Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Òåîðåìà 8.4 ãîâîðèò ëèøü î òîì, ÷òîåñëè ðÿä ïî îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå ñõîäèòñÿ ê x, òî ýòîîáÿçàòåëüíî ðÿä Ôóðüå ýëåìåíòà x ïî ýòîé ñèñòåìå. Ïîýòîìó âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: êîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ Eâ (8.44) èëè â (8.45) ìîæíî âìåñòî çíàêà ñîîòâåòñòâèÿ ïîñòàâèòü çíàê ðàâåíñòâà? Äðóãèìè ñëîâàìè, êàêèå óñëîâèÿ íàäîíàëîæèòü íà îðòîíîðìèðîâàííóþ (îðòîãîíàëüíóþ) ñèñòåìó,÷òîáû ðÿä Ôóðüå ëþáîãî ýëåìåíòà áûë ñõîäÿùèìñÿ ê ýòîìóñàìîìó ýëåìåíòó? Èëè, êîðî÷å, êîãäà îðòîíîðìèðîâàííàÿ(îðòîãîíàëüíàÿ) ñèñòåìà áóäåò îðòîíîðìèðîâàííûì (îðòîãîíàëüíûì) áàçèñîì åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà? Äëÿ îòâåòàíà ýòîò âîïðîñ ïðåäâàðèòåëüíî ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå.Ò å î ð å ì à 8.5ñâîéñòâî êîýôôèöèåíòîâ (ìèíèìàëüíîå∞Ôóðüå).
Ïóñòü en n=1 îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E, ýëåìåíò x ∈ E, à αk = (x, ek ), ãäå204III. Ðÿäû Ôóðüåk = 1, 2, . . . åãî êîýôôèöèåíòû Ôóðüå. Òîãäàëþáî äëÿnãî íàòóðàëüíîãî n è ëþáîãî íàáîðà n ÷èñåë βk k=1 èìååòìåñòî íåðàâåíñòâînnXX x −αk ek 6 x −βk ek ,k=1(8.46)k=1ïðè÷¼ì ýòî íåðàâåíñòâî ïåðåõîäèò â ðàâåíñòâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàβk = αk ,äëÿ âñåõ k = 1, 2, .
. . , n.(8.47)Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâàñêàëÿðíîãî∞ïðîèçâåäåíèÿ è òîò ôàêò, ÷òî ñèñòåìà en n=1 îðòîíîðìènnn2PPPβk ek = x− βk ek , x− βj ej =ðîâàííàÿ, èìååì x−k=1nPk=1nP= (x, x) −βk (ek , x) −nPβj (x, ej ) +k=1 j=1j=1k=1j=1nPβk βj (ek , ej ) =| {z }δkjnP= (x, x) −+nPβk α k −k=12|αk | −k=1nPnPαk βk +k=1nPk=1nP|βk |2 = kxk2 −nPnP|αk |2 +k=1αk βk −αk βk +|βk | , òî åñòük=1k=1{z}nP|αk − βk |22k=1|k=1nnnXXX222x −|αk − βk |2 .βk ek = kxk −|αk | +k=1k=1(8.48)k=1 ∞Òàê êàê ñèñòåìà en n=1 è ýëåìåíò x ∈ E çàäàíû, òî kxk2nP|αk |2è ñóììà êâàäðàòîâ ìîäóëåé êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüåk=1 níå çàâèñÿò îò íàáîðà n ÷èñåë βk.
Îò ýòèõ ÷èñåë çàk=1âèñèò ëèøü ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ðàâåíñòâå (8.48), à îíî2058. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâàïðèíèìàåò ñâî¼ ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ, òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ âñå n ðàâåíñòâ (8.47).Òåîðåìà äîêàçàíà.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 8.5 ïðîâåäåíî äëÿ ñëó÷àÿ êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà. Îäíàêî åñëè íå îáðàùàòü âíèìàíèÿ íà ÷åðòó êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ äîêàçàòåëüñòâî äëÿ âåùåñòâåííîãî ñëó÷àÿ.Åñëè â âûâåäåííîì ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 8.5 ðàâåíñòâå (8.48) ïîëîæèòüβk = αk ,k = 1, 2, . .
. , n,òî ïîëó÷èòñÿ ôîðìóëànnXX22x −|αk |2 ,αk ek = kxk −(8.49)k=1k=1íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé óêëîíåíèÿ . Îíà ïîêàçûâàåò, âåëè÷èíó ïîãðåøíîñòè (òî÷íåå, êâàäðàò ýòîé âåëè÷èíû), ñ êàêîén-ÿ ÷àñòíàÿ ñóììà ðÿäà∞ Ôóðüå ýëåìåíòà x ïî îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå en n=1 ïðèáëèæàåò ðàñêëàäûâàåìûé ýëåìåíò.Òàê êàê ëåâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû óêëîíåíèÿ (8.49) íåîòðèöàòåëüíà, òî îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò, ÷òînX|αk |2 6 kxk2äëÿ âñåõ n = 1, 2, . .
..(8.50)k=1Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò (ñì. òåîðåìó 2.1), ÷òî çíà∞Pêîïîëîæèòåëüíûé ÷èñëîâîé ðÿä|αk |2 ñõîäèòñÿ , ïðè÷¼ìk=1∞Xk=1|αk |2 6 kxk2 .(8.51)206III. Ðÿäû ÔóðüåÍåðàâåíñòâà (8.50) è (8.51) íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè Áåññåëÿ .  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íàì íå âàæåí âåðõíèé ïðåäåëñóììèðîâàíèÿ (êîíå÷íîå ÷èñëî n èëè ñèìâîë ∞), ýòè íåðàâåíñòâà áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå íåðàâåíñòâàX|αk |2 6 kxk2 ,(8.52)kêîòîðîå òàêæå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì Áåññåëÿ, íîïðè ýòîì èìåòü â âèäó, ÷òî èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ k ìîæåòìåíÿòüñÿ êàê â êîíå÷íûõ ïðåäåëàõ, òàê è äî áåñêîíå÷íîñòè.Îáùåå íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ (8.52) äëÿ ïðîèçâîëüíîéîðòîãî∞íàëüíîé (íå îáÿçàòåëüíî íîðìèðîâàííîé) ñèñòåìû gn n=1è äëÿ ëþáîãî x ∈ E, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü, èìååò âèä:X|ck |2 · kgk k2 =kX |(x, gk )|2kkgkk26 kxk2 ,(8.53)(x, gk ) êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíkgk k2 ∞òà x ïî ñèñòåìå gn n=1 (ñì.
(8.45)).Çàïèøåì òåïåðü îáùèé âèä ðÿäîâ Ôóðüå è íåðàâåíñòâàÁåññåëÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîé îðòîãîíàëüíîé è îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû â ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ôóíêöèîíàëüíûõåâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [a, b], C∗ L2 [a, b] è Q0 L2 [a, b].∞Ïóñòü ϕn (x) n=1 êàêàÿ-òî îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â îäíîì èç ýòèõ ïðîñòðàíñòâ, à f (x) ôóíêöèÿ òîãî æåïðîñòðàíñòâà. Ñëåäóÿ (8.44) èìååì, ÷òî ôóíêöèè f (x) ñòà∞âèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ϕn (x) n=1 :ãäå ck =f (x) ∼∞Xn=1αn ϕn (x),ãäå αn = (f, ϕn ) =Zbf (x) ϕn (x) dx,a2078.
Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâàà îáùåå íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ, êàê âèäíî èç (8.52), çàïèñûâàåòñÿ â âèäåbZb2XXZ|αk |2 = f (x) ϕk (x) dx 6 kf k22 = |f (x)|2 dx.kkaaÅñëèïðîèçâîëüíóþ îðòîãîíàëüíóþ ñè æå ðàññìîòðåòü∞ñòåìó ψn (x) n=1 , òî äëÿ íå¼ èç (8.45) è (8.53) ïîëó÷àåì, ÷òîðÿä Ôóðüå èìååò âèäRbf (x) ψn (x) dx∞X(f, ψn )a= b,f (x) ∼cn ψn (x), ãäå cn =Rkψn k22n=12|ψn (x)| dxaà íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ, ñîîòâåòñòâåííî,Rb2f(x)ψ(x)dxkXakRb|ψk (x)|2 dxZb6|f (x)|2 dx.aaÒ å îð åì à 8.6 (êðèòåðèè îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà).∞Ïóñòü en n=1 îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â åâêëèäîâîìïðîñòðàíñòâå E.
Òîãäà ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå òðè óòâåðæäåíèÿ. ∞1. Ñèñòåìà en n=1 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â E.2. Äëÿ âñÿêîãî x ∈ E ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∞P|(x, en )|2 = kxk2 ,n=1íàçûâàåìîå ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ . ∞3. Ñèñòåìà en n=1 çàìêíóòàÿ ñèñòåìà â E.(8.54)208III. Ðÿäû ÔóðüåÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Îíî áóäåò ïðîâåäåíî ïî ñõåìå:1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1. ∞Äîêàæåì 1 ⇒ 2. Òàê êàê en n=1 îðòîíîðìèðîâàííûéáàçèñ, òî ëþáîé x ∈ E åäèíñòâåííûì îáðàçîì ðàñêëàäûâà∞åòñÿ ïî áàçèñó en n=1 :x=∞X(8.55)αn en .n=1Ñîãëàñíî òåîðåìå 8.4 êîýôôèöèåíòû αn = (x, en ) äëÿ âñåõíàòóðàëüíûõ n, è ïîýòîìóx=∞X(8.56)(x, en )en .n=1Èñïîëüçóÿ ñ÷¼òíóþ äèñòðèáóòèâíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåP∞2äåíèÿ, èç (8.56) ïîëó÷àåì kxk = (x, x) =(x, en )en , x ==∞P(x, en )(en , x) =n=1∞Pn=1|(x, en )|2 , òî åñòü ðàâåíñòâî Ïàðñåâà-n=1ëÿ (8.54).Äîêàæåì 2 ⇒ 3.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå óêëîíåíèÿ (8.49),â êîòîðîé êîýôôèöèåíòû Ôóðüå αk = (x, ek ), è èñïîëüçóÿðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (8.54), èìååìnn2XX22αk ek = lim kxk −|αk | = 0.lim x −n→∞k=1n→∞k=1Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõn2Píîìåðîâ n > N ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî x−αk ek < ε2 ,k=12098. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâànPòî åñòü x −αk ek < ε. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòíûå ñóìk=1 ∞ìû ðÿäà Ôóðüå ïî ñèñòåìå en n=1 (à íå ïðîñòî êàêèå-òîëèíåéíûå êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ ýòîé ñèñòåìû) ïðèáëèæàþò ðàñêëàäûâàåìûé ýëåìåíòx ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè. ∞Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà en n=1 çàìêíóòà â E. ∞Äîêàæåì 3 ⇒ 1.
Òàê êàê ñèñòåìà en n=1 çàìêíóòà â E,òî ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî x ∈ E äëÿp ëþáîãî ε∞> 0íàéä¼òñÿ íàòóðàëüíîå p, ïîäñèñòåìà enj j=1 ⊂ en n=1 è píàáîð p ÷èñåë βnj j=1 , ÷òîpXβnj enj < ε.x −(8.57)j=1 pÎáîçíà÷èâ N = max{nj }, ðàñøèðèì ïîäñèñòåìó enj j=1 äîj N pïîäñèñòåìû ek k=1 , à íàáîð p ÷èñåë βnj j=1 äî íàáîðà N N÷èñåë βk k=1 , äîáàâèâ òóäà íóëè. Òîãäà ïîëó÷èì, ÷òî äëÿâñÿêîãî x ∈ E äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íàòóðàëüíîå N , N ∞ïîäñèñòåìà ek k=1 ⊂ en n=1 , ñîñòîÿùàÿ èç ïåðâûõ N ýëå ∞ Nìåíòîâ èñõîäíîé ñèñòåìû en n=1 , è íàáîð N ÷èñåë βk k=1 ,÷òîNXβk ek < ε.(8.58)x −k=1Íî òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 8.5 î ìèíèìàëüíîì ñâîéñòâå êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå èç (8.46) è (8.58) ñëåäóåò, ÷òîNN XX αk ek 6 x −βk ek < ε.x −k=1k=1(8.59)210III.
Ðÿäû ÔóðüåÏî ôîðìóëå óêëîíåíèÿ (8.49) ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòünno∞x − P αk ek ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé. Èòàê, ìû ïîëók=1n=1÷èëè, ÷òî äëÿ âñÿêîãî x ∈ E äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿíîìåð N òàêîé, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n > N íîðìà ðàçíîn∞PPñòè x −αk ek < ε, òî åñòü x =αk ek . Åäèíñòâåííîñòük=1k=1 ∞êîýôôèöèåíòîâ αk k=1 âûòåêàåò èç òåîðåìû 8.4. Ñëåäîâà ∞òåëüíî, îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà en n=1 ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì â E. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñ ë å ä ñ ò â è å (îáîáù¼ííîå ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ).
Ïóñòü ∞en n=1 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E. Òîãäà äëÿ ëþáûõ x ∈ E è y ∈ E ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∞X(x, en )(en , y).(x, y) =(8.60)n=1 ∞Òàê êàê en n=1 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ E, òî äëÿ ëþáîãî x ∈ E ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå (8.56). Èñïîëüçóÿ ñ÷¼òíóþ äèñòðèáóòèâíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, èç (8.56) ïîëó÷àåìÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.(x, y) =P∞(x, en )en , y =n=1∞P(x, en )(en , y),n=1òî åñòü îáîáù¼ííîå ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (8.60). Ñëåäñòâèåäîêàçàíî. ∞ßñíî, ÷òî äëÿ îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà gn n=1 åâêëèäîâàïðîñòðàíñòâà E òàêæå èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ èîáîáù¼ííîå ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ, ïðèíèìàþùèå âèä: äëÿ2118.
Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâàëþáûõ x ∈ E è y ∈ E, ïðåäñòàâëåííûõ â áàçèñåñâîèìè ðàçëîæåíèÿìèx=∞Xcn gn ,y=n=1∞X ∞gn n=1dn gn ,n=1ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:kxk2 =∞X|cn |2 kgn k2(8.61)cn dn kgn k2(8.62)n=1(ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ) è(x, y) =∞Xn=1(îáîáù¼ííîå ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ).Ò å îð åì à 8.7 (ïîëíîòà îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà).∞Ïóñòü en n=1 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â åâêëèäîâîìïðîñòðàíñòâå E. Åñëè ýëåìåíò x ∈ E îðòîãîíàëåí âñåì áàçèñíûì ýëåìåíòàì:x ⊥ en ,n = 1, 2, . . . ,(8.63)òî x = Θ.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ïóñòü x ∈ E óäîâëåòâîðÿåò (8.63).Ñîãëàñíî ðàâåíñòâó Ïàðñåâàëÿ (8.54) êâàäðàò íîðìû kxk2 =∞P=|(x, en )|2 = 0, òàê êàê (x, en ) = 0 äëÿ âñåõ n.
Íî òîãäàn=1èç ïîñëåäíåãî ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âûòåêàåò,÷òî x = Θ. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ðàçóìååòñÿ, ñâîéñòâîì ïîëíîòû îáëàäàþò íå òîëüêî îðòîíîðìèðîâàííûå, íî è ëþáûå îðòîãîíàëüíûå áàçèñû.212III. Ðÿäû Ôóðüå çàêëþ÷åíèå îòìåòèì îäíî âàæíîå ñâîéñòâî∞ ðÿäîâ Ôóðüå ïî îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñàì ϕn (x) n=1 ôóíêöèîíàëüíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ C L2 [a, b], C∗ L2 [a, b] èQ0 L2 [a, b]. Îíî ñ ïåðâîãî âçãëÿäà ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íåñêîëüêî ïðåæäåâðåìåííûì, òàê êàê ìû ïîêà åù¼ íå ðàñïîëàãàåì íè îäíèì ïðèìåðîì îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà ýòèõïðîñòðàíñòâ.
Îäíàêî, çàáåãàÿ âïåð¼ä, ñîîáùèì, ÷òî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå, ïîñâÿù¼ííîì òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäàì Ôóðüå, áóäåò óñòàíîâëåíî, ÷òî âñå îðòîíîðìèðîâàííûåòðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñèñòåìû, ïðèâåä¼ííûå çäåñü â ïðèìåðàõ, íà ñàìîì äåëå ÿâëÿþòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûìè áàçèñàìè (à îðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâåííî, îðòîãîíàëüíûìè áàçèñàìè).∞Èòàê, ïóñòü ϕn (x) n=1 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ êàêîãî-ëèáî ïðîñòðàíñòâà: CL2 [a, b], C∗ L2 [a, b] èëè Q0 L2 [a, b].Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ f (x) èç ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ðÿäà Ôóðüåf (x) =∞X(f, ϕn )ϕn (x),(8.64)n=1ñõîäÿùåãîñÿ ê f (x) â ñìûñëå L2 .
Äëÿ ëþáîãî t ∈ (a, b) ðàññìîòðèì ôóíêöèþ1, a < x < t;1gt (x) =, x = a, x = b, x = t;20, t < x < b.2138. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâàÑîãëàñíî îáîáù¼ííîìó ðàâåíñòâó Ïàðñåâàëÿ (8.60), ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå∞X(f, gt ) =(f, ϕn )(ϕn , gt ),n=1èëè, çàïèñûâàÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé â âèäå èíòåãðàëà,Zbf (x)gt (x) dx =Rbf (x)gt (x) dx =aRbZb(f, ϕn )n=1aÍî∞XRbϕn (x)gt (x) dx.af (x)gt (x) dx =aϕn (x)gt (x) dx =RtRtf (x) dx, àíàëîãè÷íîaϕn (x) dx.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
