Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

. . .l0bn =2lZl0Ò å î ð å ì à 9.12.  åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Q0 L2 [a, b]îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà (8.73):n πinx o+∞b−ae l, l=2n=−∞ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì áàçèñîì , òî åñòü äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (x) ∈ Q0 L2 [a, b] èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîL2f (x) =+∞Xn=−∞cn eπinxl.254III. Ðÿäû Ôóðüå +∞Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå cn n=−∞ âû÷èñëÿþòñÿ ïîôîðìóëàìZbπinx1f (x)e− l dx.cn =2la9.7. Âîïðîñû äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû1. Ïîëó÷èòü èç (9.3) ôîðìóëû (9.6).2. Äîêàçàòü ëåììó 3 íà ñ. 223.3. Óñòàíîâèòü ðàâåíñòâî íóëþ ïðåäåëà (9.11).4.

Ïîëó÷èòü ñâîéñòâà (9.16) ÿäðà Äèðèõëå.5. Óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóëû (9.19).6. Óñòàíîâèòü ðàâåíñòâî (9.28).7. Óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóë (9.34).8. Ïîëó÷èòü âñå ñâîéñòâà (9.40) ÿäðà Ôåéåðà.9. Ïóñòü äëÿ ôóíêöèè f (x) ∈ C ∗ [−π, π] â íåêîòîðîé òî÷êåx0 ∈ [−π, π] å¼ ðÿä Ôóðüå ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó A. Äîêàçàòü, ÷òî A = f (x0 ).10.

Âûâåñòè ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (9.54).∞11. Äîêàçàòü áàçèñíîñòü ñèñòåìû ñèíóñîâ sin nx n=1 (òåîðåìà 9.8).∞12. Âûâåñòè ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ äëÿ ñèñòåì cos nx n=0∞è sin nx n=1 .9. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå255+∞13. Âûâåñòè ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ äëÿ ñèñòåìû einx n=−∞ .14. Äîêàçàòü òåîðåìû 9.10, 9.11, 9.12 è âûâåñòè äëÿ êàæäîãî îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà â íèõ ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ.ÏðèëîæåíèåÂàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèé258Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèéÈññëåäîâàòü çíàêîïîëîæèòåëüíûé ðÿä íà ñõîäèìîñòü.1.1.∞Xn=32.1.(ln ln n)ln n∞Xn2 + 1.n−1 + 12n=1n−1∞X111+.3.2n+1nn=1∞X1π4.sin .nnn=15.∞Xn=16.∞X2n − 1n=17.n.n2 −n5n+1.∞X1πcos .nnn=1∞Xπln 1 +8..nn=1∞X31ln 1 +9..nnn=1n−1∞ Xn+110..4n−1n=111.∞Xn=312.∞Xn=113.∞Xn=114.∞Xn=115.∞X1.(ln n)ln ln n1p.nnnsinπ.n1.n ln(n + 1)2n sinπ.3n3n sinπ.2nn=116.∞Xn=1∞X2ln n · ln 1 +17..nn=118.∞Xn=21.(ln n)ln n259Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèé19.∞Xln neln 1 +.nnn=1∞ pnXe−1.20.nn=121.∞Xen n!n=1nn∞X2n5n√n=12−1 .n=1∞Xn126.ln 1 +.lnnnn=2.27.∞Xn=1√22.25.∞Xpn+1.+128.∞Xn=1∞Xpnπ−123..ln2 nn=21∞ ln 1 +Xn24..2 + 1)ln(nn=129.∞Xn=230.∞Xn=2pnn−1p.nn+1pnn.2n − 1pnn−1.ln2 npn3−1.ln nÈññëåäîâàòü çíàêîïåðåìåííûé ðÿä íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü.2.∞Xn11.(−1) 1 +.nn=12.n∞X(−1)n−1 (n + 1)n=1n2 + n + 1.n21(−1) 1 −3..nn=1∞Xn4.∞X(−1)nn=2ln n.n21(−1) 1 +.5.nn=16.∞Xn∞Xnn=1(−1)n(−1)n1+.n260Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèé"#(−1)n7.ln 1 + p.32nn=2∞X8.∞X(−1)n nn=2ln n∞X.n29.(−1) √n .3n=1"#∞nX(−1).10.lnn 1 + p3nn=2n∞X211.(−1) ln 1 +.nn=1n∞X112.cos πn + 2 .2nn=1#(−1)n13.ln 1 + p.3nn=2∞X14.∞ Xn=1n2.− ln 1 +n216.sin πn + p .n nn=1(−1)nn=118.∞Xnln n.n2(−1)n=119.∞Xnlnn=220.∞Xnln21.∞Xn=1(−1)n1+nn2.(−1)n.1+nn=431−.n(−n)n.(2n − 1)n−1∞X322.(−1) ln 1 −.nn=4"n∞ X1 − 2n15..2+3nn=1∞X17.∞X23.∞X(−1)n nn=124.n5n − 2∞X(−1)n nn=2∞Xln2 n..(−1)nln 1 +25..nn=226.∞X(−1)n n√.3−1nn=2261Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèé∞X∞Xn129.(−1) 1 −.nn=1ln n27.(−1).nn=1nn∞ Xn28.−.n+1n=130.∞Xn"lnnn=2#(−1)n1+ p.3n2Íàéòè ìíîæåñòâà àáñîëþòíîé è óñëîâíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, òî÷íåå, âñþ ÷èñëîâóþ îñü (−∞, +∞) ðàçáèòü íà ÷åòûðå íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâà: ìíîæåñòâî, ãäå ðÿä íå îïðåäåë¼í ; ìíîæåñòâî, ãäå ðÿä ðàñõîäèòñÿ ; ìíîæåñòâî, ãäåðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ; è, íàêîíåö, ìíîæåñòâî,ãäå ðÿä ñõîäèòñÿ óñëîâíî .

Ïðè ýòîì íàäî ó÷åñòü,÷òî íåêîòîðûå èç ýòèõ ìíîæåñòâ ìîãóò áûòü ïóñòûìè .3.n211−∞Xn.1.nxn=12.∞Xn=13.4.26.nnxne(−1)n √.3+3nn=1∞Xnxn arcctg nn=11 + x2n(−1)n.∞X(n!)25.arctgn x.(2n)!n=17.∞Xn=18.9.∞Xn=110.√n nn2 + 2.(n2 + 1) xnshn x.en2(n − 1)3.(3n − 2n )x3nn∞X(1 − n)2 x 2n=1.√∞X(n!)2n=1chn x2n=1(n − 1) x√.3n2 + 1 (1 + xn )∞X∞X√n3.26211.Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèé∞X(−1)n xn=112.∞Xn=1√nxn − 1√∞Xx n21.(−1).n+lnnn=1.√n!.nx 222.∞Xn=1nxn1.arccos 1−1+x2nnn∞X1+x(−1)n.13.pn−1 1−xn=1 2∞X1 n n n23.x (2x − 1)n .n!en=1∞X3n14..nx3nn=1" p #n∞Xx n−x24..pnn=1n∞Xx(−1)n.25.n+lnn2x−1n=115.n∞X(−1)n x 2n=1.1 − xn√∞X(−1)n e−x16.pnn=1n.x n17.(−1).n2n=119.n∞Xn thn x√n=1∞X3n.∞X(−1)n n=1n27.∞Xn=128.x.πnx n3cos.n29.∞Xn=111+n−n2enx .(−1)n.(n + x2 ) ln(n + x4 )√2n(x + 1)n2 ln(n + 1)∞X(−1)nn=130.n∞Xn=1(−3)n sinn=120.n=1√∞X18.26.∞X(−1)nx2ntg.π.+ 1)2n (n(−1)n sin nx.(n + 2) ln(n + 1)263Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèéÈññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íàóêàçàííûõ ìíîæåñòâàõ ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä.4.√1.à) fn (x) =á)∞Xn=12.nx + 1 + cos nxp,nx2,x3 + n 2à) fn (x) =n 2 x2,1 + n2 x∞X(−1)n x√ ,á)x2 + n nn=13.4.5.

1à) fn (x) = n ln x +− ln x ,n∞Xxá),3x + n2n=1à) fn (x) = n(th nx − 1),∞Xxná),n+nxn=1á)n=16.x2x ∈ [0, +∞).x ∈ [0, +∞);x ∈ (0, +∞).x ∈ (1, +∞);x ∈ (0, +∞).x ∈ (0, +∞);x ∈ [0, 1).nx,n+xx ∈ [1, +∞);x√ ,+n nx ∈ (−∞, +∞).à) fn (x) =∞Xx ∈ (−∞, +∞);1à) fn (x) = n tg x − tg x −,nπx ∈ 0,;2264Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèéá)∞X(−1)n√ −nxxe ,x ∈ (0, +∞).n=17.1à) fn (x) = n arcctg x+−arcctg x , x ∈ (0, +∞);ná)∞X2x ∈ [0, +∞).n + x,x ∈ (0, +∞);x2 e−nx ,n=18.à) fn (x) =á)√n∞X(−1)n x2n=1x3 + n2,r9.à) fn (x) =á)∞X(−1)n xnn=110.x+xn + nx ∈ [0, +∞).(−1)n,n, 1à) fn (x) = n ln x + 2 − ln x ,ná)∞X2x3 e−nx ,x ∈ [1, +∞);x ∈ [0, 1].x ∈ (0, 1);x ∈ [0, +∞).n=111.n(−1)n,à) fn (x) = x +n∞X√x ∈ (−1, 1);x e−nx ,x ∈ (0, +∞).1à) fn (x) = tg x −,nπx ∈ 0,;2á)n=112.265Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèéá)∞Xn=113.tgx22x,+ n3x ∈ (−∞, +∞).1,à) fn (x) = ctg x +ná)∞X2(−1)n x2 e−nx ,πx ∈ 0,;2x ∈ [0, +∞).n=114.(−1)nà) fn (x) = sin x +,n∞X(−1)n xn√á),n3n + xnn=115.16.(−1)n,à) fn (x) = cos x +n∞Xsin nx(−1)n √ ,nn=12à) fn (x) = e−(x+n) ,á)∞Xn=117.xn√,n2n + xn 122− ln x ,à) fn (x) = n ln x +ná)∞Xn=118.x ∈ (−1, 1).á)x ∈ (−∞, +∞);xn,xn + (−1)nx nà) fn (x) = 1 −,nx ∈ (−∞, +∞);x ∈ [−π, π].x ∈ (−∞, +∞);x ∈ (−1, 1).x ∈ [1, +∞);x ∈ (−1, 0).x ∈ (−∞, +∞);266Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèéá)∞X(−1)n tgn=119.à) fn (x) =á)∞X√nx22x,+ n3x ∈ (−∞, +∞).nx,x ∈ (0, +∞);2(−1)n x e−nx ,x ∈ [0, +∞).n=120.1à) fn (x) = n arcsin x − arcsin x −,ná)∞Xn(−1)n n2 x 1 − x2 ,x ∈ (0, 1);x ∈ [0, 1].n=121.à) fn (x) = ná)∞X√nln x − 1 ,xn (xn + 1),x ∈ (2, +∞);x ∈ (−1, 1).n=1r22.23.1,nn∞ X(−1)ná)x+,nn=1à) fn (x) =xn +rnp(−1)− x ,à) fn (x) = n x +ná)∞Xn=124.n(−1)n sinx,n 1à) fn (x) = n ctg x +− ctg x ,nx ∈ [0, +∞);x ∈ (−1, 1).x ∈ (1, +∞);x ∈ (−∞, +∞).πx ∈ 0,;2267Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèé∞Xn(−1)ná)(−1) x +,nn=125.à) fn (x) = cosá)∞Xx ∈ (−1, 1).nnx + 1,n2x ∈ (−∞, +∞);(−1)n e−|x−n| ,x ∈ (−∞, +∞).n=126.à) fn (x) = siná)∞Xnx2 + 1,n2r(−1)n 1 −nn=11xn +nx ∈ (−∞, +∞);!,!p1x+ 2 − x ,nx ∈ (0, 1).r27.à) fn (x) = ná)∞X2(−1)n e−(x−n) ,x ∈ [0, +∞);x ∈ (−∞, +∞).n=128.29.30.

1à) fn (x) = n ln x + 2 − ln x ,n∞X1n,á)(−1) tg x − tg x −nn=1x ∈ (1, +∞); π.x ∈ 0,21à) fn (x) = n arctg x +− arctg x , x ∈ (0, +∞);n∞n2Xn x(−1),x ∈ (−1, 1).á)nn=1n x+ (−1)xnà) fn (x) = ne− e ,x ∈ (−1, 1);268Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèé∞X(−1)n xá),2 )n(1+xn=1x ∈ (−∞, +∞).Íàéòè ðàäèóñ è èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà. Èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå ñòåïåííîãî ðÿäà íàêîíöàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.5.∞Xn!1.(x + 3)3n+1 .nnn=12.∞Xn=13.4.2n−n2nn=1(x−1)3n .2∞X(x − 2)2n +13n n3n−1.(x − 2). 10.3n ln(n + 1)4n2 − 1n=1∞X(2n)!n=19.∞ nX3(n!)2(x + 1)2n−1.11.∞Xn=1∞X(x + 2)2n+1√2n+1 en=1n.12.s32n (n!)2(x + 1)2n.(2n + 1)!∞X2n (x + 2)3n−2n=1nln n.2∞ ∞XX(2n−1)!!π2n5.(x+2).tg n · (x − 1)3n+1 .13.n (2n)!!23n=1n=1∞−n2∞ XX5n +(−3)n1p(x − 3)3n.

14.6.1+(x − 1)3n.nnn=1n=17.∞ Xn=18.∞Xn=111−nsn2n3∞ X1(x − 2)2n . 15.(x − 3)2n−1 .cosnn=1∞ nX2n (2n)!!32n2n(x+3) . 16.− 2 (x + 1)5n−2 .(2n+1)!!nnn=1269Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèé3∞∞ XXln(n!)(2n−1)!!5n−1p (x + 2). 24.17.(x+3)3n.n (2n)!!n3nn=1 2 nn=118.19.∞X(x + 1)4n+1√.n22n+1n=1∞X(x − 3)2n−1n=120.∞Xn=121.∞Xn=13n (2n − 1).n2∞ X125.1−(x + 1)5n+2.2nn=126.∞Xshn=12nn −1(x + 1).en n ln(n + 2)27.∞ Xn=13n−1(x + 3).n ln3 (n + 1)3n28.∞X1· (x + 1)5n−1 .en2cosnn3(x − 2)3n .3n−ln n (x + 1)4n .n=1n∞ Xn−1∞X22.(x − 1)4n.[2 + (−1)n ]n4n+1(x − 3)3n.29.n=1nln(n+1)n=1∞3n−1X(x − 2)∞X23..(x − 2)n!1.30.2nn=1 2 ln sinnn + ln nn=1n6. Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x) â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 â ðÿä Òåéëîðà è óêàçàòü ìíîæåñòâî, ãäå ïîëó÷åííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x).1.

f (x) =x21,− 5x + 6x0 = 0.√Zx2. f (x) = sin t3 dt,0x0 = 0.270Âàðèàíòû äîìàøíèõ çàäàíèé3. f (x) = cos4 x,√4. f (x) = ch2 x,x0 =0.x0 =0.5. f (x) = arcctg 2x,√6. f (x) = ln x + x2 + 2 ,√7. f (x) = cos2 x,x0 =0.x0 =0.x0 =0.8. f (x) = ch3 x,x0 =0.x0 =0.10. f (x) = ln(x + 2),x0 =2.x,2x0 =0.x0 =0.x0 =1.x0 =1.49. f (x) = 6−2x ,11. f (x) = arccos12. f (x) = sin4 x,13.

Характеристики

Список файлов лекций