8), ïîñòðîåííîãî äëÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà α − 1. Òàê êàê ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ äëÿ ëþáîãî x ∈ (−1, 1), òîlimn→∞(α − 1) · (α − 2) · . . . · (α − n) nx = 0.n!(6.49)6. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé145Âòîðîé ñîìíîæèòåëü, òî åñòü αx(1+θx)α−1 , êàê íåòðóäíîâèäåòü, ïðè ëþáîì x ∈ (−1, 1) äîïóñêàåò îöåíêó|αx(1 + θx)α−1 | 6 α · 2α ,α > 0,|α||αx(1 + θx)α−1 | 6, α < 0.(1 − |x|)|α|+1(6.50)Ýòà îöåíêà íå çàâèñèò îò n (õîòÿ÷èñëî θ çàâèñèò îò n).n1−θÒðåòèé ñîìíîæèòåëü, òî åñòü, òàê æå, êàê ïðè1+θxäîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåé òåîðåìû, ïðè âñåõ x ∈ (−1, 1)äîïóñêàåò îöåíêó 1 − θ n(6.51) 1 + θx 6 1,òîæå íå çàâèñÿùóþ îò n.Èç (6.49), (6.50) è (6.51) ñëåäóåò, ÷òîlim rn (x, f ) = 0,n→∞−1 < x < 1,òî åñòü∞Xα · (α−1) · .
. . · (α−n+1) n(1+x) = 1 +x , |x| < 1. (6.52)1 · 2 · ... · nn=1αÝòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàâåíñòâî (6.46) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõçíà÷åíèé x ∈ (−1, 1). Åñëè ðÿä (6.8) ñõîäèòñÿ ïðè x = −1èëè x = 1 (óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà (6.8) ïðè x = ±1 ïðèâåäåíû íà ñ. 129), òî, ïåðåõîäÿ â ðàâåíñòâå (6.52) ê ïðåäåëóïðè x → −1 + 0 èëè x → 1 − 0 (íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ (1 + x)α äîïóñêàåò òàêîé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä) è ïðèìåíÿÿ âòîðóþ òåîðåìó Àáåëÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ðàâåíñòâî (6.46)ñïðàâåäëèâî è ïðè ïðåäåëüíîì çíà÷åíèè x, âõîäÿùåì â ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè ðÿäà (6.8). Òåîðåìà äîêàçàíà.146II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû6.5.
Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû√n1. Óñòàíîâèòü, ÷òî lim n! = +∞.n→∞2. Ðàññìîòðåòü â òåîðåìàõ 6.6, 6.7 è 6.8èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.ëåâóþïîëîâèíó3. Äîêàçàòü òåîðåìó 6.10.4. Äîêàçàòü òåîðåìó 6.12.5. Óñòàíîâèòü ñõîäèìîñòü è íàéòè ñóììó ÷èñëîâîãî ðÿäà1+1 1 1 1 1 1 1− − + + − − + ....2 3 4 5 6 7 8×ÀÑÒÜ IIIËèíåéíûå íîðìèðîâàííûåè åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà.Ðÿäû Ôóðüå148III.
Ðÿäû Ôóðüå7. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà7.1. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâÍàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî L ýëåìåíòîâ ëþáîé ïðèðîäû, â êîòîðîì îïðåäåëåíû îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿíà ÷èñëà1 , íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì , åñëè ýòèîïåðàöèè óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì.1. Äëÿ ëþáûõ x ∈ L, y ∈ L ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîx + y = y + x.2. Äëÿ ëþáûõ x ∈ L, y ∈ L, z ∈ L ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(x + y) + z = x + (y + z).3. Ñóùåñòâóåò ýëåìåíò Θ ∈ L òàêîé, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà x ∈ L ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîx + Θ = x.Ýòîò ýëåìåíò íàçûâàåòñÿýëåìåíòîì.1 Òî÷íåå,íóëåâûìèëèíåéòðàëüíûìîïðåäåëåíû ñóììà ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ x, y ∈ L (ðåçóëüòàò x + y ∈ L) è ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî ýëåìåíòà α èç íåêîòîðîãî ïîëÿP è ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ L (ðåçóëüòàò αx = α · x ∈ L).
Ìû âñåãäàáóäåì â êà÷åñòâå ïîëÿ P ðàññìàòðèâàòü ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ëèáîêîìïëåêñíûõ ÷èñåë è íàçûâàòü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ óìíîæåíèåìíà âåùåñòâåííûå ÷èñëà âåùåñòâåííûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì , àïðîñòðàíñòâî ñ óìíîæåíèåì íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà êîìïëåêñíûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì ,7. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà1494. Äëÿ ëþáîãî x ∈ L ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x0 ∈ L òàêîé,÷òîx + x0 = Θ.Ýòîò ýëåìåíò íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ýëåìåíòîì è îáîçíà÷àåòñÿ −x. Ïîñëå åãî ââåäåíèÿ ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì îïðåäåëèòü îïåðàöèþ âû÷èòàíèÿ x − yêàê îïåðàöèþ ñëîæåíèÿ ýëåìåíòà x ñ ýëåìåíòîì −y ,ïðîòèâîïîëîæíûì ýëåìåíòó y .5.
Äëÿ ëþáûõ x ∈ L, y ∈ L è ëþáîãî ÷èñëà α ñïðàâåäëèâîðàâåíñòâîα(x + y) = αx + αy.6. Äëÿ ëþáîãî x ∈ L è ëþáûõ ÷èñåë α è β ñïðàâåäëèâîðàâåíñòâî(α + β)x = αx + βx.7. Äëÿ ëþáîãî x ∈ L è ëþáûõ ÷èñåë α è β ñïðàâåäëèâîðàâåíñòâî(αβ)x = α(βx).8. Äëÿ ëþáîãî x ∈ L ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî1 · x = x.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ï ð è ì å ð û ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.Èç òàêèõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ âïîñëåäñòâèè áóäåì ñòðîèòü ïðèìåðû ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ è åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ.1.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Σ âñåõ ÷èñëîâûõ ðÿäîâa≡∞Xn=1an = a1 + a2 + · · · + an + · · · .(7.1)150III. Ðÿäû ÔóðüåÐåçóëüòàòîì óìíîæåíèÿ ðÿäà (7.1) íà ÷èñëî α íàçîâ¼ì ðÿäαa = α∞X∞Xan =(αan ) = αa1 + αa2 + · · · + αan + · · · , (7.2)n=1n=1à ðåçóëüòàòîì ñëîæåíèÿ ðÿäà (7.1) ñ ðÿäîìb≡∞Xb n = b1 + b2 + · · · + bn + · · ·(7.3)cn = c1 + c2 + · · · + cn + · · · ,(7.4)n=1íàçîâ¼ì ðÿäc≡∞Xn=1â êîòîðîìc n = an + b n ,n = 1, 2, .
. . .Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âñå ñâîéñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâàâûïîëíÿþòñÿ.  ÷àñòíîñòè, íóëåâûì ýëåìåíòîì (íóëåâûìðÿäîì) â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ðÿä∞X0 = 0 + 0 + ··· + 0 + ··· .(7.5)n=1Îòìåòèì êñòàòè, ÷òî âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ïðîñòðàíñòâó Σ , ïðè ýòîì âîîáùå íå ñòàâèòñÿ .2. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî z(X ) âñåõ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé f (x), îïðåäåë¼ííûõ íà íåêîòîðîì ÷èñëîâîì ìíîæåñòâå X . Ðåçóëüòàòîì ñëîæåíèÿ äâóõ ôóíêöèé f (x) è g(x)èç z(X ) íàçîâ¼ì ôóíêöèþ h(x) òàêóþ, ÷òî h(x) = f (x)+g(x)7. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà151äëÿ âñåõ x ∈ X ; à ðåçóëüòàòîì óìíîæåíèÿ ôóíêöèè f (x)íà ÷èñëî α íàçîâ¼ì ôóíêöèþ αf (x).
È çäåñü ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî âñå ñâîéñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà âûïîëíÿþòñÿ.  ÷àñòíîñòè, íóëåâûì ýëåìåíòîì (íóëåâîé ôóíêöèåé) âýòîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Θ(x) ≡ 0. äàëüíåéøåì, ãîâîðÿ î ÷èñëîâûõ ðÿäàõ èëè ôóíêöèÿõ, îïðåäåë¼ííûõ íà ìíîæåñòâå X , áóäåì ïîíèìàòü ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà Σ èëè z(X ) ñîîòâåòñòâåííî.  ÷àñòíîñòè, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî ñõîäÿùèõñÿ (àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ) ÷èñëîâûõ ðÿäîâ èëè ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ (èëè êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ) íà êàêîì-ëèáî ìíîæåñòâå(÷àùå âñåãî íà îòðåçêå [a, b]) ôóíêöèé.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç ýòèõ ôóíêöèîíàëüíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, ÿâëÿþùèõñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè , òî÷íåå, ïîäïðîñòðàíñòâàìèëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà z(X ).3. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî C[a, b], ñîñòîÿùåå èç ôóíêöèéf (x), íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b], òî åñòü íåïðåðûâíûõâ êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (a, b), íåïðåðûâíûõ ñïðàâà ïðèx = a è íåïðåðûâíûõ ñëåâà ïðè x = b. Ýòî äåéñòâèòåëüíî ïîäïðîñòðàíñòâî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà z(X ), òàê êàêñóììà äâóõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé è ïðîèçâåäåíèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà ÷èñëî ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè, òî åñòü ðåçóëüòàòû ýòèõ îïåðàöèé òàêæå ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó C[a, b].4.
Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî C ∗ [a, b], ñîñòîÿùåå èç ôóíêöèé f (x), íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b], è òàêèõ, ÷òî f (b) == f (a). Îíî òàêæå ïîäïðîñòðàíñòâî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà z(X ), èáî, ïîìèìî óæå óïîìèíàâøåãîñÿ â ïðåäûäóùåìïðèìåðå ñîõðàíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè ðàâåíñòâî f (b) = f (a)òàêæå ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ëèíåéíûõ îïåðàöèÿõ. Òàêæå íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî C ∗ [a, b] ÿâëÿåòñÿ òàêæå ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà C[a, b].152III.
Ðÿäû Ôóðüå5. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Q0 [a, b], ñîñòîÿùåå èç îñðåäí¼ííûõ êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé f(x),èìåþùèõ íå áîëåå ÷åì êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà . Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ôóíêöèþ f (x) ∈ Q0 [a, b].Çàíóìåðóåì òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f (x) (âìåñòå ñ êîíöàìèa è b îòðåçêà [a, b]) â ïîðÿäêå èõ âîçðàñòàíèÿ:a = x0 < x1 < · · · < xn = b,n ∈ N.(7.6)Ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëàõ (xk−1 , xk ) ïðè k == 1, 2, . . . , n; ñóùåñòâóþò (êîíå÷íûå) ïðåäåëûlim f (x) = f (a + 0),x→a+0lim f (x) = f (xk ± 0),x→xk ±0lim f (x) = f (b − 0),x→b−0k = 1, 2, . . .
, n − 1;ïðè÷¼ì â òî÷êàõ ðàçðûâà è â êîíöàõ îòðåçêà çíà÷åíèÿ ôóíêöèè îñðåäíåíû:f (a + 0) + f (b − 0),2f (xk + 0) + f (xk − 0)f (xk ) =, k = 1, 2, . . . , n − 1.2f (a) = f (b) =(7.7)Íà ïðåäñòàâëåííîì ðèñóíêå èçîáðàæ¼í ýñêèç ãðàôèêà ôóíêöèè f (x) ∈ Q0 [a, b]. Äëÿ ïðîñòîòû êàðòèíû ìû îãðàíè÷èëèñü7. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà153ñëó÷àåì îäíîé âíóòðåííåé òî÷êè ðàçðûâà xk ôóíêöèè f (x).Ýòî ïðîñòðàíñòâî, êàê è ðàññìîòðåííûå ðàíåå ïðîñòðàíñòâàC[a, b] è C ∗ [a, b], òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà z(X ). Äåéñòâèòåëüíî, óìíîæåíèå ôóíêöèè f (x) ∈ Q0 [a, b] íà α = 0 ïðèâîäèò ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè Θ(x) ≡ 0, à óìíîæåíèå íà α 6= 0 ïðèâîäèò ê ôóíêöèèαf (x), èìåþùåé òå æå òî÷êè ðàçðûâà, ÷òî è ôóíêöèÿ f (x)è îñðåäí¼ííîé â òî÷êàõ ðàçðûâà. Ñëîæåíèå äâóõ ôóíêöèéf (x) è g(x), ïðèíàäëåæàùèõ Q0 [a, b], òîæå ïðèâîäèò ê ôóíêöèè h(x) = f (x) + g(x) ∈ Q0 [a, b].
 ñàìîì äåëå, ìíîæåñòâîâíóòðåííèõ òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè h(x) ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îáúåäèíåíèÿ òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèé f (x) è g(x).Îñðåäíåíèå â òî÷êàõ ðàçðûâà ñîõðàíÿåòñÿ, òàê êàêϕ(x̃ + 0) + ϕ(x̃ − 0),2åñëè òî÷êà x̃ òî÷êà íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ϕ(x). Êîëè÷åñòâî òî÷åê ðàçðûâà ó ôóíêöèè h(x) ìîæåò áûòü ìåíüøå, ÷åì â îáúåäèíåíèè òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèé f (x) è g(x),íàïðèìåð, åñëè g(x) = −f (x), òî h(x) = Θ(x). Îòìåòèì âçàêëþ÷åíèå, ÷òî ïðîñòðàíñòâî Q0 [a, b] ñîäåðæèò â ñåáå â êà÷åñòâå ïîäïðîñòðàíñòâà ðàññìîòðåííîå â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå ïðîñòðàíñòâî C ∗ [a, b].Ïðè èçó÷åíèè ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ â êóðñå ëèíåéíîéàëãåáðû âàæíóþ ðîëü èãðàþò ïîíÿòèÿ ðàçìåðíîñòè, áàçèñà,ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè è íåçàâèñèìîñòè. Çäåñü, êàê âèäíî èçïðèìåðîâ, ìû áóäåì çàíèìàòüñÿ èçó÷åíèåì áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ, òî åñòü òàêèõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, âêîòîðûõ äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n ìîæíî íàéòè n ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ.
Ïîíÿòèå áàçèñà áåñêîíå÷íîìåðíîãîïðîñòðàíñòâà áóäåò ââåäåíî íèæå, (ñì. ñ. 168) êîãäà áóäåòââåäåíî ïîíÿòèå íîðìû è ñõîäèìîñòè, à âîò ïîíÿòèå ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ìîæíî äàòü óæå ñåé÷àñ, ïðè÷¼ì â áîëååϕ(x̃) =154III. Ðÿäû Ôóðüåîáùåì âèäå, ÷åì îáû÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ â êóðñå ëèíåéíîéàëãåáðû. Òàì îíî ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèøü äëÿ ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Ìû æå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìû, ñîñòîÿùèõ èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ,ïðè÷¼ì íå îáÿçàòåëüíî äàæå èç ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ;êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ñèñòåìû ìîæåò áûòü ìíîæåñòâîì ëþáîé ìîùíîñòè, íàïðèìåð, èõ ìîæåò áûòü ñòîëüêî, ñêîëüêîòî÷åê íà èíòåðâàëå, îòðåçêå (êîíòèíóóì ), áîëåå ìîùíîå,÷åì êîíòèíóóì è òàê äàëåå.Ñèñòåìà xα α∈A , ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ xα ∈ L (A ìíîæåñòâî ëþáîé ìîùíîñòè), íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìîé â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L, åñëè äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n äëÿ ëþáîé ïîäñèñòåìû n ýëåìåíòîâ nnxαk k=1 ⊂ xα α∈A è äëÿ ëþáîãî íàáîðà n ÷èñåë λk k=1nnPPòàêèõ, ÷òî|λk | > 0 ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿλk xαk 6= Θ.k=1k=1Ââåä¼ííîå ñåé÷àñ îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ëèíåéíîé íåçàâèñèìîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç ëþáîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, êàêíåòðóäíî âèäåòü, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
