Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ÏîýòîìóaaZtatZ∞Xf (x) dx =(f, ϕn ) ϕn (x) dx,n=1t ∈ (a, b).(8.65)aÑðàâíèâàÿ (8.64) è (8.65) ìû âèäèì, ÷òî ðÿä Ôóðüå ïî îðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó, ñõîäÿùèéñÿ ëèøü â ñìûñëå L2 ,ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü . Ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ ïîêðàéíåé ìåðå ïîòî÷å÷íî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä.Î÷åâèäíî, ÷òî ðÿä Ôóðüå ïî îðòîãîíàëüíîìó áàçèñó òàêæå ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü.8.5.
Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû1. Óñòàíîâèòü, ÷òî åñëè â êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ïåðâóþ àêñèîìó îñòàâèòü òàêîé æå, êàê è â214III. Ðÿäû Ôóðüåâåùåñòâåííîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà àêñèîì ñòàíåò ïðîòèâîðå÷èâîé.2. Èç ïåðâîé àêñèîìû êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà âûâåñòè, ÷òî äëÿ âñÿêîãî x ∈ E ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (x, x) âåùåñòâåííîå ÷èñëî.3.
Èç àêñèîì êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà âûâåñòè, ÷òî äëÿ ëþáûõ x ∈ E, y ∈ E è ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà α ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(x, αy) = α(x, y).(8.66)4. Èç àêñèîì åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà (êàê âåùåñòâåííîãî, òàê è êîìïëåêñíîãî) âûâåñòè, ÷òî äëÿ ëþáûõ òð¼õýëåìåíòîâ x ∈ E, y ∈ E, z ∈ E ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (8.5).5. Èç àêñèîì åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà âûâåñòè, ÷òî äëÿëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ E ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ(x, Θ) = (Θ, x) = 0,òî åñòü íóëåâîé ýëåìåíò îðòîãîíàëåí ëþáîìó ýëåìåíòóåâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.6. Äîêàçàòü òåîðåìó 8.1 (íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî) äëÿ âåùåñòâåííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.7. Óñòàíîâèòü, ÷òî åñëè â íåðàâåíñòâå ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî (8.7) äëÿ ïàðû ýëåìåíòîâ x ∈ E è y ∈ E ðåàëèçóåòñÿ ðàâåíñòâî , òî ýëåìåíòû x è y ëèíåéíî çàâèñèìûâ ïðîñòðàíñòâå E.8. Óñòàíîâèòü, ÷òî ôîðìóëà (8.12) çàäà¼ò íîðìó è â âåùåñòâåííîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.2158.
Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà9. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî l2 ÷èñëîâûõ ðÿ∞Päîâ a ≡an ñ êîìïëåêñíûìè ñëàãàåìûìè è òàêèõ,÷òî ðÿän=1∞P|an |2 ñõîäèòñÿ (ñì. ññ. 185186, çàäà÷è 7n=1è 8 ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà), ñòàíîâèòñÿ åâêëèäîâûìïðîñòðàíñòâîì, åñëè ââåñòè â í¼ì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïî ôîðìóëå:(a, b) ≡∞Xan b n .n=1Ïðè ýòîì íîðìà, ââåä¼ííàÿ ôîðìóëîé (7.42), ÿâëÿåòñÿíîðìîé, ñîãëàñîâàííîé ñ ýòèì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.10. Óñòàíîâèòü, ÷òî åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî l2 ÿâëÿåòñÿïîëíûì (òî åñòü ãèëüáåðòîâûì).11. Óñòàíîâèòü, ÷òî ñ÷¼òíàÿ äèñòðèáóòèâíîñòü ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿ (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 8.2) èìååò ìåñòî èïî ïåðâîìó ñîìíîæèòåëþ, òî÷íåå, äîêàçàòü, ÷òî åñëè∞Pðÿäxn â E ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, òî äëÿ âñÿêîãîn=1ýëåìåíòà y ∈ E ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∞Xn=1∞ X(xn , y).xn , y =n=1 ∞12.
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè xn n=1 ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿñèñòåìà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E, òî ôîðìóëûØìèäòà (8.25) äàþò âîçìîæíîñòüïîëó÷èòü îðòîíîð∞ìèðîâàííóþ ñèñòåìó en n=1 (à èìåííî: â ïðîöåññå âû-216III. Ðÿäû Ôóðüå÷èñëåíèé ∞ â çíàìåíàòåëå íèêîãäà íå áóäåò íóëÿ è ñèñòåìà en n=1 , â êîòîðîé en âûðàæàåòñÿ òîëüêî ÷åðåç x1 ,x2 , . .
. , xn , áóäåò îðòîãîíàëüíîé è íîðìèðîâàííîé).13. Ïîëó÷èòü ìíîãî÷ëåíû Ëåæàíäðà (ñì. ñ. 198) äî ìíîãî÷ëåíîâ ïÿòîé ñòåïåíè âêëþ÷èòåëüíî.14. Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû (8.27) è (8.28) è òåì ñàìûì óáåäèòüñÿ, ÷òî òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñèñòåìû (8.26) è (8.29)ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îðòîãîíàëüíîé è îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìàìè â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõCL2 [−π, π], C∗ L2 [−π, π] è Q0 L2 [−π, π].15. Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû (8.31) è (8.32) è òåì ñàìûì óáåäèòüñÿ, ÷òî ñèñòåìû êîñèíóñîâ (8.30) è (8.33) ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îðòîãîíàëüíîé è îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìàìè â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [0, π],C∗ L2 [0, π] è Q0 L2 [0, π].16.
Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû (8.35) è (8.36) è òåì ñàìûì óáåäèòüñÿ, ÷òî ñèñòåìû ñèíóñîâ (8.34) è (8.37) ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îðòîãîíàëüíîé è îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìàìè â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [0, π],C∗ L2 [0, π] è Q0 L2 [0, π].17. Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû (8.39) è (8.40) è òåì ñàìûì óáåäèòüñÿ, ÷òî ñèñòåìû ìíèìûõ ýêñïîíåíò (8.38) è (8.41)ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îðòîãîíàëüíîé è îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìàìè â êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõïðîñòðàíñòâàõ CL2 [−π, π], C∗ L2 [−π, π] è Q0 L2 [−π, π].18.
Óñòàíîâèòü, ÷òî òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìàn1, cosπnx o∞πnx, sin,ll n=1l=b−a2(8.67)2178. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâàÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé, à íîðìèðîâàííàÿñèñòåìà∞1πnx 1πnx1√ , √ cos, √ sin(8.68)ll2llln=1 îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [a, b], C∗ L2 [a, b] è Q0 L2 [a, b].19. Óñòàíîâèòü, ÷òî ñèñòåìà êîñèíóñîânπnx o∞cosl n=0ÿâëÿåòñÿ(8.69)ñèñòåìîé, à ñèñòåìà()∞rπnx12√ ,coslllîðòîãîíàëüíîé(8.70)n=1 îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [0, l], C∗ L2 [0, l] è Q0 L2 [0, l].20. Óñòàíîâèòü, ÷òî ñèñòåìà ñèíóñîân πnx o∞sinl n=1(8.71)ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé, à íîðìèðîâàííàÿñèñòåìà ñèíóñîâ(r)∞2πnxsin(8.72)lln=1 îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [0, l], C∗ L2 [0, l] è Q0 L2 [0, l].218III. Ðÿäû Ôóðüå21.
Óñòàíîâèòü, ÷òî ñèñòåìà ýêñïîíåíò ñ ìíèìûìè ïîêàçàòåëÿìèn πinx o+∞b−ae l(8.73), l=2n=−∞ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé, à ñèñòåìà1 πinx√ e l2l+∞(8.74)n=−∞ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé â êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [a, b], C∗ L2 [a, b] è Q0 L2 [a, b]. ∞22. Óñòàíîâèòü, ÷òî äëÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû gn n=1∞Pèìååò ìåñòî àíàëîã òåîðåìû 8.4: åñëè x =cn gn , òîn=1(x, gn ). Ýòî äà¼ò âîçìîæíîñòü ââåñòè ðÿäû Ôóðüåcn =kgn k2ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (8.45).23. Óñòàíîâèòü, ÷òî îáùååíåðàâåíñòâî Áåññåëÿ äëÿ îðòî ∞ãîíàëüíîé ñèñòåìû gn n=1 èìååò âèä (8.53).24.
Çàïèñàòü îáùåå íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ äëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñèñòåì â ñîîòâåòñòâóþùèõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. ∞25. Óñòàíîâèòü, ÷òî äëÿ îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà gn n=1ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ è îáîáù¼ííîå ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ èìåþò âèä (8.61) è (8.62) ñîîòâåòñòâåííî.26. Äîêàçàòü àíàëîã òåîðåìû ∞8.7 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà gn n=1 , òî åñòü óñòàíîâèòü, ÷òîåñëè ýëåìåíò x ⊥ gn äëÿ âñåõ n, òî ýòî ìîæåò áûòüòîëüêî íóëåâîé ýëåìåíò Θ.9. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå21927. Óñòàíîâèòü,ðÿä Ôóðüå ïî ëþáîìó îðòîãîíàëüíî ÷òî ∞ìó áàçèñó ψn (x) n=1 ïðîñòðàíñòâà CL2 [a, b], C∗ L2 [a, b]èëè Q0 L2 [a, b] ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü.9. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû ÔóðüåÇäåñü ìû áóäåì â îñíîâíîì ðàññìàòðèâàòü åâêëèäîâîïðîñòðàíñòâî Q0 L2 [−π, π] è îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó (8.26): ∞1, cos x, sin x, .
. . , cos nx, sin nx, . . . ≡ 1, cos nx, sin nx n=1â ýòîì ïðîñòðàíñòâå.9.1. Ïîíÿòèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäàè ðÿäà ÔóðüåÔóíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäà∞a0 X(an cos nx + bn sin nx)+2n=1(9.1)íàçûâàåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì.Ñòðîãî ãîâîðÿ, ðÿä (9.1) íàäî íàçûâàòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì íà îòðåçêå [−π, π] èëè õîòÿ áû íà îòðåçêå [a, b]äëèíû 2π (òî åñòü b − a = 2π ).
Îäíàêî ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîéçàìåíût=(a + b)π + (b − a)x(2t − a − b)π⇐⇒ x =2πb−a(9.2)îòðåçîê x ∈ [−π, π] âçàèìíî-îäíîçíà÷íî ïåðåõîäèò â îòðåçîêt ∈ [a, b]. Ïðè ýòîì ðàññìàòðèâàåìàÿ îðòîãîíàëüíàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà (8.26) çàìåíÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé220III.
Ðÿäû Ôóðüåòðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìîé (8.67), à èìåííî, ñèñòåìîé∞πntπnt1, cos, sin,ll n=1l=b−a.2Ýòî äà¼ò íàì âîçìîæíîñòü îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ðÿäîâ (9.1) ïî ñèñòåìå (8.26). Âïðî÷åì, ðÿäû ïî ñèñòåìå (8.67)áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ â êîíöå ýòîãî ïàðàãðàôà, â ï. 9.6.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðÿä (9.1) ðàâíîìåðíî íà [−π, π] ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé ôóíêöèè f (x):∞[−π,π]a0 X+(an cos nx + bn sin nx) ⇒ f (x).(9.3)2n=1Íî òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 5.17 åãî ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåRπãðèðîâàòü. Âû÷èñëÿÿf (x) dx è ó÷èòûâàÿ (8.27) èìååì−πZπf (x) dx = a0 π,1òî åñòü a0 =πZπf (x) dx.(9.4)−π−πÏåðåîáîçíà÷àÿ â (9.3) èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ áóêâîé k è óìíîæàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå íà cos nx äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n(óìíîæåíèå íà îãðàíè÷åííóþ ôóíêöèþ íå íàðóøàåò ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè), ïîëó÷àåì∞[−π,π]Xa0· cos nx +(ak cos kx + bk sin kx) cos nx ⇒ f (x) cos nx.2k=1Èíòåãðèðóÿ ïî÷ëåííî ïî ïåðåìåííîé x îò −π äî π ñ ó÷¼Rπòîì (8.27) è (8.28) íàõîäèì, ÷òîf (x) cos nx dx = an π ,−πòî åñòü1an =πZπf (x) cos nx dx,−πn = 1, 2, .
. . .(9.5)2219. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû ÔóðüåÑîâåðøåííî àíàëîãè÷íî (âìåñòî óìíîæåíèÿ íà cos nx óìíîæèì íà sin nx) ìîæíî ïîëó÷èòüZπ1bn =πf (x) sin nx dx,n = 1, 2, . . . .(9.6)−πÈòàê, ìû âèäèì, ÷òî èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà ê ôóíêöèè f (x) (ñì.
(9.3)) âûòåêàåò, ÷òîêîýôôèöèåíòû ýòîãî ðÿäà âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (9.4),(9.5) è (9.6).Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) ∈ Q0 L2 [−π, π]. Ïîñòàâèì åé â ñîîòâåòñòâèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä∞a0 X+(an cos nx + bn sin nx) ,(9.7)f (x) ∼2n=1 ∞ ∞êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî an n=0 è bn n=1 âû÷èñëåíû ïîôîðìóëàì1an =πZπf (x) cos nx dx, n = 0, 1, . . . ;−πbn =1π(9.8)Zπf (x) sin nx dx, n = 1, 2, . . .
.−πÐÿä â (9.7) íàçûâàåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìÔóðüå ∞ ðÿäîì∞ôóíêöèè f (x), à êîýôôèöèåíòû an n=0 è bn n=1 , âû÷èñëåííûå ïî ôîðìóëàì (9.8) å¼ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå .Èíîãäà êîýôôèöèåíòûf (x) ìû áóäåì∞ Ôóðüå ôóíêöèè∞îáîçíà÷àòü ÷åðåç an (f ) n=0 è bn (f ) n=1 .Ïîñëå ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå, åñòåñòâåííî, âîçíèêàþò ñëåäóþùèå âîïðîñû.222III. Ðÿäû Ôóðüå1. Ìîæíî ëè â (9.7) âìåñòî çíàêà ýêâèâàëåíòíîñòè ïîñòàâèòü çíàê ðàâåíñòâà õîòÿ áû â ñìûñëå L2 ? Äðóãèìè ñëîâàìè:áóäåò ëè ñèñòåìà (8.26) îðòîãîíàëüíûì (à ñèñòåìà (8.29) îðòîíîðìèðîâàííûì) áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå Q0 L2 [−π, π]?2.
Êàêèå óñëîâèÿ äîñòàòî÷íî íàëîæèòü íà ôóíêöèþ f (x),÷òîáû å¼ ðÿä Ôóðüå (9.7) ñõîäèëñÿ áû ê íåé ïîòî÷å÷íî ëèáîðàâíîìåðíî?9.2. Âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ.ßäðî ÄèðèõëåË å ì ì à 1. Ïóñòü ôóíêöèÿ Φ(x), îïðåäåë¼ííàÿ íà âñåé÷èñëîâîé îñè (−∞, +∞) è èíòåãðèðóåìàÿ íà ëþáîì îòðåçêå[a, b] ⊂ (−∞, +∞), ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîì T > 0,òî åñòüΦ(x + T ) = Φ(x) äëÿ âñåõ x ∈ (−∞, +∞).Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî c ∈ (−∞, +∞) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîTc+TZ2ZΦ(x) dx.Φ(x) dx =c− T2Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ïî− T2c+Tàääèòèâíîìó ñâîéñòâó èíòåTc+TRRR2Rãðàëà èìååìΦ(x) dx = Φ(x) dx+ Φ(x) dx+ Φ(x) dx =cc− T2T2= (â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå äåëàåì çàìåíó x = t + T ) =TT− T2RR2R2Rc= Φ(x) dx + Φ(x) dx + Φ(t) dt = Φ(x) dx. Ëåììà äîcêàçàíà.− T2− T2− T22239. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû ÔóðüåÈòàê, ìû âèäèì, ÷òî èíòåãðàë îò ïåðèîäè÷åñêîé èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè ïî îòðåçêó äëèíû ïåðèîäà íå çàâèñèòîò òîãî, ãäå ìû âîçüì¼ì ýòîò îòðåçîê.
Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ôóíêöèè, çàäàííûå íà îòðåçêå [a, b], áóäåì ñ÷èòàòü ïåðèîäè÷åñêè (ñ ïåðèîäîì T = b − a) ïðîäîëæåííûìè íà âñþ÷èñëîâóþ îñü è îñðåäí¼ííûìè â òî÷êàõ ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà. ßñíî, ÷òî ôóíêöèÿ f (x), íåïðåðûâíàÿ íà [a, b] è òàêàÿ,÷òî f (b) = f (a), ïîñëå òàêîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿñîõðàíÿåò íåïðåðûâíîñòü íà (−∞, +∞).Ë å ì ì à 2. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî l > 0 ôóíêöèÿ ϕ(x),èíòåãðèðóåìàÿ íà îòðåçêå [−l, l], ÿâëÿåòñÿ òàì ÷¼òíîé, òîåñòü ϕ(−x) = ϕ(x) äëÿ âñåõ x ∈ [−l, l].
ÒîãäàZlZlϕ(x) dx.ϕ(x) dx = 2−l0Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Rlãî èíòåãðàëà, ïîëó÷àåì−lÈñïîëüçóÿ ñâîéñòâà îïðåäåë¼ííîR0Rlϕ(x) dx = ϕ(x) dx + ϕ(x) dx =−l0=(â ïåðâîì èíòåãðàëå äåëàåì çàìåíó x = −t)= −R0ϕ(t) dt +lRlRl+ ϕ(x) dx = 2 ϕ(x) dx. Ëåììà äîêàçàíà.00Ë å ì ì à 3. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî l > 0 ôóíêöèÿ ϕ(x),èíòåãðèðóåìàÿ íà îòðåçêå [−l, l], ÿâëÿåòñÿ òàì íå÷¼òíîé, òîåñòü ϕ(−x) = −ϕ(x) äëÿ âñåõ x ∈ [−l, l].
ÒîãäàZlϕ(x) dx = 0.−l224III. Ðÿäû Ôóðüåýòîé ëåììû ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 2 è ïîýòîìó íå ïðèâîäèòñÿ .ÄîêàçàòåëüñòâîÂâåä¼ì òåïåðü ïîíÿòèå îñðåäí¼ííûõ êóñî÷íî-ãëàäêèõôóíêöèé.Ìíîæåñòâî Q10 [a, b] ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà îòðåçêå[a, b], íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì êóñî÷íî-ãëàäêèõ îñðåäí¼ííûõôóíêöèé , åñëè âñÿêàÿ ôóíêöèÿ f (x) èç ýòîãî ìíîæåñòâà âëþáîé òî÷êå îòðåçêà [a, b] (çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò,êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê), íåïðåðûâíà è èìååò íåïðåðûâíóþïðîèçâîäíóþ. Íà èñêëþ÷èòåëüíîì ìíîæåñòâå ôóíêöèè f (x)è f 0 (x) ìîãóò èìåòü ëèøü ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà. Ïðè ýòîìçíà÷åíèÿ ñàìîé ôóíêöèè f (x) â òî÷êàõ ðàçðûâà (â òîì ÷èñëå è â êîíöàõ îòðåçêà [a, b]) îñðåäíåíû ïî ôîðìóëàì (7.7).Ìíîæåñòâî Q10 [a, b] ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì(íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Q0 [a, b]), íî ìû íå áóäåì â í¼ì ââîäèòüíîðìó èëè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
