Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 28
Текст из файла (страница 28)
. , m;∆ = min ∆xk .kÎïðåäåëèì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ñëåäóþùåå ÷èñëîδ = min∆ε2,2 32m(M 2 + 1)> 0.(9.48)244III. Ðÿäû ÔóðüåÒåïåðü óñòàíîâèì çàìêíóòîñòü îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû (8.29) â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Q0 L2 [−π, π]. Äëÿ ýòîãîðàññìîòðèì ôóíêöèþ(x − xk )f (xk + δ) + (xk + δ − x)f (xk ),δx ∈ (xk , xk + δ), k = 0, 1, .
. . , m − 1;(9.49)f ∗ (x) = (x − xk + δ)f (xk ) + (xk − x)f (xk − δ),δx∈(x−δ,x),k = 1, 2, . . . , m;kkf (x) â îñòàëüíûõ òî÷êàõ [−π, π].Òàê êàê â òåõ òî÷êàõ, ãäå f ∗ (x) 6= f (x), ôóíêöèÿ f ∗ (x) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé, à ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ äîñòèãàåòñâîåãî ýêñòðåìóìà íà êîíöàõ ïðîìåæóòêà, òî èç (9.47) ñëåäóåò, ÷òî|f ∗ (x)| 6 Mäëÿ âñåõ x ∈ [−π, π].(9.50)Ôóíêöèÿ f ∗ (x), ñîãëàñíî å¼ îïðåäåëåíèþ, íåïðåðûâíà íà[−π, π], è f ∗ (−π) = f ∗ (π), ñëåäîâàòåëüíî,f ∗ (x) ∈ C∗ L2 [−π, π] ⊂ Q0 L2 [−π, π].2459. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû ÔóðüåÎöåíèì, íàñêîëüêî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ôóíêöèè f (x)è f ∗ (x) ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà Q0 L2 [−π, π]. Ó÷èòûâàÿ îãðàíè÷åííîñòü îáåèõ ôóíêöèé è îïðåäåëåíèå ÷èñëà δ , èìååì:xk +δZπm−1X Z∗ 2∗2kf − f k2 = |f (x) − f (x)| dx =|f (x) − f ∗ (x)|2 dx +−π+mXZxkk=0 xk|f (x) − f ∗ (x)|2 dx 6 4M 2 · δ · m · 2 6k=1 x −δk2<8M 2 mε2<32m(M 2 + 1)ε, òî åñòü4ε.(9.51)2Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ôóíêöèÿ f ∗ (x) ∈ C∗ L2 [−π, π].
Ïîýòîìóñîãëàñíî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû 9.6 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0íàéä¼òñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí Tn (x) òàêîé, ÷òîkf − f ∗ k2 <kf ∗ − Tn k2 <ε.2(9.52)Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà è íåðàâåíñòâà (9.51)è (9.52), çàêëþ÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (x) èç åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà Q0 L2 [−π, π] äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0íàéä¼òñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí Tn (x), òî åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýëåìåíòîâ îðòîíîðìèðîâàííîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû (8.29), ÷òîkf − Tn k2 6 kf − f ∗ k2 + kf ∗ − Tn k2 <ε ε+ = ε.2 2Èòàê, îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà (8.29) ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Q0 L2 [−π, π]. Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå 8.6, ñèñòåìà (8.29) îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Q0 L2 [−π, π].
Òåîðåìà äîêàçàíà.246III. Ðÿäû ÔóðüåÑ ë å ä ñ ò â è å. Îðòîãîíàëüíàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà (8.26):∞1, cos nx, sin nx n=1ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì áàçèñîì åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâàQ0 L2 [−π, π], òî åñòü äëÿ ëþáîéf (x) ∈ Q0 L2 [−π, π] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∞Lf (x) =2a0 X+an cos nx + bn sin nx .2n=1(9.53) ∞ ∞Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå an n=0 è bn n=1 âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (9.8).Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ïðè íîðìèðîâàíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû (8.26) ïîëó÷àåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà (8.29), à ýòà ñèñòåìà, ñîãëàñíî òåîðåìå 9.7, ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûìáàçèñîì ïðîñòðàíñòâà Q0 L2 [−π, π].
Ïîýòîìó ñèñòåìà (8.26)ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì áàçèñîìïðîñòðàíñòâàQ0 L2 [−π, π].∞ ∞Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå an n=0 è bn n=1 âû÷èñëÿþòñÿ ïîôîðìóëàì (9.8) â ñèëó åäèíñòâåííîñòè êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå. Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.Èñïîëüçóÿ ñîîáðàæåíèÿ, âûñêàçàííûå íà ññ. 212213 ïîîòíîøåíèþ ê îðòîãîíàëüíûì è îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñàì â ôóíêöèîíàëüíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ, ìîæíîïîëó÷èòü ñ ë å ä ñ ò â è å èç òåîðåìû 9.7, îòíîñÿùååñÿ ê ïî÷ëåííîé èíòåãðèðóåìîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ Ôóðüå.Ñ ë å ä ñ ò â è å. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ôóíêöèèf (x) ∈ Q0 L2 [−π, π] ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü . Ïðèýòîì ïîëó÷àåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå ïîòî÷å÷íî ñõîäÿùèéñÿðÿä.2479. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå òåîðåìå 8.6 î êðèòåðèÿõ îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñàðå÷ü èä¼ò îá ýêâèâàëåíòíîñòè ò ð ¼ õ óòâåðæäåíèé.
Ïîýòîìó,çíàÿ íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ äëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñèñòåì(ñì. çàäà÷ó 24 èç 8 íà ñ. 218) ìîæíî âûâåñòè åù¼ îäíîñëåäñòâèå.Ñ ë å ä ñ ò â è å. Äëÿ âñÿêîé∞ ôóíêöèè ∞ f (x) ∈ Q0 L2 [−π, π],êîýôôèöèåíòû Ôóðüå an n=0 è bn n=1 êîòîðîé âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (9.8), ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ :∞ 1|a0 |2 X+|an |2 + |bn |2 =2πn=1Zπ|f (x)|2 dx.(9.54)−πÒ å î ð å ì à 9.8. Îðòîãîíàëüíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñèñòåìû (8.30) è (8.34), à èìåííî∞∞cos nx n=0 è sin nx n=1ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè áàçèñàìè åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà Q0 L2 [0, π], òî åñòü äëÿ ëþáîé f (x) ∈ Q0 L2 [0, π] èìåþòìåñòî ðàâåíñòâà∞a0 P+an cos nx;2n=1∞PLf (x) =2bn sin nx.Lf (x) =2n=1 ∞ ∞Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå an n=0 è bn n=1 ýòèõ ðÿäîâ âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì2an =πZπf (x) cos nx dx, n = 0, 1, .
. . ;0bn =2πZπf (x) sin nx dx, n = 1, 2, . . . .0248III. Ðÿäû ÔóðüåÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.∞äëÿ ñèñòåìû cos nx n=0 .ðèì ôóíêöèþ:Âíà÷àëå óñòàíîâèì ýòó òåîðåìóÏóñòü f (x) ∈ Q0 L2 [0, π]. Ðàññìîò-f (x),0 < x < π;f (−x),−π < x < 0;F (x) =f (0 + 0),x = 0;f (π − 0),x = ±π.(9.55)Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ââåä¼ííàÿ ôóíêöèÿ F (x) ∈ Q0 L2 [−π, π],ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíîé íà [−π, π] è, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (9.55), íàîòðåçêå [0, π] îòëè÷àåòñÿ îò ôóíêöèèf (x) íåáîëåå, ÷åì â∞äâóõ òî÷êàõ. Òàê êàê ñèñòåìà 1, cos nx, sin nx n=1 ÿâëÿåòñÿîðòîãîíàëüíûì áàçèñîì â Q0 L2 [−π, π], òî∞a0 X+an cos nx + bn sin nx ,F (x) =2n=1L2èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,"#2Zπ n a0 Xlim+ak cos kx+bk sin kx dx = 0.F (x)−n→∞2−π(9.56)k=1 Íàéä¼ì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ak è bk ÷¼òíîé ôóíêöèè F (x).
Ñîãëàñíî ëåììàì 2 è 3 èç (9.55) èìååì, ÷òî êîýôZπZπ21F (x) cos kx dx =F (x) cos kx dx =ôèöèåíòû ak =ππ−π=2πZπ00f (x) cos kx dx äëÿ âñåõ k = 0, 1, 2, . . ., à êîýôôèöèåíòû2499. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå1bk =πZπF (x) sin kx dx = 0 äëÿ âñåõ k = 1, 2, . . ., òî åñòü−π2ak =πZπf (x) cos kx dx, k = 0, 1, 2, . . . ;0bk = 0,k=(9.57)1, 2, . . .
.Èç (9.55), (9.56) è (9.57) ñëåäóåò, ÷òî!2Zπ na0 Xak cos kx dx =0 = lim+F (x) −n→∞20Zπ = limf (x) −n→∞0k=1!2na0 Xak cos kx dx.+2k=1Ïîñëåäíååîçíà÷àåò, ÷òî îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåñîîòíîøåíèå∞ìà cos nx n=0 çàìêíóòà â ïðîñòðàíñòâå Q0 L2 [0, π] è, ñòàëîáûòü, ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûìáàçèñîìýòîãî ïðîñòðàíñòâà.∞Äëÿ ñèñòåìû ñèíóñîâ sin nx n=1 äîêàçàòåëüñòâî ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íîå. Íàäî ëèøü äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèèf (x) ∈ Q0 L2 [0, π] ðàññìîòðåòü íå ôóíêöèþ (9.55), ÿâëÿþùóþñÿ å¼ ÷¼òíûì ïðîäîëæåíèåì, à íå÷¼òíîå ïðîäîëæåíèåôóíêöèè f (x):0 < x < π; f (x),F (x) = −f (−x), −π < x < 0;0,x = 0, ±π.Òåîðåìà äîêàçàíà.Ò å î ð å ì à 9.9.
Îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà ýêñïîíåíò ñ ìíèìûìè ïîêàçàòåëÿìè (8.38): inx +∞en=−∞250III. Ðÿäû Ôóðüåÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì áàçèñîì åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâàQ0 L2 [−π, π], òî åñòü äëÿ ëþáîéf (x) ∈ Q0 L2 [−π, π] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî+∞XLf (x) =2cn einx .(9.58)n=−∞ +∞Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå cn n=−∞ âû÷èñëÿþòñÿ ïîôîðìóëàì:Zπ1f (x)e−inx dx.(9.59)cn =2π−πÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Âíà÷àëå ñîîáùèì, êàê âû÷èñëÿ+∞Pþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûå ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäàcn . Íàn=−∞÷àëüíîé ñóììîé ÿâëÿåòñÿ ñëàãàåìîå c0 , ñëåäóþùåé ñóììîéc0 + c1 , çàòåì c0 + c1 + c−1 , c0 + c1 + c−1 + c2 , c0 + c1 ++c−1 + c2 + c−2 è òàê äàëåå.
Îäíàêî äëÿ ðÿäà ïî ýêñïîíåíòàì ñ ìíèìûìè ïîêàçàòåëÿìè (9.58) ïîñòóïàþò íåñêîëüêîïî-äðóãîìó: íà÷àëüíîé ñóììîé ÿâëÿåòñÿ ñëàãàåìîå c0 , ñëåäóþùåé ñóììîé ñðàçó c0 + c1 eix + c−1 e−ix , çàòåì c0 + c1 eix ++c−1 e−ix + c2 e2ix + c−2 e−2ix è òàê äî áåñêîíå÷íîñòè.Ïðèñòóïèì òåïåðü íåïîñðåäñòâåííî ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 9.9.
Ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (9.53), ïîëó÷åííîìó ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñëåäñòâèÿ î áàçèñíîñòè îðòîãîíàëüíîéòðèãî∞íîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû 1, cos nx, sin nx n=1 , èìååì#2"Zπ n a0 Xak cos kx+bk sin kx dx = 0. (9.60)+limf (x)−n→∞2−πk=1Ïîäñòàâëÿÿ ôîðìóëû Ýéëåðàeikx + e−ikxcos kx =,2eikx − e−ikxsin kx =2i(9.61)2519. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüåâ (9.60) è ïðåîáðàçóÿ ðåçóëüòàò, ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðåäåë(" #)2Zπ nbk eikx −e−ikxa0 X ak eikx +e−ikx++lim f(x)− dx = 0,n→∞ 222ik=1−πèëè, ïîñëå íåêîòîðîé ïåðåãðóïïèðîâêè ñëàãàåìûõ,2Zπ nXikx limf(x)−ce dx = 0,kn→∞−π(9.62)k=−nãäåa0ak ∓ ibk, c±k =, k = 1, 2, .
. . , n.(9.63)22 inx +∞Èç (9.62) ñëåäóåò, ÷òî îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà eçàn=−∞ìêíóòà â ïðîñòðàíñòâå Q0 L2 [−π, π] è, ñòàëî áûòü, ÿâëÿåòñÿîðòîãîíàëüíûì áàçèñîì ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Äàëåå, èç ôîðìóë äëÿ êîýôôèöèåíòîâ (9.8), ôîðìóë Ýéëåðà (9.61), ïðî÷èòàííûõ êàêc0 =e±ikx = cos kx ± i sin kx,a0è (9.63) âûòåêàþò ôîðìóëû (9.59). Äåéñòâèòåëüíî, c0 = =2Zπ1ak − ibkf (x) dx, äëÿ k ïîëîæèòåëüíûõ ck ===2π2−πZπZπ11f (x)(cos kx − i sin kx)dx =f (x)e−ikx dx,=2π2π−π−πäëÿ k îòðèöàòåëüíûõ àíàëîãè÷íî. Òåîðåìà äîêàçàíà.9.6. Ðÿäû Ôóðüå íà ïðîèçâîëüíîì îòðåçêå ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì ðÿäû Ôóðüå ïî îðòîãîíàëüíûì òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ñèñòåìàì è ñèñòåìàì ýêñ-252III. Ðÿäû Ôóðüåïîíåíò c ìíèìûìè ïîêàçàòåëÿìè íà ïðîèçâîëüíîì îòðåçêå [a, b], à òàêæå ðÿäû Ôóðüå òîëüêî ïî ñèñòàìàì êîñèíóñîâèëè òîëüêî ïî ñèñòåìàì ñèíóñîâ íà ïðèëåãàþùåì ê íóëþîòðåçêå [0, l].
Òàê êàê ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé çàìåíû (9.2) îòðåçîê [a, b] ïåðåõîäèò â îòðåçîê [−π, π] (è íàîáîðîò), è òàêæå ëèíåéíî ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé îòðåçêè [0, π] è [0, l], òî,î÷åâèäíî, âñå äîêàçàííûå â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ òåîðåìû ñïðàâåäëèâû äëÿ ïðîèçâîëüíûõ îòðåçêîâ.
Ìû îãðàíè÷èìñÿ ëèøü ôîðìóëèðîâêàìè òåîðåì î áàçèñíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì, õîòÿ, ðàçóìååòñÿ, è òàêèå, íàïðèìåð,òåîðåìû, êàê òåîðåìà î ïîòî÷å÷íîé èëè î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, òàêæå ñïðàâåäëèâû. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â à òåîðåìïðèâîäèòüñÿ íå áóäóò. Îíè ïðåäîñòàâëÿþòñÿ ÷èòàòåëþ.Ò å î ð å ì à 9.10.  åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Q0 L2 [a, b]îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà (8.67):nπnx o∞b−aπnx, sin, l=1, cosll n=12ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì áàçèñîì , òî åñòü äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (x) ∈ Q0 L2 [a, b] èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî∞πnxπnx a0 X an cos++ bn sin.2lln=1 ∞ ∞Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå an n=0 è bn n=1 âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàìLf (x) =21an =lZbf (x) cosπnxdx, n = 0, 1, .
. . ;lf (x) sinπnxdx, n = 1, 2, . . . .labn =1lZba2539. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû ÔóðüåÒ å î ð å ì à 9.11.  åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Q0 L2 [0, l]îðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû (8.69) è (8.71):n πnx o∞nπnx o∞è sincosl n=0l n=1ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè áàçèñàìè , òî åñòü äëÿ ëþáîéôóíêöèè f (x) ∈ Q0 L2 [0, l] èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà∞a0 Xπnxf (x) =+an cos;2ln=1L2∞XLf (x) =2bn sinn=1πnx.l ∞ ∞Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå an n=0 è bn n=1 âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì2an =lZlf (x) cosπnxdx, n = 0, 1, . . . ;lf (x) sinπnxdx, n = 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
