Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Åñëè äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî x ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x)}∞n=1 ìîíîòîííà, ïðè÷¼ì ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x)}∞n=1ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X îãðàíè÷åíà â ñîâîêóïíîñòè, òîåñòü íàéä¼òñÿ K > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X è äëÿ âñåõ nàáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |an (x)| 6 K , à ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä∞Pbn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà ðÿän=1∞Xan (x) bn (x) ⇒ íà X.n=1Îòìåòèì, ÷òî â ïðèçíàêàõ Äèðèõëå è Àáåëÿ íåâàæåí õà∞ðàêòåð ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {an (x)}n=1 (ýòîòõàðàêòåð ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì â ðàçíûõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà X ).Òàêæå ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà (òåîðåìà 5.5), ïðèçíàê Äèðèõëå (òåîðåìà 5.6), ïðèçíàêÀáåëÿ (òåîðåìà 5.7), â îòëè÷èå îò êðèòåðèåâ (òåîðåìû 5.1,5.2 è 5.3), äàþò ëèøü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàâíîìåðíîéñõîäèìîñòè, è åñëè ýòè óñëîâèÿ íå âûïîëíÿþòñÿ, òî åù¼1015.
Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòüíåëüçÿ äåëàòü âûâîäû îá îòñóòñòâèè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ñäåëàòü çàìå÷àíèå îòíîñèòåëüíîîäíîñòîðîííîñòè ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû 5.4. Åñëè áóäåò óñòàXíîâëåíî, ÷òî un (x) 6⇒ u(x) ≡ 0, òî îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî∞Pðÿäun (x) íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ íà ìíîXn=1æåñòâå X .
Åñëè æå ìû óñòàíîâèì, ÷òî un (x) ⇒ u(x) ≡ 0, òîâîïðîñ î íàëè÷èè èëè îòñóòñòâèè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè∞Pðÿäàun (x) îñòà¼òñÿ îòêðûòûì.n=15.5.. Ñâîéñòâà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ ýòîì ïóíêòå áóäóò ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ ïðè ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå òåõ èëèèíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ ñâîéñòâ (òàêèõ, êàê íåïðåðûâíîñòü,äèôôåðåíöèðóåìîñòü è ò.
ä.) ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ ôóíêöèé, è ìû óâèäèì, ÷òî ââåä¼ííîå â ï. 5.2 ïîíÿòèåðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè áóäåò èãðàòü ïðè ýòîì ðåøàþùóþðîëü.Ò å î ð å ì à 5.8 (î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå â ðàâíîìåðíîñõîäÿùèõñÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ). Ïóñòüôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüXfn (x) ⇒ f (x),(5.24)ïðè÷¼ì äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ∈ N ñóùåñòâóåò (êîíå÷íûé) ïðåäåëlim fn (x) = An ,(5.25)x→aãäå a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X . Òîãäà ñóùåñòâóåò102II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû ∞(êîíå÷íûé) ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè An n=1 :lim An ,n→∞(5.26)à òàêæå ïðåäåë ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f (x) ïðè x → a, ïðè÷¼ìlim f (x) = lim An .(5.27)x→an→∞Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïàòü ê äîêàçàòåëüñòâó, îòìåòèì äâàìîìåíòà. Âî-ïåðâûõ, a (ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X ) ìîæåò áûòü îäíèì èç òð¼õ áåñêîíå÷íûõ ñèìâîëîâ (∞, +∞èëè −∞), à òàêæå ñèìâîëîì, óêàçûâàþùèì íà îäíîñòîðîííåå ñòðåìëåíèå x ê a (a + 0 èëè a − 0).
Âî-âòîðûõ, ñòðåìëåíèå x ê a â (5.25) è (5.27) îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ìíîæåñòâó X ,òî åñòü òî÷êè â îêðåñòíîñòè a áåðóòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî èç òî÷åê ìíîæåñòâà X .Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ïóñòü a êîíå÷íîå ÷èñëî, è xñòðåìèòñÿ ê a äâóñòîðîííèì îáðàçîì. Ñîãëàñíî (5.24), ïîòåîðåìå 5.2, äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìîæíî íàéòè íîìåð N , ÷òîäëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N , m > N è äëÿ âñåõ x ∈ X èìååòìåñòî íåðàâåíñòâîε(5.28)|fn (x) − fm (x)| < .3Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè x → a, ïîëó÷àåì, ñîãëàñíî (5.25), ÷òî äëÿ òåõ æå íîìåðîâ n è m ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîε|An − Am | 6 ,(5.29)3òî åñòü, â ÷àñòíîñòè, ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {An } ôóíäàìåíòàëüíà , è ñòàëî áûòü, ïî êðèòåðèþ Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñóùåñòâóåò êîíå÷íûéïðåäåë (5.26).
Îáîçíà÷èìlim An = A.n→∞(5.30)5. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü103Ïåðåõîäÿ â íåðàâåíñòâå (5.28) (äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãîx ∈ X ) ê ïðåäåëó ïðè m → ∞, ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âñåõíîìåðîâ n > N è äëÿ âñåõ x ∈ X èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîε.3|fn (x) − f (x)| 6(5.31)Åñëè æå ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè m → ∞ â íåðàâåíñòâå (5.29),òî ñîãëàñíî (5.30) ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > Nñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî|An − A| 6ε.3(5.32)Âîçüì¼ì êàêîé-íèáóäü íîìåð n > N . Ñîãëàñíî (5.25), äëÿëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ δ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X è òàêèõ,÷òî0 < |x − a| < δ,(5.33)èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî|fn (x) − An | <ε.3(5.34)Ïîýòîìó äëÿ âñåõ x ∈ X , óäîâëåòâîðÿþùèõ (5.33), èç (5.31),(5.32) è (5.34) âûòåêàåò, ÷òî |f (x) − A| 6 |f (x) − fn (x)| +εεε+ |fn (x) − An | + |An − A| < + + = ε.
À ýòî îçíà÷à333åò, ÷òî lim f (x) = A, ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó â ñëó÷àåx→aïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà x → a.Åñëè ïðåäåëüíûé ïåðåõîä x → a çàìåíÿåòñÿ íà îäèí èçïÿòè äðóãèõ âîçìîæíûõ ïðåäåëüíûõ ïåðåõîäîâ (x → a + 0,x → a − 0, x → ∞, x → +∞ èëè x → −∞), òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû çàìåíÿåòñÿ ëèøü íåðàâåíñòâî (5.33)íà ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî èç ïðèâåä¼ííîé çäåñü òàáëèöû (â íå¼ äëÿ îáùíîñòè è ïîëíîòû êàðòèíû âêëþ÷åíî104II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûè íåðàâåíñòâî (5.33) äëÿ ñëó÷àÿ äâóñòîðîííåãî ñòðåìëåíèÿïåðåìåííîé x ∈ X ê êîíå÷íîìó ÷èñëó a):ïðåäåëüíûé ïåðåõîä íåðàâåíñòâî (5.33)x→ a0 < |x − a| < δx→ a+00<x−a<δx→ a−00<a−x<δx→ ∞|x| > δx → +∞x>δx → −∞x < −δÏðîâîäÿ äîêàçàòåëüñòâî ñëîâî â ñëîâî è çàìåíÿÿ íåðàâåíñòâî (5.33) îäíèì èç ïðèâåä¼ííûõ âûøå, ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿâñåõ âîçìîæíûõ ïðåäåëüíûõ ïåðåõîäîâ óòâåðæäåíèå òåîðåìû òàêæå ñïðàâåäëèâî.
Òåîðåìà äîêàçàíà.Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 5.8 èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîlimx→alim fn (x) = lim lim fn (x) ,n→∞n→∞ x→a(5.35)òî åñòü ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè ïåðåõîä ê ïðåäåëó ïî x èïåðåõîä ê ïðåäåëó ïî n.Ïðèìåíèì òåïåðü òåîðåìó 5.8 ê ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ôóíêöèîíàëüíîãî∞Pðÿäàun (x) è òåì ñàìûì óáåäèìñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëån=1äóþùàÿ òåîðåìà.Ò å î ð å ì à 5.9 (î ïî÷ëåííîì ïåðåõîäå ê ïðåäåëó â ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäàõ). Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä∞XXun (x) ⇒ S(x),n=15. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü105ïðè÷¼ì äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ∈ N ñóùåñòâóåò (êîíå÷íûé) ïðåäåëlim un (x) = an ,x→aãäå a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X . Òîãäà ÷èñëîâîé ðÿä∞Xann=1ñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ì ïðåäåë ñóììû ðÿäàlim S(x) =x→a∞Xan .n=1Òàê êàê òåîðåìà 5.9 òîëüêî ïåðåôðàçèðîâêà ïðåäøåñòâóþùåé òåîðåìû 5.8, òî â ñïåöèàëüíîì äîêàçàòåëüñòâåîíà íå íóæäàåòñÿ .Ïîñëåäíåìó ñîîòíîøåíèþ òåîðåìû 5.9 ìîæíî ïðèäàòüâèä, ïîäîáíûé (5.35): ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé ýòîé òåîðåìûèìååò ìåñòî ðàâåíñòâîlimx→a∞Xn=1∞ Xlim un (x) ,un (x) =n=1x→a(5.36)òî åñòü ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè ïåðåõîä ê ïðåäåëó ïî x è(áåñêîíå÷íîå ) ñóììèðîâàíèå ïî n.Ñäåëàåì íåáîëüøîå îòñòóïëåíèå, î êîòîðîì áûëî óïîìÿíóòî íà ñ.
73 ïðè ðàññìîòðåíèè ìåòîäîâ ñóììèðîâàíèÿ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Ïóñòü èìååòñÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ϕn (x)}∞n=1 , êîòîðàÿ îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå Xè òàêîâà, ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ∈ N ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim ϕn (x) = 1, ãäå a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X .x→a106II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû∞ Ïóñòü íàì äàíà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü An n=1 ÷è∞Pan . Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàëüñëîâîé ðÿän=1∞íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 ñ n-ì ýëåìåíòîì fn (x) =∞P= An ϕn (x) ôóíêöèîíàëüíûé ðÿäun (x) ñ îáùèì ÷ëån=1íîì un (x) = an ϕn (x) è ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíàÿ ôóíê∞Pöèÿ f (x) = lim fn (x) ôóíêöèîíàëüíûé ðÿäun (x) ñõîn→∞n=1∞Päèòñÿ, òî åñòü ñóùåñòâóåò ñóììà ðÿäà S(x) =un (x) ân=1êàæäîé òî÷êå x ∈ X.
Òîãäà ïðåäåë lim f (x) ïðåäåë lim S(x) ,x→ax→aåñëè îí ëèáî êîíå÷íîå ÷èñëî, ëèáî +∞ èëè −∞, ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ðàññìàòðèìàåìîé ÷èñëîâîé ïîñëåäî∞ ∞ Pâàòåëüíîñòè An n=1 ÷èñëîâîìó ðÿäóan â êà÷åñòâån=1îáîáù¼ííîãî çíà÷åíèÿ ïðåäåëà (îáîáù¼ííîãî çíà÷åíèÿ ñóììû). Ëèíåéíîñòü ýòîãî ìåòîäà î÷åâèäíà, à óñëîâèÿìè åãîðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîé ðåãóëÿðíîñòè ìû çàíèìàòüñÿ íå áóäåì.Ïðèìåíÿÿ òåîðåìû 5.8 è 5.9 ê ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èëè ê ôóíêöèîíàëüíîìó ðÿäó, êîòîðûå ñîñòîÿò èç íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé (â íåêîòîðîé òî÷êå èëè íà îòðåçêå), ìîæíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùèõ äâóõòåîðåì.Ò å î ð å ì à 5.10 ( î íåïðåðûâíîñòè â òî÷êå ïðåäåëüíîéôóíêöèè ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè).
Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü[a,b]fn (x) ⇒ f (x),ïðè÷¼ì äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ∈ N ôóíêöèè fn (x) íåïðåðûâíû5. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü107ïðè x = x0 ∈ [a, b]. Òîãäà ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà ïðè x = x0 .Ò å î ð å ì à 5.11 (î íåïðåðûâíîñòè â òî÷êå ñóììû ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà). Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä∞[a,b]Xun (x) ⇒ S(x),n=1ïðè÷¼ì äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ∈ N ôóíêöèè un (x) íåïðåðûâíû ïðè x = x0 ∈ [a, b]. Òîãäà ñóììà ðÿäà S(x) íåïðåðûâíàïðè x = x0 .Èç ýòèõ òåîðåì ñðàçó âûòåêàþò åù¼ äâå òåîðåìû.Ò å î ð å ì à 5.12 (î íåïðåðûâíîñòè íà îòðåçêå ïðåäåëüíîéôóíêöèè ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé).
Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü[a,b]fn (x) ⇒ f (x),ïðè÷¼ì äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ∈ N ôóíêöèè fn (x) ∈ C[a, b].Òîãäà ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) ∈ C[a, b].Ò å î ð å ì à 5.13 (î íåïðåðûâíîñòè íà îòðåçêå ñóììû ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé). Ïóñòüôóíêöèîíàëüíûé ðÿä∞X[a,b]un (x) ⇒ S(x),n=1ïðè÷¼ì äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ∈ N ôóíêöèè un (x) ∈ C[a, b].Òîãäà ñóììà ðÿäà S(x) ∈ C[a, b].Îòìåòèì, ÷òî òåîðåìû 5.12 è 5.13 èíîãäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îòñóòñòâèÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èëè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ∈ N108II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäûôóíêöèè fn (x) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b] (ôóíêöèè un (x)íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b]) è∞Xf (x) = lim fn (x)S(x) =un (x) ,n→∞x ∈ [a, b],n=1ïðè÷¼ì f (x) 6∈ C[a, b] (S(x) 6∈ C[a, b]), òî[a,b]fn (x) 6⇒ f (x)∞X[a,b]un (x) 6⇒ S(x) .n=1Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñðàçó âûòåêàåò, ÷òî â ïåðâûõ äâóõèç ïÿòè ïðèìåðîâ, ðàññìîòðåííûõ â êîíöå ïåðâîãî ïàðàãðàôà, íåò ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, òàê êàê ïðåäåëüíàÿôóíêöèÿ â ýòèõ ïðèìåðàõ ðàçðûâíà. Òàêèì îáðàçîì, òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè â òåîðåìàõ 5.12 è 5.13 ñóùåñòâåííî .
Îäíàêî íåîáõîäèìûì îíî íå ÿâëÿåòñÿ, êàê ïîêàçûâàþò äâà ïîñëåäíèõ ïðèìåðà èç ýòèõ æå ïÿòè, â êîòîðûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ïîòî÷å÷íî,íî íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Òåì íåìåíåå, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè áóäåò è íåîáõîäèìûì .Ò å î ð å ì à 5.14 (òåîðåìà Äèíè äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}∞n=1 òàêîâà, ÷òîà) äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ∈ N ôóíêöèè fn (x) ∈ C[a, b];á) äëÿ âñåõ x ∈ [a, b] ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{fn (x)}∞n=1 ìîíîòîííà;â) ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ lim fn (x) = f (x) ∈ C[a, b].n→∞[a,b]Òîãäà fn (x) ⇒ f (x).Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî â óñëîâèè á) äëÿ âñÿêîãî x ∈ [a, b] ïîñëåäîâà-5.
Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü109òåëüíîñòü {fn (x)}∞n=1 íå óáûâàåò (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âìåñòî ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}∞n=1 áóäåì).Îáîçíà÷èìðàññìàòðèâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {−fn (x)}∞n=1ϕn (x) = f (x) − fn (x). ßñíî, ÷òî ϕn (x) ∈ C[a, b] è äëÿ ëþáîãîx ∈ [a, b] ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ϕn (x)}∞n=1 íåîòðèöàòåëüíà è, ìîíîòîííî íå âîçðàñòàÿ, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ,òî åñòüϕ1 (x) > ϕ2 (x) > · · · > ϕn (x) > ϕn+1 (x) > · · · > 0,lim ϕn (x) = 0,n→∞x ∈ [a, b].(5.37)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}∞n=1 ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f (x) äîñòàòî÷íî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéòè õîòÿ áû îäèí íîìåð n, ÷òî äëÿâñåõ x ∈ [a, b] èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî0 6 ϕn (x) < ε.(5.38)(Ñîãëàñíî (5.37), äëÿ âñåõ áîëüøèõ n íåðàâåíñòâî (5.38) òàêæå âûïîëíÿåòñÿ.) Äîêàæåì ýòî îò ïðîòèâíîãî.
Ïóñòü íàéä¼òñÿ ε > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî íîìåðà n ìîæíî óêàçàòü çíà÷åíèå xn ∈ [a, b], ÷òîϕn (xn ) > ε.(5.39)×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }∞n=1 îãðàíè÷åíà , ñëåäîâàòåëüíî ïî òåîðåìå ÁîëüöàíîÂåéåðøòðàññà, ñóùåñòâóåò∞ñõîäÿùàÿñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk }k=1 ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:lim xnk = x0 ∈ [a, b].(5.40)k→∞Íî äëÿ âñÿêîãî m íàéä¼òñÿ íîìåð k , ÷òî nk > m. Ïîýòîìóèç (5.37) è (5.39) ñëåäóåò, ÷òî ϕm (xnk ) > ϕnk (xnk ) > ε. Ýòîîçíà÷àåò, ÷òîϕm (xnk ) > ε.(5.41)110II.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
