Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817)
Текст из файла
À. Ï. Ã Î Ð ß × Å ÂÑÏÅÖÈÀËÜÍÛÅ ÃËÀÂÛÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÐßÄÛÌîñêâà 2011ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞÍÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÉ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÑÊÈÉßÄÅÐÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ Ì È Ô ÈÀ. Ï. Ã Î Ð ß × Å ÂÑÏÅÖÈÀËÜÍÛÅ ÃËÀÂÛÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÐßÄÛÌîñêâà 2011ÓÄÊ 517.5(075)ÁÁÊ 22.161.5ÿ7à 71Ãîðÿ÷åâ À.Ï. Ñïåöèàëüíûå ãëàâû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. ×èñëîâûå è ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû.Ì.: ÌÈÔÈ, 2011.
272 ñ.Äàííîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ âòîðîãî êóðñà âñåõ ôàêóëüòåòîâ. Çäåñü èçëîæåíû ( ñ ïîäðîáíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè) âñå íåîáõîäèìûå ñòóäåíòàì òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ,îáû÷íî ðàññìàòðèâàåìûå íà ëåêöèÿõ ïðè èçó÷åíèè òåì ×èñëîâûå ðÿäû, Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû, Ðÿäû Ôóðüå â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ è Òðèãîíîìåòðè÷åñêèåðÿäû Ôóðüå.
 ïðèëîæåíèè ïðèâåäåíû 30 âàðèàíòîâ ïðèìåðîâ,êîòîðûå ìîæíî âûäàâàòü ñòóäåíòàì â êà÷åñòâå äîìàøíåãî çàäàíèÿ. Âñå 30 âàðèàíòîâ ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâû ïî òðóäíîñòè.ISBN 9785726208206Ðåöåíçåíò:c ÍÈßÓ ÌÈÔÈ, 2011ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .7×ÀÑÒÜ I. ×èñëîâûå ðÿäû . . . . . . . . . . . . . . .131. Îáùèå ñâåäåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ÷èñëîâûì ðÿäàì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1. Ïîíÿòèå ÷èñëîâîãî ðÿäà. Ïðèìåðû . . . . . .1.2. Ëèíåéíûå ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí . . .
. . . . . . . . . . . . . .1.3. Ñâÿçü ðÿäîâ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Êðèòåðèé Êîøè. Íåîáõîäèìûé ïðèçíàê . . . . . . .1.4. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ÷èñëîâûå ðÿäû . . . . .2.1. Êðèòåðèé ñõîäèìîñòè çíàêîïîëîæèòåëüíûõðÿäîâ . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ. Èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê .2.3. Ïðèçíàê Äàëàìáåðà. Ðàäèêàëüíûé ïðèçíàêÊîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Ñïåöèàëüíûé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ. ÏðèçíàêèÐààáå, Êóììåðà è Ãàóññà . . . . . . . . . . . .2.5. Î ïîðÿäêå ðîñòà ÷àñòè÷íûõ ñóìì ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Çíàêîïåðåìåííûå ÷èñëîâûå ðÿäû . . . . . . . .3.1. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü . . . . . .3.2. Çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû. Ïðèçíàê Ëåéáíèöà. Îöåíêà îñòàòêà . . . . . . . . . . . . . . . .314172023232425313749515353554Îãëàâëåíèå3.3. Ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ. Ïðèçíàêè Äèðèõëå èÀáåëÿ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ è ñî÷åòàòåëüíûé çàêîíäëÿ çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ . . . . . . . . . .3.5. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Ñóììèðîâàíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ . . . . . . . . .4.1. Ïîíÿòèå ìåòîäîâ ñóììèðîâàíèÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ4.2. Ðåãóëÿðíîñòü è ïîëíàÿ ðåãóëÿðíîñòü ìåòîäàñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ . . . . . . . . . .
. .4.3. Îáîáù¼ííàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5967707171747880×ÀÑÒÜ II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòèè ðÿäû. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835. Ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü . . . .845.1. Ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè . . . . . . . . . . . . . 845.2. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü . . . . . . . . . . . . 875.3. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ (êðèòåðèè) ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ôóíêöèîíàëüíûõðÿäîâ . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 915.4. Ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.5.. Ñâîéñòâà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ . . . . . . . . . . . . . . . 1015.6. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 118Îãëàâëåíèå56. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.1. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè . . .6.2. Ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ . . . . . . . . . . .6.3. Ðÿä Òåéëîðà (Ìàêëîðåíà). Àíàëèòè÷åñêèå èíåàíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè . . .
. . . . . . . .6.4. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé ex , cos x, sin x, ln(1 + x),(1 + x)α â ðÿä Òåéëîðà (Ìàêëîðåíà) . . . . . .6.5. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119129136139146×ÀÑÒÜ III. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå è åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà. Ðÿäû Ôóðüå . . . . .
. . . 1477. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà . . . 1487.1. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ 1487.2. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ . . . . . . . . . . . . . . . 1547.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû â ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ . . . .
. . . . . . . 1627.4. Ïîëíûå ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå (áàíàõîâû)ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.5. Ñðàâíåíèå ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñõîäèìîñòè . . . 1747.6. Ïðèìåðû íåïîëíûõ ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1797.7. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1848. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . 1868.1. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.2. Ñõîäèìîñòü â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ.Ïîëíîòà . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936Îãëàâëåíèå8.3.. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû îðòîãîíàëüíûõ è îðòîíîðìèðîâàííûõ ñèñòåì . . . . . . . . . . . . 1968.4. Ðÿäû Ôóðüå â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå . . . 2028.5. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 2139. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå . . . . . . . . 2199.1. Ïîíÿòèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà è ðÿäàÔóðüå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2. Âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ. ßäðî Äèðèõëå9.3. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ Ôóðüå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.4. Ìåòîä Ôåéåðà ñóììèðîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ Ôóðüå . . . . . . .
. . . . . . . .9.5. Áàçèñíîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñèñòåì . . .9.6. Ðÿäû Ôóðüå íà ïðîèçâîëüíîì îòðåçêå . . . .9.7. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219222228235243251254Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèé . . .
. . . . . . . . . . 257ÂâåäåíèåÄàííîå ïîñîáèå íàïèñàíî íà îñíîâå ëåêöèé, ÷èòàåìûõàâòîðîì íà ïðîòÿæåíèè ðÿäà ëåò â òðåòüåì ñåìåñòðå íà ôàêóëüòåòå "Ò" ÍÈßÓ ÌÈÔÈ. Îíî ñîñòîèò èç òð¼õ ÷àñòåé:1. ×èñëîâûå ðÿäû.2. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû.3. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå è åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà.Ðÿäû Ôóðüå.Êðîìå òîãî, â ïðèëîæåíèè äàíû âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèé, êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ïðîâåäåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé è çà÷¼òà ïî ýòîìó êóðñó.Ïåðâàÿ ÷àñòü ïîñîáèÿ ïîñâÿùåíà ÷èñëîâûì ðÿäàì.
Èñïîëüçóÿ ñâÿçü ðÿäîâ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, èçëîæåíû ëèíåéíûå ñâîéñòâà è êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõðÿäîâ, óñòàíîâëåíû òàêæå íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðÿäîâ è ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ.Çàòåì äîêàçàíû ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ: ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ, èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê, ïðèçíàê Äàëàìáåðà, ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè, ñïåöèàëüíûéïðèçíàê ñðàâíåíèÿ, ïðèçíàê Ðààáå, ïðèçíàê Êóììåðà, ïðèçíàê Ãàóññà. Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ, Äàëàìáåðà, Êîøè, Ðààáåè Êóììåðà âûâåäåíû â äîïðåäåëüíîé è ïðåäåëüíîé ôîðìàõ.Òàêæå äîêàçàíû ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ, ñâÿçûâàåìûå ñ èìåíàìè Ëåéáíèöà, Àáåëÿ è Äèðèõëå.Ââåäåíî â ðàññìîòðåíèå ïîíÿòèå ñóììèðîâàíèÿ ÷èñëîâûõðÿäîâ, âêëþ÷àþùåå â ñåáÿ îáû÷íóþ ñõîäèìîñòü êàê îäèí èçñïîñîáîâ ïîñòàíîâêè â ñîîòâåòñòâèå ðÿäó íåêîòîðîãî ÷èñëà ëèáî áåñêîíå÷íîãî ñèìâîëà (òàê íàçûâàåìîé îáîáù¼ííîé78Ââåäåíèåñóììû )è óñòàíîâëåíû ðåãóëÿðíîñòü è ïîëíàÿ ðåãóëÿðíîñòüìåòîäà ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ.Âî âòîðîé ÷àñòè ïîñîáèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû, òî åñòü òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ óæå íå÷èñëà , à ôóíêöèè , êîòîðûå äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ ñ÷èòàþòñÿ ôóíêöèÿìè îäíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî, õîòÿ âñå îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ðåçóëüòàòû ëåãêî ðàñïðîñòðàíèòü è íà áîëåå îáùèé ñëó÷àé.
Ãëàâíîå ïîíÿòèå, îòëè÷àþùåå ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû îò ÷èñëîâûõ, ýòî, ðàçóìååòñÿ, ïîíÿòèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, ðàññìîòðåíèå êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ïðè èçó÷åíèè ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ è êîòîðîå çäåñüèçó÷åíî äîñòàòî÷íî ïîëíî. Ïîëó÷åíû íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòèôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.
Äîêàçàíû íàèáîëåå ÷àñòî óïîòðåáëÿåìûå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ: ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà, ïðèçíàê Äèðèõëå, ïðèçíàê Àáåëÿ. Äëÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ óñòàíîâëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïî÷ëåííîãî ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà,ñîõðàíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè â òî÷êå è íà ìíîæåñòâå, ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ. ïîñëåäíåì ïàðàãðàôå âòîðîé ÷àñòè ââåäåíî ïîíÿòèåñòåïåííîãî ðÿäà êàê ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà è èçó÷åíî åãî ìíîæåñòâî ñõîäèìîñòè. Ïîëó÷åíû ñâîéñòâàñòåïåííûõ ðÿäîâ: ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü, íåïðåðûâíîñòüñóììû, åäèíñòâåííîñòü êîýôôèöèåíòîâ, ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå, ïîâåäåíèå ñòåïåííîãî ðÿ-9Ââåäåíèåäà íà êîíöå êîíå÷íîãî èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.
Íàêîíåö, ðàññìîòðåíî ïîíÿòèå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè è óñòàíîâëåíààíàëèòè÷íîñòü ñëåäóþùèõ ôóíêöèé:ex , cos x, sin x, ln(1 + x), (1 + x)α . òðåòüåé ÷àñòè ïîñîáèÿ èçó÷àþòñÿ îñíîâíûå ôóíäàìåíòàëüíûå ïîíÿòèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ðÿäàì Ôóðüå . Ïðè ýòîìâíà÷àëå ðàññìàòðèâàþòñÿ îáùèå ðÿäû Ôóðüå ïî îðòîãîíàëüíûì è îðòîíîðìèðîâàííûì ñèñòåìàì â ïðîèçâîëüíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ, à çàòåì è òðàäèöèîííûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå â ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ îñðåäí¼ííûõ ôóíêöèé ñ êâàäðàòè÷íîé ìåòðèêîé.Ïðåäâàðèòåëüíî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà, òî åñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, âêîòîðîì ââåäåíà íîðìà 1 . Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâåïî åãî íîðìå.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
