Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Åñëè íàéäóòñÿ ÷èñëî q ∈ (0, 1) è íîìåð n0 òàêèå, ÷òî∞pPnan 6 q äëÿ âñåõ n > n0 , òî ðÿäan ñõîäèòñÿ.n=12. Åñëè íàéä¼òñÿ ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {nk }∞k=1 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë1 6 n1 < n2 < · · · < nk < nk+1 < · · ·òàêàÿ, ÷òî∞pPan ðàñõîäèòñÿ.ank > 1, òî ðÿänkn=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Óñòàíîâèì ïåðâîå óòâåðæäåíèå.pnÂîçâîäÿ íåðàâåíñòâî an 6 q â n-þ ñòåïåíü, ïîëó÷àåìan 6 q n ,Òàê êàê ðÿä∞Pn > n0 .q n ñõîäèòñÿ, òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ (òåî-n=1∞Pðåìà 2.2) ðÿäan òàêæå ñõîäèòñÿ.n=1pnkan k >Óñòàíîâèì òåïåðü âòîðîå óòâåðæäåíèå.
Òàê êàê> 1, òî è ank > 1. Ñëåäîâàòåëüíî, lim an 6= 0 è, ñîãëàñíî íån→∞∞Pîáõîäèìîìó ïðèçíàêó (òåîðåìà 1.4), ðÿäan ðàñõîäèòñÿ.n=1Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñ ë å ä ñ ò â è å (ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè â ïðåäåëüíîéôîðìå). Åñëè an > 0 èpnliman = q,(2.19)n→∞òî ïðè q < 1 ðÿäðàñõîäèòñÿ.∞Pan ñõîäèòñÿ, à ïðè q > 1 ýòîò ðÿän=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Òàê êàê an > 0, òî q > 0. Åñëè q =36I. ×èñëîâûå ðÿäûpnan ∈ [0, 1), òî ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåãî ïðåäåëà êàê= limn→∞êðàéíåé ïðàâîé ïðåäåëüíîé òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, äëÿëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òîpnan < q + ε, n > n0 .(2.20)1−q> 0.
Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé,2÷òî ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó (2.20) äëÿ âñåõ n > n0 èìååì:Âîçüì¼ì ε =p1−q1+qnan < q +== q1 ∈ (0, 1).22Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.5, ðÿä∞Pan ñõîäèòñÿ.n=1Ïóñòü q > 1 (q êîíå÷íîå ÷èñëî èëè q = +∞). Ïîñêîëünp onan , òî ñóêó q ÷àñòè÷íûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòèùåñòâóåò ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {nk }∞k=1íàòóðàëüíûõ ÷èñåë1 6 n1 < n2 < · · · < nk < nk+1 < · · ·pnkòàêàÿ, ÷òî limank = q .
Òàê êàê q > 1, òî íàéä¼òñÿ íîn→∞pnkìåð k0 , íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãîank > 1, òî åñòü äëÿ ñòðîãî âîçðàñòàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {nk }∞k=k0 íàòóðàëüíûõpnk÷èñåë èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîank > 1. Ïîýòîìó ñîãëàñ∞Píî òåîðåìå 2.5 ðÿäan ðàñõîäèòñÿ. Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.n=1Çäåñü, êàê è â ñëó÷àå ïðåäåëüíîé ôîðìû ïðèçíàêà Äàëàìáåðà, ïðè q = 1 ïðåäåëüíàÿ ôîðìà ïðèçíàêà Êîøè íåäà¼ò îòâåòà î ñõîäèìîñòè èëè ðàñõîäèìîñòè èññëåäóåìîãî∞Pðÿäàan .  êà÷åñòâå ïðèìåðà òàê æå, êàê è ðàíåå, ìîæíîn=1372. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäûðàññìîòðåòü ðÿäû âèäà (2.11) äëÿ ëþáîãî p ∈ (−∞, +∞),ppnnó êîòîðûõ ïðåäåë liman = 1 (à çíà÷èò è liman = 1).n→∞n→∞Îòìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè ïðè èññëåäîâàíèè ñõîäèìîñòèçíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà èëè ðàäèêàëüíîìó ïðèçíàêó Êîøè (â äîïðåäåëüíîé èëè ïðåäåëüíîé ôîðìàõ) äåëàåòñÿ âûâîä î ðàñõîäèìîñòè ðÿäà, òî äëÿýòîãî ðÿäà lim an 6= 0, òî åñòü íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìûén→∞ïðèçíàê ñõîäèìîñòè.
Ýòî çàìå÷àíèå, ïîäîáíî çàìå÷àíèþ íàñ. 15, íåîäíîêðàòíî áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì.Ìîæíî óñòàíîâèòü (ìû íå áóäåì ýòîãî äåëàòü), ÷òî ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè ñèëüíåå ïðèçíàêà Äàëàìáåðà, òîåñòü åñëè ñõîäèìîñòü (ðàñõîäèìîñòü) êàêîãî-òî çíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà ìîæíî óñòàíîâèòü ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà, òî ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü è ïî ðàäèêàëüíîìó ïðèçíàêó Êîøè.
Îäíàêî â ðÿäå ïðèìåðîâ ïðèìåíåíèåïðèçíàêà Äàëàìáåðà áûâàåò ïðîùå.2.4. Ñïåöèàëüíûé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ. Ïðèçíàêè Ðààáå, Êóììåðà è ÃàóññàÒ å î ð å ì à 2.6 (ñïåöèàëüíûé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ). Ïóñòüan > 0, bn > 0 è ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð n0 , ÷òîbn+1an+16anbnäëÿ âñåõ n > n0 .(2.21)Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.∞∞PP1. Åñëè ðÿäbn ñõîäèòñÿ, òî ðÿäan òàêæå ñõîäèòñÿ.2. Åñëè ðÿääèòñÿ.n=1∞Pn=1n=1an ðàñõîäèòñÿ, òî ðÿä∞Pn=1bn òàêæå ðàñõî-38I. ×èñëîâûå ðÿäûÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Âîçüì¼ì ëþáîå n > n0 è íàïèøåìíåðàâåíñòâî (2.21) äëÿ k = n0 , n0 + 1, n0 + 2, .
. . , n − 1:bn +1an0 +16 0 ,an0bn0bn +2an0 +26 0 ,an0 +1bn0 +1...............anbn6.an−1bn−1Ïåðåìíîæàÿ ýòè íåðàâåíñòâà, èìååìan 6an0· bn ,bn0(2.22)n > n0 .Íåðàâåíñòâî (2.22), ïîäîáíî íåðàâåíñòâó (2.16), âîîáùå ãîâîðÿ, âûâåäåíî ëèøü äëÿ çíà÷åíèé n > n0 , íî îíî òàêæåâåðíî è äëÿ n = n0 .∞∞XPan0·bn ñõîäèòÏóñòü ðÿäbn ñõîäèòñÿ. Òàê êàê ðÿäbn=1n=1 n0ñÿ (ñì. òåîðåìó 1.1), òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 2.2)∞Pðÿäan òîæå ñõîäèòñÿ.n=1Ïóñòü òåïåðü ðÿä∞Pan ðàñõîäèòñÿ.
Òàê æå, êàê ïðè äî-n=1êàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2.2, åñëè ðÿäòîëüêî ÷òî äîêàçàíî) ðÿäðå÷èå äîêàçûâàåò∞P∞Pbn ñõîäèòñÿ, òî (êàên=1an òîæå ñõîäèòñÿ. Ýòî ïðîòèâî-n=1óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà äîêàçàíà.∞PÒ å î ð å ì à 2.7 (ïðèçíàê Ðààáå). Äëÿ ðÿäàan , â êîòîâòîðîån=1ðîì an > 0, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.2. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäû391. Åñëè íàéäóòñÿ òàêîå ÷èñëî r > 1 è òàêîé íîìåð n0 ,÷òîan− 1 > r äëÿ âñåõ n > n0 ,(2.23)nan+1∞Pòî ðÿäan ñõîäèòñÿ.n=12.
Åñëè íàéä¼òñÿ íîìåð n0 òàêîé, ÷òîan− 1 6 1 äëÿ âñåõ n > n0 ,nan+1òî ðÿä∞P(2.24)an ðàñõîäèòñÿ.n=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Óñòàíîâèì ïåðâîå óòâåðæäåíèå.Èç íåðàâåíñòâà (2.23) ñëåäóåòanr(2.25)> 1 + , n > n0 .an+1np11+−1nÂîçüì¼ì p ∈ (1, r). Òàê êàê lim= p, òî ñî1n→∞nãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿíîìåð n1 , òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > n1 àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíàp1 1+−1n− p < ε, îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî äëÿðàçíîñòè 1nýòèõ n èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå äâîéíîå íåðàâåíñòâîp11+−1np−ε<< p + ε, n > n1 .(2.26)1n40I.
×èñëîâûå ðÿäûÂîçüì¼ì ε = r − p > 0. Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n1 , òàêîé,÷òî ñîãëàñíî âòîðîìó èç íåðàâåíñòâ (2.26) äëÿ âñåõ n > n1ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîp 11r1+− 1 < p + (r − p) · = ,nnnèëè, ÷òî êàê íåòðóäíî âèäåòü, âûðàæàåò òî æå ñàìîå,p1r(2.27)1+< 1 + , n > n1 .nnÈç (2.25) è (2.27) ñëåäóåò,÷òî äëÿ âñåõ n > n2 = max(n0 , n1 )pan1îòíîøåíèå> 1+, òî åñòüan+1np1pnan+1n+1= p , n > n2 .<(2.28)ann+11nÒàê êàê p > 1, òî ðÿä∞ pX1n=1nñõîäèòñÿ (ñì. (2.12)).
Ïî-∞Pýòîìó èç (2.28) âûòåêàåò, ÷òî ñîãëàñíî òåîðåìå 2.6 ðÿäann=1ñõîäèòñÿ.Óñòàíîâèì òåïåðü âòîðîå óòâåðæäåíèå. Èç (2.24) ñëåäóåò,an1÷òî ïðè n > n0 îòíîøåíèå6 1 + , òî åñòüan+1nan+1an1n>= n+1 ,1n+1nn > n0 .(2.29)412. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäû∞X1Íî ðÿäðàñõîäèòñÿ (ñì. (1.11) èëè (2.12)). Ïîýòîìónn=1∞Pèç (2.29) âûòåêàåò, ÷òî ñîãëàñíî òåîðåìå 2.6 ðÿäan ðàñn=1õîäèòñÿ. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñ ë å ä ñ ò â è å (ïðèçíàê Ðààáå â ïðåäåëüíîé ôîðìå). Åñëè an > 0 èanlim n− 1 = r,(2.30)n→∞an+1∞Pòî ïðè r > 1 ðÿäan ñõîäèòñÿ, à ïðè r < 1 ýòîò ðÿän=1ðàñõîäèòñÿ.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Åñëè r êîíå÷íîå ÷èñëî, òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿn0 , òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > n0 àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíàíîìåðn an − 1 − r < ε, òî åñòü èìååò ìåñòî äâîéíîå íåðàan+1âåíñòâîanr−ε<n− 1 < r + ε, n > n0 .(2.31)an+1Ïóñòü r > 1.
Åñëè r êîíå÷íîå ÷èñëî, òî âîçüì¼ì ε =r−1=> 0. Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî ñîãëàñíî2ïåðâîìó èç íåðàâåíñòâ (2.31) äëÿ âñåõ n > n0 èìååò ìåñòîanr+1r−1n== r1 > 1.−1 >r−an+122Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.7 ðÿäëè æå r = +∞, òî ðÿä∞Pn=1∞Pan ñõîäèòñÿ. Åñ-n=1an òàêæå ñõîäèòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî,42I. ×èñëîâûå ðÿäûâ ýòîì ñëó÷àå íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > n0ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîann−1 >2an+1è ïîýòîìó ðÿä∞Pan òàêæå ñõîäèòñÿ ïî òîé æå òåîðåìå 2.7.n=1Ïóñòü r < 1. Åñëè r êîíå÷íîå ÷èñëî, òî âîçüì¼ì ε == 1 − r > 0. Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî ñîãëàñíîâòîðîìó èç íåðàâåíñòâ (2.31) äëÿ âñåõ n > n0 èìååò ìåñòîíåðàâåíñòâîan− 1 < r + (1 − r) = 1.nan+1Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.7, ðÿäÅñëè æå r = −∞, òî ðÿä∞P∞Pan ðàñõîäèòñÿ.n=1an òàêæå ðàñõîäèòñÿ. Äåéñòâè-n=1òåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå íàéä¼òñÿ íîìåð n0 , òàêîé, ÷òî äëÿâñåõ n > n0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîan−1 61nan+1è ðÿä∞Pan òàêæå ðàñõîäèòñÿ ïî òåîðåìå 2.7.
Ñëåäñòâèån=1äîêàçàíî.anÎòìåòèì, ÷òî åñëè r = 1 èëè ïðåäåë lim n−1n→∞an+1íå ñóùåñòâóåò, òî äàííûé ïðèçíàê íå äà¼ò îòâåòà íà âîïðîñ∞Pî òîì, ñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ èññëåäóåìûé ðÿäan .n=12. Çíàêîïîëîæèòåëüíûå ðÿäû43 ÷àñòíîñòè, äëÿ âñåõ ðÿäîâ (2.14), êàê ñõîäÿùèõñÿ (ïðèp > 1), òàê è ðàñõîäÿùèõñÿ (ïðè p 6 1) èìååìan− 1 = 1.(2.32)lim nn→∞an+1Ñðàâíèâàÿ ïðåäåëüíûå ôîðìû ïðèçíàêîâ Äàëàìáåðà èÐààáå, ìû âèäèì, ÷òî ïðèçíàê Ðààáå ãîðàçäî ñèëüíåå ïðèan+1çíàêà Äàëàìáåðà.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè lim= q 6= 1,n→∞ anan1òî lim= Q = 6= 1 (ïðè ýòîì åñëè q = 0, òî Q = +∞,n→∞ an+1qan−1 ðàà åñëè q = +∞, òî Q = 0), è ïîýòîìó lim nn→∞an+1âåí +∞ ïðè q < 1 è −∞ ïðè q > 1. Òàêèì îáðàçîì, åñëèïðåäåëüíàÿ ôîðìà ïðèçíàêà Äàëàìáåðà äà¼ò îòâåò î ñõîäèìîñòè (ðàñõîäèìîñòè) èññëåäóåìîãî ðÿäà, òî ïðåäåëüíàÿôîðìà ïðèçíàêà Ðààáå è ïîäàâíî åãî äà¼ò: ìû ïîëó÷àåì,÷òî r = +∞ â ñëó÷àå ñõîäèìîñòè ñîãëàñíî ïðåäåëüíîé ôîðìå ïðèçíàêà Äàëàìáåðà è r = −∞ â ñëó÷àå ðàñõîäèìîñòè.Äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ r ∈ (−∞, 1) ∪ (1, +∞), ïðèçíàê Ðààáåäà¼ò îòâåò î ñõîäèìîñòè (ðàñõîäèìîñòè) ðÿäà, à ïðèçíàê Äàëàìáåðà îòâåòà íå äà¼ò, ïîòîìó ÷òî äëÿ ýòèõ r âåëè÷èíàq = 1.Ò å î ð å ì à 2.8 (ïðèçíàê Êóììåðà).
Ïóñòü ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {cn }∞n=1 òàêîâà, ÷òîcn > 0,∞X1= +∞,cn=1 n(2.33)∞X1òî åñòü çíàêîïîëîæèòåëüíûé ðÿäðàñõîäèòñÿ. Òîãäàcn=1 n44I. ×èñëîâûå ðÿäû∞Päëÿ ðÿäàan , â êîòîðîì an > 0, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèån=1óòâåðæäåíèÿ.1. Åñëè íàéäóòñÿ ÷èñëî d > 0 è íîìåð n0 òàêèå, ÷òîcn ·òî ðÿä∞Pan− cn+1 > d äëÿ âñåõ n > n0 ,an+1(2.34)an ñõîäèòñÿ.n=12. Åñëè íàéä¼òñÿ íîìåð n0 òàêîé, ÷òîcn ·òî ðÿä∞Pan− cn+1 6 0 äëÿ âñåõ n > n0 ,an+1(2.35)an ðàñõîäèòñÿ.n=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Óñòàíîâèì âíà÷àëå ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ íà ñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
