Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Íî òîãäà èç (7.30) âûòåêàåòeαk = −λ1λk+1λNλk−1eα1 −. . .−eαk−1 −eαk+1 −. . .−eα . (7.31)λkλkλkλk NÑ äðóãîé ñòîðîíû,eαk = 0 · e1 + · · · + 0 · eαk −1 + 1 · eαk + 0 · eαk +1 + . . . . (7.32)Ðàâåíñòâî (7.32) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ðàçëîæåíèå ýëåìåí∞òà eαk ∈ X â ðÿä ïî áàçèñó en n=1 . Ýòîò ðÿä, î÷åâèäíî,ñõîäèòñÿ ê eαk , òàê êàê åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû, íà÷èíàÿ ñíîìåðà αk , ñîâïàäàþò ñ eαk .
Îäíàêî ðàâåíñòâó (7.31) òîæåìîæíî ïðèäàòü âèä ðÿäà, ïðåäñòàâëÿþùåãî èç∞ ñåáÿ ðàçëîæåíèå ýëåìåíòà eαk ∈ X â ðÿä ïî áàçèñó en n=1 . Äëÿ ýòîãî ñëàãàåìûå â (7.31) íàäî çàïèñàòü â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ170III. Ðÿäû Ôóðüåèíäåêñîâ, à îòñóòñòâóþùèå áàçèñíûå ýëåìåíòû çàïèñàòü ñíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ýòîò ðÿä òàêæå ñõîäèòñÿ ê eαk ,òàê êàê åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà,à èìåííî ñ íîìåðà, ðàâíîãîmax{α1 , .
. . , αk−1 , αk+1 , . . . , αN },ñîâïàäàþò ñ eαk . Íî ðàçëîæåíèÿ (7.31) è (7.32) ðàçíûå , òàêêàê â (7.31) êîýôôèöèåíò ïðè eαk ðàâåí íóëþ, à â (7.32) åäèíèöå. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå (íååäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ). Òåîðåìà äîêàçàíà.7.4. Ïîëíûå ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå (áàíàõîâû) ïðîñòðàíñòâàÏðåæäå ÷åì ãîâîðèòü î ïîëíîòå ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà, ââåä¼ì õîðîøî èçâåñòíîå äëÿ ÷èñëîâûõïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïîíÿòèå ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ∞Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn n=1 â X íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé , åñëè äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿëþáûõ íîìåðîâ n > N , m > N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîkxn − xm k < ε.(7.33)Ò å î ð å ì à 7.5. Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â X ôóíäàìåíòàëüíà.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î .
Ïóñòü ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëü ∞íîñòü xn n=1 â X èìååò ñâîèì ïðåäåëîì ýëåìåíò x ∈ X, òîåñòü äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ ëþáîãîεíîìåðà n > N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî kxn − xk < . Íî2òîãäà äëÿ ëþáûõ íîìåðîâ n > N , m > N íîðìà ðàçíîñòè1717. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâàε εkxn −xm k = kxn −x+x−xm k 6 kxn −xk+kx−xm k < + = ε,2 2òî åñòü íåðàâåíñòâî (7.33) âûïîëíÿåòñÿ. Òåîðåìà äîêàçàíà.Äëÿ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, êàê ìû çíàåì, ôóíäàìåíòàëüíîñòü íåîáõîäèìà è äîñòàòî÷íà äëÿ ñõîäèìîñòè(êðèòåðèé Êîøè). Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X ïî òîëüêî ÷òî äîêàçàííîé òåîðåìå 7.5 èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûòåêàåò å¼ ôóíäàìåíòàëüíîñòü.
Îáðàòíîå, êàê ìû óâèäèì, âåðíî íå äëÿâñÿêîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïîýòîìó ââåä¼ì íîâîå ïîíÿòèå ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà.Ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿïîëíûì , åñëè â í¼ì ëþáàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëü ∞íîñòü xn n=1 ñõîäèòñÿ, òî åñòü ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíòx ∈ X, ÷òîlim xn = x,n→∞òî åñòülim kxn − xk = 0.n→∞Ï î ë í û å ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ òàêæå á à í à õ î â û ì è ïðîñòðàíñòâàìè.Ò å î ð å ì à 7.6. Ïðîñòðàíñòâî àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ l1 ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ðàññìîòðèìïðîèçâîëüíóþ ôóí (i) ∞äàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a i=1 â l1 (íîìåð ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òî åñòü i, ïèøåòñÿ íàâåðõó â ñêîáêàõ, òîãäà êàê íèæíèé èíäåêñ n áåç ñêîáîê íîìåð ñëàãàåìîãî â ðÿäå).
Ôóíäàìåíòàëüíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãîε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ ëþáûõ íîìåðîâ i > N ,j > N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîka(i)(j)− a k1 =∞Xn=1(j)|a(i)n − an | <ε.2(7.34)172III. Ðÿäû ÔóðüåÎòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ ëþáûõíîìåðîâ i > N , j > N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîε,2(j)|a(i)n − an | <n = 1, 2, . . . ,òî åñòüäëÿëþáîãî íàòóðàëüíîãî n ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëü(i) ∞íîñòü an i=1 ôóíäàìåíòàëüíà, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåòïðåäåën = 1, 2, . .
. .lim a(i)n = ãn ,i→∞Ðàññìîòðèì ðÿäã ≡∞Xãn .n=1Äîêàæåì, ÷òî ã ∈ l1 è ã = lim a(i) . Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðèi→∞j → ∞ â íåðàâåíñòâå (7.34) ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ ëþáîãî íîìåðà i > N èìååòìåñòî íåðàâåíñòâîka(i)− ãk1 =∞X|a(i)n − ãn | 6n=1Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ðÿä a(i) − ã =ε.2∞ P(i)an − ãn ñõîäèòñÿn=1(i)àáñîëþòíî, òî åñòü a − ã ∈ l1 , ñëåäîâàòåëüíî, ã = a −(i)− a − ã ∈ l1 è äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òîäëÿ ëþáîãî íîìåðà i > N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî ka(i)−ãk1 6ε< ε, òî åñòü ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim a(i) = ã.
Èòàê,62i→∞∞ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a(i) i=1 â l1 ñõîäèòñÿê ïðåäåëó ã ∈ l1 . Òåîðåìà äîêàçàíà.(i)1737. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâàÅñëè óñòàíîâèòü, ÷òî ìíîæåñòâà lp (p > 1), î êîòîðûõóïîìèíàåòñÿ íà ñ. 161, ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè íîðìèðîâàííûìè ïðîñòðàíñòâàìè, òî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ýòè ïðîñòðàíñòâà òàêæå ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè.Ò å î ð å ì à 7.7. Ïðîñòðàíñòâî C[a, b] íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ðàññìîòðèìôóí ïðîèçâîëüíóþ∞äàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn n=1 â C[a, b], òî åñòüòàêóþ ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüíåïðåðûâíûõ∞íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé fn (x) n=1 , ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ ëþáûõ íîìåðîâ n > N , m > Nèìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîkfn − fm kC = max |fn (x) − fm (x)| <x∈[a,b]ε.2(7.35)Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ ëþáûõ íîìåðîâ n > N , m > N è äëÿëþáîãî x ∈ [a, b] èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî|fn (x) − fm (x)| <ε,2∞òî åñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 5.2 (êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè).Ïîýòîìó îíà ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a, b] ê ôóíêöèè f (x), êîòîðàÿ â ñèëó òåîðåìû 5.12 íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b].
Èòàê,[a,b]fn (x) ⇒ f (x) ∈ C[a, b].Ïåðåõîäÿ â (7.35) ê ïðåäåëó ïðè m → ∞ è ïîëüçóÿñü íåïðåðûâíîñòüþ íîðìû (òðåòüå óòâåðæäåíèå òåîðåìû 7.3) ïîëó-174III. Ðÿäû Ôóðüå÷àåì, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿëþáîãî íîìåðà n > N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîkfn − f kC 6ε< ε,2 ∞òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn n=1 â C[a, b] ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó f ∈ C[a, b]. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñ ë å ä ñ ò â è å. Ïðîñòðàíñòâî C∗ [a, b] ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî C∗ [a, b] ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà C[a, b], ñëåäîâàòåëüíî, ïî òîëüêî ÷òî äîêàçàííîéòåîðåìå∞7.7 ëþáàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüfn (x) n=1 â C∗ [a, b] ñõîäèòñÿ (ïðè÷¼ì ðàâíîìåðíî) ê íåêîòîðîé ôóíêöèè f (x) ∈ C[a, b].
Ðàâåíñòâî f (b) = f (a) ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå. Ïîýòîìó f (x) ∈ C∗ [a, b].Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.7.5. Ñðàâíåíèå ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñõîäèìîñòèÎñòàëüíûå ðàññìîòðåííûå íàìè ïðèìåðû ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ, êàê ìû óâèäèì íèæå (ñì. ï. 7.6),ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðàìè íåïîëíûõ ïðîñòðàíñòâ. Íî ïðåæäå÷åì íà÷àòü èõ ðàññìàòðèâàòü, òî åñòü óêàçûâàòü ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íå ÿâëÿþùèåñÿ ñõîäÿùèìèñÿâ ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ, ñðàâíèì ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå âèäû ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íà îòðåçêå [a, b].Èòàê, ïóñòü èìååòñÿ ñõîäÿùàÿñÿ∞ íà [a, b] ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 .
 íàñòîÿùåì ïîñîáèèìû ðàññìàòðèâàëè ñëåäóþùèå âèäû å¼ ñõîäèìîñòè.7. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà1751. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü, ââåä¼ííàÿ íà ñ. 88 (ñì. (5.6)):[a,b]fn (x) ⇒ f (x).(7.36)Ýòà ñõîäèìîñòü åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ñõîäèìîñòü ïî íîð∗ìå ïðîñòðàíñòâ∞ C[a, b], C [a, b] èëè Q0 [a, b]. Äåéñòâèòåëüíî,ïóñòü fn (x) n=1 ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èëè âC[a, b], èëè â C∗ [a, b], èëè â Q0 [a, b] ê ôóíêöèè f (x) èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîñòðàíñòâà, òî åñòülim kfn − f kC = 0 èëèn→∞lim kfn − f kQ = 0.n→∞Òîãäà èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ (7.9),(7.10), (7.11) è ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè âûòåêàåò, ÷òî åñëè äëÿâñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ ëþáîãî íîìåðàn > N èìååò ìåñòî îäíî èç íåðàâåíñòâmax |fn (x) − f (x)| < ε èëèx∈[a,b]sup |fn (x) − f (x)| < ε.x∈[a,b]Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òîäëÿ ëþáîãî íîìåðà n > N è äëÿ âñåõ x ∈ [a, b] àáñîëþòíàÿâåëè÷èíà |fn (x)−f(x)| <ε.
À ýòî êàê ðàç è îçíà÷àåò, ÷òî ïî∞ñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 ðàâíîìåðíî íà [a, b] ñõîäèòñÿ êôóíêöèè f (x).2. Ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü, î êîòîðîé óïîìèíàåòñÿ íà ñ. 87(ñì. (5.3) è (5.4)):fn (x) → f (x) äëÿ âñåõ x ∈ [a, b].(7.37)Îòìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (7.36),êîòîðóþ, êàê ìû ñåé÷àñ âèäåëè, ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ñõîäèìîñòü ïî íîðìå íåêîòîðûõ ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ, ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü (7.37) íå ÿâëÿåòñÿ ñõîäèìîñòüþ ïî íîðìå êàêîãî áû òî íè áûëî ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïîñêîëüêó ýòîò ôàêò ìû èñïîëüçîâàòü íå áóäåì, òî è íå ñòàíåì åãî îáîñíîâûâàòü.176III. Ðÿäû Ôóðüå3.
Ñõîäèìîñòü â ñìûñëå Lp (p > 0). Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîìâ∞ñìûñëå Lp ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) n=1 íà îòðåçêå [a, b], åñëè(7.38)lim kfn − f kp = 0,n→∞èëè, ñîãëàñíî (7.15),limn→∞ Rbp|fn (x) − f (x)| dx p1= 0.aÒàêàÿ ñõîäèìîñòü, åñòåñòâåííî, ÿâëÿåòñÿ ñõîäèìîñòüþ ïîíîðìå ïðîñòðàíñòâ CLp [a, b], C∗ Lp [a, b] èëè Q0 Lp [a, b]. Ýòèïðîñòðàíñòâà óïîìÿíóòû íà ñ.
161, ãäå òàêæå ñêàçàíî, ÷òî âñëåäóþùåì ïàðàãðàôå áóäóò ââåäåíû ïðîñòðàíñòâà CL2[a,b],C∗ L2[a,b] è Q0 L2[a,b] (ñì. ïðîñòðàíñòâà (8.14) ñ íîðìîé (8.17)).Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïî êðàéíåé ìåðå ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëî pðàâíÿåòñÿ 1 èëè 2. Åñëè æå âñ¼-òàêè óñòàíîâèòü (õîòÿ ýòî èíå î÷åíü ïðîñòî), ÷òî ôîðìóëà (7.15) çàäà¼ò íîðìó â ýòèõïðîñòðàíñòâàõ ïðè âñåõ p > 1, à íå òîëüêî ïðè p = 1 èëèp = 2, òî ïîñëåäóþùèå âûêëàäêè ýòîãî ïóíêòà ñïðàâåäëèâûäëÿ óêàçàííûõ p.Âûÿñíèì, êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ýòè âèäû ñõîäèìîñòè.
Ìû óæå çíàåì, ÷òî èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè âûòåêàåò ïîòî÷å÷íàÿ (ï. 5.2, ñ. 88). Óñòàíîâèì, ÷òî èç ðàâíîìåðíîéñõîäèìîñòè âûòåêàåò ñõîäèìîñòü â ñìûñëå Lp . Äåéñòâèòåëü∞íî, ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) íà [a, b], òî åñòü äëÿëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > Nè äëÿ âñåõ x ∈ [a, b] àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |fn (x) − f (x)| <ε<1 .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ òåõ æå ñàìûõ íîìåðîâ2(b − a) p7. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà177εp(b − a) < εp ,p (b − a)2aòî åñòü kfn − f kp < ε. Ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (7.38), èç êîòîðîãî∞ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 ñõîäèòñÿ â ñìûñëå Lp ê ôóíêöèèf (x) íà [a, b].Èíûõ ñâÿçåé ìåæäó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòüþ (7.36), ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòüþ (7.37) è ñõîäèìîñòüþ (7.38) â ñìûñëå Lp íå èìååòñÿ , â ÷¼ì ìû ñåé÷àñ óáåäèìñÿ, ðàññìîòðåâïðèìåðû ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñõîäÿùèõñÿ ïîòî÷å÷íî, íî íå ÿâëÿþùèõñÿ ñõîäÿùèìèñÿ ðàâíîìåðíîè â ñìûñëå Lp ; à òàêæå ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñõîäÿùèõñÿ â ñìûñëå Lp , íî íå ÿâëÿþùèõñÿ ñõîäÿùèìèñÿ íè ðàâíîìåðíî, íè ïîòî÷å÷íî.Ðàññìîòðèì íà îòðåçêå [a, b] ≡ [0, 1] ôóíêöèîíàëüíóþ ïî∞ñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) n=1 :122n+1 x,0 6 x 6 n+1 ,211fn (x) = 22n+1 (1 − 2n )x, n+1 6 x 6 n ,2210,6 x 6 1.2nkfn − f kpp =Rb|fn (x) − f (x)|p dx 6178III.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
